книги / Надежность судовой электронной аппаратуры и систем автоматического управления
..pdfТеорему легко обобщить для случая трех событий Л 1} Л 2, Л 3. Обозначим событие «или A lt или Л 2»~через А = А г + Л 2, тогда
Р (Аг + А 2 + А з) = P (А + А 3) = P (А) + Р (Л3).
Так как P (А) = Р (А г) -р Р (Л2), то
Р (Л, + Л 2 + Л 3) = P (Ajj + Р (Л2) + Р (Л3). |
(6) |
В случае п несовместных событий, теорема принимает вид
|
|
P |
( . s 4 ) |
= 2 |
|
Р(Лд- |
|
(!) |
|
|
|
\ {=1 / |
i=1 |
|
|
|
|
Следовательно, вероятность суммы п несовместных событий |
||||||||
равна сумме вероятностей этих событий. |
|
|
||||||
Из теоремы сложения вытекают |
важные |
|
|
|||||
следствия. |
следствие. |
Сумма |
вероятностей |
|
|
|||
Первое |
|
|
||||||
всех возможных событий, исчерпывающих дан |
|
|
||||||
ное явление, равна единице, так как |
появле |
|
|
|||||
ние какого-либо события достоверно. |
|
|
|
|
||||
Р (А„) = |
S |
Р\А>) = |
1. |
|
(8) |
|
|
|
|
|
1—1 |
|
|
|
|
|
|
Если появление |
хотя бы одного из п не- |
р ис 12 |
^ те0реме сло- |
|||||
совместных |
событий является |
достоверным |
жения |
совместных со- |
||||
событием А п, то события Л£составляют пол- |
|
бытий. |
||||||
Яую группу |
несовместных событий. |
|
|
|
|
Второе следствие. Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.
Это следствие весьма важно в теории надежности, ибо весьма часто оказывается, что вычислить вероятность противоположного
события Л легче, чем вероятность прямого. В таких случаях ве роятность основного события Р (А) определяется по формуле
Р (Л) — 1 — Р (Л). |
(9) |
Теорема сложения имеет в виду несовместные события. Если события A J и Л 2 совместны, то вероятность появлений или A lt или Л 2, или Л ! и Л 2 совместно равна
Р (или A lt или Л 2, или А гА 2) = Р (Л ^ + Р (Л2) —
—Р (А И 2). |
(10) |
Это соотношение легко получить, если рассмотреть рис. 12. Так как события Л х и Л 2 совместны, то области 1 и 2 перекрывают одна другую, образуя область 3.
В таком случае находим |
|
|
||
|
Р (А 1) = |
- ^ > |
|
|
|
f |
w » |
! - |
|
|
Р ( А Л ) |
= - $ • |
|
|
и затем |
|
|
|
|
Р (или А , |
или А , |
или Л И 2) = Mi |
= |
|
= т + |
т - т |
= ,,(л1)+?(Л) - |
Р (ЛИЛ |
что и требовалось доказать.
§ 14. Теорема умножения вероятностей
Вероятность совместного появления двух событий А 1 и А 2 равна произведению вероятности одного из них, например, Р (А х), на условную вероятность другого P (А JA^), т. е.
Вер. (и A J и J4 2) = Р |
{АгА ^ |
= |
= Я .(Л1)/> (Л 2/Л |
1). |
(11) |
Пусть все равновозможные исходы опыта сводятся к случаям, из которых М г соответ ствуют появлению события A lt М 2 — собы тию А 2, a Mlf2— одновременному появлению A i и А 2, т. е. событию А ХА 2- Допустим да-
Рис. 13. К теореме лее, что каждому исходу отвечает некоторая умножения^вероятноточка на плоскости в пределах прямоуголь
ника, изображенного на рис. 13. В пределах областей I, 2, 3 находятся точки, изображающие исходы, кото рым отвечают события соответственно А ц А г\ и А г и А г-
Легко найти
. - Р ( А ) = ^ - ,
Р ( Л А ) = % - г .
