книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

матрицы жесткости структуры, определяют взаимодействие групп узлов, расположенных на смежных границах подструк­ тур.

Рассмотрим итерационный алгоритм, основанный на после­ довательном ослаблении границ подструктур. Предположим, что ослаблена..только i-я граница. Приложив к ней заданную внешнюю узловую нагрузку определим первые приближения уз­ ловых перемещений узлов этой границы:

(4.3.2)

vi(i)=KIifi

На смежных границах возникнут реакции;

-1,

(4.3.3)

ri-l,i(l)“Ki-l,ivi(l)_Ki-l,iKiifi'

Аналогичные реакции возникнут в i-ой границе, если ос­ лабить и загрузить границы i-1 и i+1. Суммарная реакция в i-й границе в этом случае будет равна:

(4.3.5)

ri {1)-Ki ,i-lvi-l{1)+Ki,i+lvi+l(1)*

Ослабляя вновь i-ю границу и прикладывая к ней нагруз­ ку, равную величине реакции с обратным знаком, определим поправку к первым приближениям перемещений:

Avi(l)=Kiiri(l)=~Kii(Ki,i-lvi-l(l)+Ki,i+lvi+l(l)*'(4 *3*6 )

Таким образом определится второе приближение узловых перемещений на i-й границе:

(4.3.7)

vi(2)=Vi(l)+Avi(l)

тоже остается ослабленной. Найдем перемещения второй гра­ ницы от двух воздействий: 1) единичного перемещения тре­ тьей границы; 2) внешней нагрузки, приложенной к первой и второй границам, другими словами, нагрузки, приложенной ко всем ослабленным границам левой (расширяемой) под­ структуры.

Обозначим, как и ранее, через V2 3 - матрицу перемеще­

ний второй границы от единичного перемещения третьей гра­ ницы, а через v2 f ~ вектор перемещений второй границы,

вызванный действием нагрузки, приложенной ко всей левой (расширяемой) подструктуре.

Перемещения V2 3 и v2 f 0ПРвДеляются из условий равно­ весия второй ослабленной границы:

(4.3.20)

<K21V1,2+K22+K22>V2,3+K2,3=0'

(4.3.21)

(K21V 1,2+К22+К22'v2 ,f+К2,1Т 1,f-f2_0'

Введем обозначения:

(4.3.22)

K22=K21V1,2+K22+K22'

(4.3.23)

f2=~K2,lVl,f+f2 ‘

it

К22 представляет собой матрицу жесткости второй границы,

вычисленную в предположении, что все границы, расположен­ ные левее ее, (в данном случае только первая граница),

ослаблены; f2 - обобщенный вектор нагрузки. действующий

на вторую границу, который учитывает и нагрузку, прило­ женную к первой границе.

С учетом принятых обозначений уравнения (4.3.20) и (4.3.21) запишутся следующим образом:

(4.3.24)

K22V2,3_К2,3~°'

(4.3.25)

K22V2,f”f2=0*

Аналогичные уравнения можно записать для i--й границы:

(4.3.26)

KIivi,i+i-Ki,i+i=0'

(4.3.27)

Kiivi rf-fl-°-

Здесь

Нумерацию границ подструктур необходимо производить в направлении последовательного ослабления границ. Из урав­ нений (4.3.26) и (4.3.27), составленных последовательно для каждой границы, начиная с первой, определяются матри­ цы единичных перемещений V. . - и векторы грузовых пере-

ледней границы).

Для n-ой границы уравнение (4.3.26) обращается в тож­ дество,а из уравнения (4.3.27) определяются истинные зна­ чения перемещений ее узлов.

Вычисление истинных перемещений узлов остальных границ структуры, составляющее вторую часть расчета, ведется в обратном направлении от i=n-l до i=l по формуле:

(4.3.30)

vi=Vi,i+lvi+l+vi,f

При составлении программ для ЭВМ уравнения (4.3.26) и

(4.3.27) целесообразно объеденить, т.к. в них фигурируют

*

одинаковые матрицы К ^ *

другой эти матрицы можно размещать на местах таких же матриц, вычисленных для предыдущей границы, то объем опе­ ративной памяти, необходимый для решения задачи, будет намного меньше, чем для той же задачи прямым МКЭ.

Г л а в а 5

ФИЗИЧЕСКИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ.

6 общем случае задача механики деформируемого твердого тела не является линейной. Допущения о линейной зависимо­ сти между напряжениями и деформациями (закон Гука), между деформациями и перемещениями (соотношения Коши), которые принимаются в линейной теории упругости, часто не соот­ ветствуют действительности. Например, строительные мате­ риалы - бетон, дерево и другие характеризуются нелинейной зависимостью напряжений от деформаций даже при малых де­ формациях. Такая нелинейность называется физической.

Физическая нелинейность в конструкциях проявляется при возникновении пластических деформаций (например, в метал­ ле), при трещинообразовании 'В бетоне (нелинейная упру­ гость), при ползучести с изменениями свойств материала и его структуры от внешнего воздействия температуры, радиа­ ции, химических веществ.

Существуют самые различные способы представления зако­ на состояния материала при физической нелинейности в за­ висимости от типа материала, основанные на деформационной теории пластичности или теории течения.

