книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций
..pdfТ |
<r2 |
T |
|
1 |
2 |
m |
|
l |
m |
|
2 |
m |
1 2 |
(6.5.11) |
(Г— crl |
|
X |
X |
|||||||||||
X |
X |
|
X X |
|
|
|
|
|
|
X X |
|
|||
Для изотропного |
материала: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
г 1 |
|
|
Г |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
||
|
Г |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
||
Е |
0 |
|
|
0 |
(1-г )/2 |
о |
|
0 |
0 |
|||||
с= |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
h3/12 rh3/l2 |
0 |
|||||
i-„2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
rh3/12 |
|
h3/l2 |
0 |
|||
|
- 0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 (1-■r)h3/l |
|||
Е - модуль упругости, |
г |
- коэффициент Пуассона, h - тол |
||||||||||||
щина плоского |
изгибаемого |
КЭ. |
|
в выражение |
(6.5.9). После |
|||||||||
Подставим |
(6.5.8), |
|
(6.5.10) |
интегрирования по толщине пластины и отбрасывания слагае
мых, дающих вклад в энергию деформаций больших |
прогибов |
|||||||
как малых более высокого порядка |
(считается, |
что |
переме |
|||||
щения |
малы), потенциальную |
энергию П можно |
представить в |
|||||
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
П= |
Eh |
|
|
|
1-г |
|
|
|
.<U ,l*2+(V ,2>2+2l’U/lV,2+ - 7 - < V, r u ,2>2]dA+ |
||||||||
2 ( 1 - 0 J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eh' |
|
|
|
2 2 ^ +2vW 11W |
|
|
|
|
+ -------------- о- |
I I M W |
1 1 > 2 + (W |
2 2 + |
|
|||
|
24(l-r ) JJL |
'11 |
'X1 |
•jLZ |
|
|||
|
+2(l-r) (w^12)2JdA+-— |
j|^< |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
a lh(w/l^2+0' 2h<W,2)2+ |
||||
|
|
|
|
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
+T |
. „hw |
,w ^IdA, |
|
|
|
(6.5.12) |
|
|
|
x V |
,1 |
,^J |
|
|
|
|
где A |
- площадь КЭ; a -h, |
a 9h, |
т - 0h - интенсивности |
|||||
|
|
xA |
x |
x’Sc |
усилия), т.е. |
|||
усилий в срединной плоскости (мембранные |
||||||||
силы на единицу длины. |
|
|
|
|
|
|
где |
m |
m |
к = l Li Ki Lr |
ки - I LI KMiLi : |
i=l |
i=l |
- матрица направляющих |
косинусов для i-ro КЭ; m - |
число КЭ в структуре. |
|
Работа, совершаемая нагрузками f, приложенными в узлах
структуры имеет вид: |
1 |
т |
|
|
W |
(6.5.18) |
|||
= — |
vf. |
|||
® |
2 |
|
|
При простом однопараметрическом .нагружении узловые нагрузки одновременно изменяются пропорционально одному параметру Л. Это означает, что для произвольного уровня нагружения имеет место формула:
f=XfQ, |
(6.5.19) |
где fg - вектор начальных узловых нагрузок.
Матрица геометрической жесткости структуры |
зависит |
от уровня достигнутых напряжений или усилий при увеличе нии параметра Л, определяемых изменением конфигурации структуры. Учитывая, что эта зависимость является линей ной, запишем уравнения равновесия на основе выражения (6.5.17) и (6.5.18) в следующем матричном виде:
Kv+AKN (tf0)v=\fQ, |
(6.5.20) |
где Фо=Фо[*о) “ вектор напряжений
изменение параметра Л приводит к изменению изгибной жесткости структуры, которое обусловлено вторым слагаемым в левой части равенства (6.5.20). В случае оболочки это изменение обусловлено действием тангенциальных напряжений в ее срединной поверхности, в случае изгибаемого стержня - действием осевой растягивающей или сжимающей силы. При действии растягивающей силы изгибная жесткость стержня увеличивается, а при действии сжимающей силы изгибная жесткость уменьшается. Считаем, что эти напряжения или сила являются консервативными, т.е. совершаемая ими рабо та на любых кинематически возможных перемещениях зависит только от начальной и конечной конфигурации структуры.
Потере устойчивости структуры соответствует такое значе ние параметра А, при котором решение матричного уравнения (6.5.20) является не единственным. В этом случае справед ливо уравнение:
Kv+XKN (^0)v=0/ |
(6.5.21) |
которое является уравнением устойчивости структуры. |
|
Это уравнение аналогично уравнению (6.3.6) |
для, нахож |
дения собственных значений и собственных векторов при ко лебаниях структуры. Для его решения могут использоваться известные методы, описанные в разделе 6.3.
МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ КРИТИЧЕСКОГО ПАРАМЕТРА НАГРУЗКИ X С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРИЗНАКА ДАЛАМБЕРА СХОДИМОСТИ ЧИСЛОВОГО
РЯДА. В уравнении (6.5.20) вектор if/Q |
является функцией |
||
вектора сил f^. Рассмотрим линейное уравнение: |
|
||
решение которого имеет |
вид: |
|
|
v 1=K-1f(). |
(6.5.22) |
||
Вектор перемещений |
используется |
для вычисления |
и |
затем матрицы геометрической жесткости |
|
|
Умножим обратную матрицу К ^ слева на обе части
уравнения (6.5.20). С учетом равенства (6.5.22) получим:
(I +A K " 1K N )V =A V 1 ,
откуда
V =(I+AK“1KN )“1AV 1.
Здесь I -единичная матрица.
Разложим (I+AK ^KJJ) * в матричный степенной ряд:
СО
(I+AK" 1KN )“1=1+ 5](“1)П”1АП"1(К“1KN )П"1.
п=2
С учетом этого ряда для вектора перемещений v имеем:
00
v=Av1+[^ ^(-l)n"1An (K"1KN )n"1jv1. |
(6.5.23) |
n=2
Введем следующие обозначения: vn=-K *K N V II-1 (n=2,3,...) .
Векторы v2 , v 3 f ..,,vn являются приращениями узловых
перемещений структуры, обусловленные матрицей геометриче ской жесткости KN » Они зависят только от начальной наг
рузки £ и |
не |
зависят от уровня |
нагружения, |
определяемого |
параметром |
нагрузки А . |
ряд (6.5.23) |
запишется в |
|
С учетом |
этих обозначений |
|||
виде: |
|
00 |
|
|
|
|
V = £*nvn . |
|
(6.5.24) |
|
|
п=1 |
|
|
При приближении параметра нагрузки А к критическому значению Акр в процессе увеличения уровня нагружения ряд
(6.5.24) будет расходиться, т.е. вектор узловых перемеще ний v будет неогранниченно возрастать, что соответствует состоянию потери устойчивости структуры в смысле Эйлера. Абсолютное значение критической нагрузки тогда равно:
fKp“XKPf0*
Для численного определения Лкр воспользуемся признаком Даламбера сходимости числового ряда. Обозначим:
.п+1„
АиV.п+1
|
|
An llv_ |
|
|
|
п |
|
где Ivll -норма вектора узловых перемещений структуры. |
|||
При |
7)<1 ряд (6.5.24) |
будет сходящимся. При 7]=1 ряд |
|
будет |
расходиться. Условие расходимости ряда позволяет |
||
вычислить: |
|
|
|
|
A, “llv ll/llv |
||
|
ът |
П / |
п+1 |
|
кр |
|
Форма потери устойчивости находится в результате вы числения суммы ряда:
|
п+1 |
|
v - |
= £A _._V |
k* |
кр |
кр |
|
|
k=l |
|
Описанный метод применим и к задаче нелинейного деформи рования структуры.
Г л а в а 7
РЕАЛИЗАЦИЯ МКЭ НА ЭВМ
7.1. ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ
Развитие метода конечных элементов обусловлено взаимо связью трех факторов: наличием высокопроизводительной вы числительной техники; разработкой математических моделей исследуемых явлений, адекватных реальным процессам с достаточной степенью точности; особенностями самого мето да [76].
Первые программные комплексы, в которых реализован ме тод конечных элементов, были разработаны в б0-х годах [200]. К ним относятся STRUDL-II, SAP-IY, NONSAP, ASKA, NASTRAN, SESAM-69 и другие. Появлению этих универсальных программных систем .я силу особенностей метода конечных элементов предшествовало создание высокопроизводительных электронно-вычислительных машин, таких, например, как IBM-370. Начиная с конца 70-х годов в СССР появилось не сколько десятков программных комплексов для разных ЭВМ, в которых был реализован МКЭ. К их числу относятся МИРАЖ [39], МОРЕ [78], ПРАСАК[62], КАСКАД-2 [86], ПРОЧНОСТЬ-75 [55], СИСТЕМА-4 [64],СИПРАМАК [30], МКЭ/120 [27], МАРС [32], АПЖБК [82], ПАРДОКС [23], ПАРСЕК [23], ЛИРА [41], СУМРАК [17], СПРИНТ [115], ПРОКРУСТ [16], ПАРУС [28],ПОЛИФЭМ [46] и ряд других программ.