Вероятность P (A J A х) представляет собой вероятность собы тия А 2, вычисленную в предположении, что событие A j уже имело место. Для определения ее необходимо учесть все исходы M lt
при которых имеет место событие A lt и те из них Мъ 2»при которых наряду с Л 2 наблюдается и событие А 2. Тогда
р W SX) = Mi *
После подстановки в выражение (И) получаем тождество
1 , а |
_____ |
• ' N |
“ |
М\ |
A l i , 2 |
N |
M i ’ |
которое и доказывает справедливость теоремы. |
то безраз |
Если события А х и А 2 происходят одновременно, |
|
лично, какое из них принимается за первое, какое |
за второе, |
ибо по аналогии с предыдущим можно получить |
(12) |
Р (А , А 2) = Р (А.2)Р (А JA 2). |
Теорема умножения справедлива как для зависимых, так и для независимых событий. Если А г и А 2 — независимые события, то
Р (А2/Ах) — Р (А2), |
|
Р(А х/ А2) = Р(Ах) |
|
и выражения (11) и (12) дают |
|
Р ( А хА 2) = Р (А х)Р (А 2). |
(13) |
Теорема умножения легко распространяется на случай трех совместных событий.
Для отыскания вероятности Р (А ХА 2А 3) совместного наблюде
ния |
событий A lt А 2, А з примем совместное появление событий |
||||
Ах |
и Л 2 за событие А = |
А ХА 2. Тогда |
|
|
|
|
|
Р (АХА 2А 3) = Р (ЛЛ3) = |
Р (А)Р (А3/А). |
|
|
Но так |
как Р (А) = |
Р (Ах)Р (А2!Ах), то окончательно имеем |
|||
|
Р (АгА 2А 3) = |
Р (Ах)Р (А2!Ах)Р (А31АхА 2). |
(14) |
||
Для п |
совместных событий теорема формулируется |
так: |
|||
|
|
Р {А 1-Л з , ............. |
А)п = |
|
|
|
|
= Р (Ах) Р (А2/ А х) Р (Лз/Л хЛ 2) ,. . ., |
|
||
|
|
P (AJA ХЛ 2 >« • |
•» Лл_х). |
(15) |
В случае независимости событий эта формула принимает вид
Р (Л^Л2 »• • •> Лп) = P (Aj) Р (А2) ,. . . ,
Р (Л„) — U P (At). |
(16) |
/=i |
|
Следовательно, вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.
В |
частности, когда вероятности |
всех событий равны, т. е. |
P (AJ |
= р, формула (16) принимает |
вид |
|
Р ( А ) = рп . |
(17) |
Для достаточно больших значений п формулу (17) удобно за менить приближенным выражением, введя вероятность q = 1 — р:
Р (Л) = (1 — q)n^ e -"< i. |
(18) |
§ 15. Teopema полной вероятности
На основании теорем сложения и умножения формулируется весьма важная для теории надежности теорема полной вероят ности.
Допустим, что сложное событие А может произойти только вместе с осуществлением п некоторых других несовместных собы тий — предположений, называемых гипотезами Hh образующими полную группу несовместных событий
H =: H 1 -f- Н 2 -f* . . . “f- Hi ~f—. . . —J—Hn.
К
В соответствии с (8) имеем
? (Я) = 2 •*>№ ) = 1. |
(19) |
/=1 |
|
Событие А может осуществиться, если произойдет одно из сле дующих попарно событий:
1) осуществилась гипотеза Н 1 [с вероятностью P (HJ], тогда вероятность зависимого от этой гипотезы события А будет равна
Р(Л/HJ;
2)осуществилась гипотеза Я 2 [с вероятностью P (HJ ], тогда
условная вероятность события А будет |
равна P (А/ H J |
и т. |
д.; |
|||||
О |
осуществилась гипотеза |
Ht |
[с вероятностью |
P (HJ], |
тогда |
|||
условная вероятность |
события А |
будет |
равна P (A/HJ; |
|
Нп |
|||
п) |
осуществилась |
последняя |
из |
п |
возможных |
гипотез |
||
с вероятностью Р (Нп), тогда вероятность условного события А |
||||||||
равна |
P (А/Нп). |
|
по |
всем вероятностям |
гипотез |
|||
Полная, средневзвешенная |
P (HJ искомая вероятность события А, представляемая как сумма несовместных п перечисленных частных одновременных совмеще
ний событий HiA/Hi, определяется по формуле полной |
вероят |
ности |
|
P ( A ) = i 1 Р (Я,) P (.AIH,). |
(20) |
1=1 |
|
§16. Теорема гипотез (формула Бейеса)
Существо теоремы гипотез вытекает из следующей задачи.