Геометрическая нелинейность возникает в элементах кон­ струкций при больших перемещениях и деформациях. Появле­ ние геометрической нелинейности при больших перемещениях

конструктивная нелинейность как следствие изменения их расчетной схемы в процессе нагружения за счет появления дополнительных или исчезновения имеющихся в этих кон­ струкциях связей. В частности, примером, иллюстрирующим конструктивную нелинейность может служить контактное взаимодействие деформируемых тел, когда в процессе нагру­ жения существенно изменяется зона контакта.

Перечисленные выше типы нелинейностей (физическая, геометрическая, конструктивная) могут проявляться в кон­ струкциях по отдельности или в различных сочетаниях.

Краевые задачи деформирования конструкций с учетом од­ ного какого-то типа нелинейности описываются нелинейными дифференциальными или алгебраическими уравнениями. Чис­ ленное приближенное решение таких задач в общем случае является чрезвычайно трудоемким и требует больших ресур­ сов ЭВМ [178]. Разработка эффективных методов их решения имеет большое практическое значение.

При решении физически и геометрически нелинейных задач применяются две различные системы координат, связанные с начальным и текущим положением твердого тела [162]. Эти

системы координат лежат в основе способов, которые были предложены Лагранжей и Эйлером, для описания уравнений равновесия.

В теории больших упругих деформаций основным понятием является функция плотности энергии. По сравнению с линей­ ной теорией упругости, в которой определяют функцию плот­ ности энергии и две константы материала, например, Е (мо­ дуль упругости) и (коэффициент Пуассона), при больших де­ формациях функцию плотности энергии получают на основе экспериментального определения соответствующих характе1 ристик материала путем суммирования деформаций в каждой конкретной задаче.

Принцип стационарности потенциальной энергии для вели­ чин в приращениях исходя из условий равновесия в прираще­ ниях приводит к вариационному принципу типа Грина-Дирих­ ле, который лежит также в основе использования МКЭ.

Среди известных алгоритмов расчета деформации тела с учетом нелинейностей не существует универсального, так как эффективность того или иного алгоритма зависит от ти­ па проявляющейся нелинейности.

Как правило, наиболее часто применяется шаговый метод построения интегральной кривой Эйлера решения задачи Ко­ ши, на одном шаге которого, например, прогнозируется ве­ личина пластической деформации с последующей коррекцией решения для устранения погрешности.

Если в качестве деформированного состояния твердого тела рассматривается "приращение" конфигурации по отноше- ю к текущей конфигурации, то имеется две возможности в выборе описания деформирования на основе способа Лагран­ жа. В первом способе рассматривается функция Лагранжа, соответствующая конфигурации твердого тела относительно начальной. Второй способ основан на функции Лагранжа, описывающей конфигурацию относительно текущей.

Оба способа равноценны и имеют как преимущества, так и недостатки , в зависимости от того, нужно ли получать основные уравнения для деформированного и напряженного состояния,и какие при этом будут условия. Применение двух независимых друг от друга координатных систем для началь­ ной и текущей конфигураций с инвариантной метрикой дает ряд преимуществ - по меньшей мере при сравнительном соот­

координат, т.е. хк участвуют в деформации тела. Следова­ тельно, изменяется его метрика, но координаты обладают до и после деформации одинаковыми числовыми значениями. Тог­ да тензор деформации однозначно описывается благодаря

который характеризует только изменение формы тела. Поэто­ му при обозначении производных по времени понятия "ско­ рость" и "приращение" часто использут как синонимы. При выводе теоретических зависимостей в большинстве случаев применяются тензорные обозначения с индексами и правило суммирования Эйнштейна. При решении конкретных задач ме­ тодом КЭ целесообразно использовать матричное представле­ ние. Аналитические методы решения геометрически и физиче­ ски нелинейных задач практически не применяются/ за ис­ ключением однородных деформированных состояний.

Поэтому в большей степени используются численные мето­ ды решения, в основе которых лежат соответствующие вариа­ ционные принципы в сочетании с НКЭ. При этом, как прави­ ло, строятся решения в приращениях. В соответствии с принципом виртуальной работы

Sn=5 (W-U)=0

необходимо найти энергетически эквивалентные - энергию формоизменения W и работу внешних сил и в произвольной системе координат. Это уравнение является практически ус­ ловием равновесия.

5.1.УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЕ ДЕФОРМАЦИИ. ЗАКОН СОСТОЯНИЯ.

Вдальнейшем будем считать, что относительные пласти­ ческие деформации малы и не намного превышают величину других' деформаций.

В рамках теории пластического течения при упругоплас­

тическом деформировании приращения деформаций равны:

При этом пластические деформации считаются необратимыми. При описании пластического поведения материала можно раз­ личать две основных закономерности. Первая закономерность состоит в том, что одно уравнение - условие текучести оп­ ределяет возникновение пластических деформаций. Вторая закономерность - закон пластического течения, который описывает развитие пластических деформаций. Далее следует рассмотреть закон упрочнения.

ОДНООСНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ. УСЛОВИЕ ТЕКУЧЕСТИ. Пластические деформации возникают, если напряженное сос­ тояние удовлетворяет условию текучести. Условие текучести определяет зависимость между действительным напряженным состоянием и напряжением текучести, которое определяется экспериментально при одноосном нагружении образца. Напря­ жения вне условий текучести не допускаются. При упруго­