В США и ряде других стран дальнейшее развитие МКЭ и необходимость в проведении расчетов конструкций на проч ность также способствовали дальнейшему развитию уже соз данных программных комплексов и разработке новых. .Были разработаны сотни программных комплексов, предназначенных для приближенного решения самых разнообразных задач не
только из области механики деформируемого твердого |
тела, |
но и из таких областей как гидродинамика, акустика, |
элек |
тротехника и т.д. Наибольшее распространение из них полу
чили [193]: ABAQUS, |
ADINA, ASKA/DYNAN, ANSYS, FINEL, |
|
LARSTRAN, MSC/NASTRAN, |
EUFEMI, ROSALIE, HERCULE, MODULEF, |
|
SAP-7. |
|
|
Отметим, что разработка программных комплексов являет |
||
ся дорогостоящим делом. Поэтому, как правило, |
организации |
|
и фирмы - собственники разработанных программ, |
рассматри |
вают их как коммерческий научно-технический продукт. Ре гулярно печатаемые обзоры существующих комплексов прог рамм и их характеристик, сведения о программах в отрасле вых фондах алгоритмов и программ позволяют пользователям программной продукции целенаправленно выбирать необхо-
диные для их деятельности программы расчета.
У каждой программы есть свои сильные и слабые стороны при расчете конкретной конструкции. Выбор программы рас чета зависит от подготовленности пользователя в своей научной области, типа решаемой задачи, типа доступной ЭВМ, размерности задачи и других факторов. К критериям, помогающим сделать выбор, следует отнести следующие фак торы:
- программа широко используется; - в программе использованы новейшие научные достижения;
-программа коммерчески вполне доступна;
-имеется подробная и понятная документация.
.Ознакомление с программной документацией и доступной литературой с описанием программы и ее элементов позво ляют сделать окончательный вывод о целесообразности выбо ра программного комплекса.
Для МКЭ характерны особенности, которые следует учиты вать при выборе или разработке программы расчета. Такими особенностями являются большие объемы исходных данных, промежуточных и окончательных результатов расчета. Поэто му расчет по МКЭ состоит из трех основных этапов:
-разработка расчетной конечноэлементной схемы и подго товка исходных данных;
-проведение самого расчета;
-обработка результатов расчета.
На рис. 7.1.1. приводится одна из возможных схем орга низации расчета по МКЭ. Каждый этап является самостоя тельной задачей. На первом этапе самое существенное за ключается в создании начальной конечноэлементной расчет ной модели, исходя из инженерной интуиции о поведении конструкции. Впоследствии эта модель может корректиро ваться на основе анализа результатов расчета. Корректи ровка модели может выполняться и программным путем, если такая возможность реализована в используемом программном комплексе. Подготовка исходных данных осуществляется, как правило, с помощью программ-генераторов сеток конечных элементов, образующих блок подготовки данных. Подробное описание возможностей таких программ блока обработки ре зультатов расчета (этап 3) будет приведено в разделе 7.3.
Проведение расчета (этап 2) осуществляется расчетным блоком, в котором используется тот или иной алгоритм расчета методом конечных элементов. Как правило, расчет ный блок состоит из ряда программных модулей, каждый из которых выполняется на определенном шаге алгоритма, в простейшем случае программной реализации МКЭ для линейной
статической краевой |
задачи теории |
упругости расчетный |
блок содержит следующую последовательность шагов: |
||
- ввод исходных данных (например, |
подготовленных прог |
|
раммой-генератором в |
отдельном файле); |
автоматическая подготовка исходных данных
диагностика качества сетки КЭ с использованием графических средств
необходимо качество сетки улучшить
корректировка сетки КЭ
диагностика необходимости уменьшения ширины ленты матрицы жесткости
необходимо
перенумерация узлов сетки КЭ
расчетный блок
анализ результатов и диагностика точности
точность удовлет.
вывод результатов i) табличном и (или) графиче<жом виде
конец вычислений
Рис. 7.1.1. Схема организации расчета по МКЭ.
-вычисление матриц жесткостей КЭ;
-формирование матрицы жесткости структуры;
-формирование вектора нагрузок;
-решение системы линейных алгебраических уравнений;
-вычисление перемещений узлов ансамбля конечных элемен тов, деформаций и напряжений в конечных элементах.
Пример организации расчетов показан на рис. 7.1.2.