Имеем полную группу несовместных гипотез Н и Н 2, Н 3 |
Нп. |
|||
Вероятности |
этих |
гипотез известны до |
опыта и равны, |
соот |
ветственно, |
P (Hi), |
Р ( # 2),. . . , Р (Нп). |
В результате |
опыта |
наблюдалось появление некоторого события Л. Необходимо опре делить, как следует изменить вероятность гипотез в связи с по явлением события, т. е. определить P (HJА).
Поставленную задачу можно решить, пользуясь формулой
Бейеса (21), которая является следствием |
теорем умножения |
и полной вероятности |
|
p ( H i!A)= р т р ( т , ) _ |
(21) |
2 Р { Н , ) - Р ( А / Н , ) |
|
Доказательство формулы Бейеса простое. Знаменатель правой части, согласно (20), есть Р (Л), тогда выражение (21) можно за писать в виде
Р (Л) P (HJA) = Р (Н^ Р (А!Н^. |
(22) |
Выражение (22) вытекает из теоремы умножения (11).
IV. Количественные характеристики надежности
§ 17. Вероятность безотказной (исправной) работы
Под вероятностью безотказной (исправной) работы изделия понимается вероятность того, что в заданном интервале времени
ипри заданных условиях эксплуатации не произойдет отказа.
Вероятность безотказной работы обозначается символом P (t). Если обозначить через Т время непрерывной исправной ра
боты изделия от начала работы до отказа, а через t — время, в те чение которого надо определить вероятность безотказной работы изделия, то Р (0 есть вероятность (р), того, что случайная вели чина Т будет больше или равна •/, т. е.
P(t) = p { Т > t}. |
(23) |
EctecTBeHHO, что чем больше заданный промежуток времени, для которого определяется надежность изделия, тем меньше значение вероятности безотказной работы и наоборот.
Функция вероятности безотказной работы, если она известна, наиболее полно определяет надежность изделия. Она обладает следующими очевидными свойствами:
1) 0 < P ( t ) < 1;
2) Р (0) = 1 ; Р (оо) = 0 .
Из второго свойства следует, что в начальный момент времени при i — 0, т. е. в момент включения изделия, отказа быть не может. Но практически это не всегда имеет место.
Условие можно считать справедливым только в том случае, если устранить возможность повреждения аппаратуры к моменту включения и считать, что к этому моменту аппаратура заведомо исправна.
Типичное изменение вероятности безотказной работы с тече нием времени показано на рис. 14. Вероятность безотказной ра-
боты определяется |
из |
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A t |
п, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
JV. - 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
P (t) = |
lim ----- ■£!— , |
|
|
|
|
(24) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
At->0 |
iV0 |
|
|
|
|
|
|
где N о — число |
изделий |
в начале испытаний; |
в интервале |
вре |
||||||||||
я* — число |
вышедших |
из строя изделий |
||||||||||||
t |
мени Att\ |
которого определяется |
вероятность |
без |
||||||||||
— время, |
для |
|||||||||||||
|
отказной |
работы; |
|
|
интервала времени. |
|
|
|||||||
At — принятая |
продолжительность |
|
|
|||||||||||
На |
практике |
для |
определения |
P (t) пользуются |
формулой |
|||||||||
|
|
|
|
_t_ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
At |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W0 — 2 |
Ч |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
— |
л /г — • |
|
<25> |
|
|
|
|
|
|
|
||
При |
этом |
следует |
учитывать, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
что чем больше |
N 0, |
тем |
точнее |
|
|
|
|
|
|
|
||||
можно |
определить- |
вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
исправной работы |
изделия |
с по |
Рис. |
14. |
Типичное изменение |
ве |
||||||||
мощью формулы |
(25). |
величины |
роятности |
исправной |
работы |
во |
||||||||
Для |
определения |
|
|
|
времени. |
|
|
|
||||||
вероятности |
безотказной |
работы |
|
|
|
|
|
|
|
можно использовать данные, полученные в процессе эксплуата ции аппаратуры, или же данные, полученные из опыта, поста новка которого не вызывает больших трудностей.
Надежность изделий можно оценивать и по величине вероят ности неисправной работы, т. е .. вероятности отказа.
Вероятность отказа — вероятность того, что в заданном интервале времени и при заданных условиях эксплуатации про изойдет хотя бы один отказ.
Вероятность отказа обозначается символом Q (/) и представ ляет собой вероятность (р) того, что случайная величина Т — время отказа — примет значение, меньшее некоторого наперед за данного времени t , для которого определяется эта вероятность, т. е.
QW = P [Т < t). |
(26) |
Из выражения (26) видно, что вероятность отказа есть инте гральная функция распределения времени исправной работы, т. е.
Q (t) = F (t). |
(27) |
Вероятность отказа и вероятность безотказной (исправной) рабо ты — события противоположные, поэтому справедливо равенство
P (t) = 1 - Q (t). |
(28) |
Так как производная от интегральной функции распределе ния есть дифференциальный закон (плотность) распределения, то
d F { t ) _ d Q ( t ) _ п , , |
|
(29) |
||||
d t |
— |
d t |
— |
Ч |
||
|
т. e. производная от вероятности отказа есть дифференциальный закон распределения случайной величины — времени исправной работы.
Статистически вероятность отказа можно определить из урав нения
A t
2 ni
(3°)
где N о, nh t n At имеют те же значения, что и в уравнении (24). Для пояснения способа получения такой характеристики, как
вероятность безотказной работы, рассмотрим два примера. Пример. Допустим, что в процессе эксплуатации аппа
ратуры учитывалось число выходящих из строя ламп в течение каждой тысячи часов их работы. При этом на блюдение велось за 1000 однотипных ламп, например 6Ж4. В результате подсчета отказавших ламп получены данные, сведенные в табл. 2, где Att — интервал времени, щ — число вышедших и'з строя ламп в i-м интервале времени.
По данным табл. 2 можно примерно определить вероят ность безотказной работы ламп в течение любого проме жутка времени. Для этого число исправно работающих
ламп необходимо поделить на число ламп, над |
которыми |
|||||
|
|
|
|
|
|
Таблица 2 |
|
К оличество отказов ламп в i-м интервале времени |
|
||||
|
-----------у--- |
|
|
|
|
|
A t., час. |
шт. |
|
At .t, час. |
п., шт. |
At ^ , час. |
п>9шт. |
0—1000 |
20 |
9 |
000—10 000 |
30 |
18 000—19 000 |
50 |
1000—2000 |
25 |
юооо—ii ооо |
40 |
19 000—20 000 |
35 |
|
2000—3000 |
35 |
11 000—12 000 |
40 |
20 000—21 000 |
35 |
|
3000—4000 |
50 |
12 000—13 000 |
50 |
21 0 0 0 -2 2 000 |
50 |
|
4000—5000 |
30 |
13 |
000—14 000 |
40 |
22 000—23 000 |
35 |
5000—6000 |
50 |
14 000—15 000 |
50 |
23 000—24 000 |
25 |
|
6000—7000 |
40 |
15 |
000—16 000 |
40 |
24 000—25 000 |
30 |
7000—8000 |
40 |
16 |
000—17 000 |
50 |
25 000—26 000 |
20 |
8000—9000 |
50 |
17 |
000—18 000 |
40 |
— |
—* |
проводится испытание, т. е. подставить в формулу (25) число N 0, равное 1000 ламп в начале испытания, и число щ ламп, вышедших из строя 'в г-м интервале времени, со гласно данным табл. 2.
Если, например, • требуется определить вероятность . исправной работы ламп, установленных в .аппаратуре за время ее работы, равное 3000 час., то эта вероятность будет .равна 4
P ( t ) = P |
(3000) ^ |
1000— (20-1-25 + |
35) |
0,92. |
|
‘ |
1000 |
|
|||
|
|
|
|
t,4ac
Рис. 15. Изменение .вероятности исправной рабо- . ты ламп 6Ж4 в зависимости от времени их работы.
Пользуясь формулой (25), можно построить зависимость веро ятности исправной работы ламп в аппаратуре от времени их ра боты (рис. 15). Примерно такую же величину вероятности будут иметь лампы типа 6Ж4, установленные в любой другой аппара туре, где режимы их работы и окружающие условия будут анало гичны рассматриваемым.
Изменение режимов работы ламп вызывает изменение и вели чины вероятности. Например, для одного и того же типа ламп, но установленных в разных устройствах аппаратуры, зависимость вероятности исправной работы от времени будет разной.
Пример. Требуется определить вероятность отказа ламп в электронной аппаратуре за 3000 час. работы. Подставив значения первого примера в формулу (30), получим
q (3000) = 20 + 25 + 35 = 0,08.
1000
Для электронной аппаратуры, имеющей основное соединение элементов (рис. 16), вероятность безотказной работы на основе теоремы умножения вероятностей может быть представлена в виде произведения вероятностей безотказной работы всех элементов
Р (*) = P i (0, Р2М л . . , PN M = П Pt (0. |
(31) |
t=i |
|
где P (0 — вероятность |
безотказной |
работы |
аппаратуры; |
pt (t) — вероятность |
безотказной |
работы |
г-го элемента; |
N — число элементов в изделии.
При этом предполагается, что отказы элементов являются со бытиями независимыми и выход из строя любого из N элементов приводит к отказу всего изделия. В данном случае достаточно учи тывать лишь независимые отказы, так как практически отказ рас-
%
Рис. 16. Основное соединение элементов.
сматривается как событие, приводящее к нарушению нормальной
работы аппаратуры |
независимо |
от того, |
сколько элементов |
о д - |
||||||
н о в р е м е н н о |
вышло из строя. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Если надежность элементов одинакова, т. е. |
|
|
|
|
||||||
Pit) |
|
Pi |
(t) |
= |
Pt |
(0 |
= • • |
• = |
|
|
|
|
|
= |
Рн V) = Р (0. |
|
|||||
|
|
то вероятность |
безотказной |
ра |
||||||
|
|
боты изделия в соответствии с |
||||||||
|
|
уравнением |
(31) будет равна |
|||||||
|
|
|
Р |
(t) |
= |
Ip (t)}” . |
|
(32) |
||
|
|
Отсюда |
видно, |
что |
надеж |
|||||
|
|
ность сложной аппаратуры суще |
||||||||
|
|
ственно |
зависит от надежности |
|||||||
|
|
и числа входящих в нее элемен |
||||||||
|
|
тов N. На рис. |
17 показана за |
|||||||
|
|
висимость |
вероятности |
безот |
||||||
|
|
казной работы аппаратуры P (t) |
||||||||
|
|
от числа и вероятности исправ |
||||||||
Рис. 17. Зависимость вероятности ис |
ной работы элементов pt (t) |
при |
||||||||
условии, что все элементы рав |
||||||||||
правной работы аппаратуры от числа |
||||||||||
элементов-и вероятности их исправной |
нонадежны.. Из |
рис. 17 видно, |
||||||||
работы. |
|
что повышение надежности эле |
||||||||
|
|
ментов |
является |
эффективным |
средством повышения надежности аппаратуры.
Если изделие состоит из 40 элементов, каждый из которых
имеет Pi — 0,99, то |
надежность изделия P |
(t) = 0,66. |
При pL = |
= 0,995, Р = 0,83, |
т. е. при увеличении |
надежности |
элементов |
на 0,5% надежность изделия увеличивается на 17%. С увеличе нием числа элементов этот эффект проявляется еще больше.. По высить надежность аппаратуры можно ее упрощением. Если, на пример, надежность элементов такова, что pt по-прежнему равно