книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

At=T/n.

строятся приближенные решения для дискретных монентов времени: 0Г At, 2At, ...,t, t+At,...,T. В методах прямого интегрирования приближенное решение строится для момента времени t+At с использованием ранее построенного решения для момента времени t, т.е. решение строится по шагам. Поэтому для методов прямого интегрирования используется также термин "шаговые методы".

Вэтих методах условия равновесия с учетом сил инерции

идемпфирования должны удовлетворяться для дискретного момента времени t+At. Это означает, что в момент времени t+At рассматривается статическое условие равновесия и, следовательно, можно использовать эффективные в МКЭ алго­ ритмы решения статической краевой задачи. Изменения пере­

мещений, скоростей и ускорений внутри интервала времени At могут учитываться различными способами. Способ учета этих изменений определяет точность, устойчивость и эффек­ тивность метода решения. В зависимости от выбора способа различают метод Ньюмарка, 6-метод Вилсона, метод времен­ ных конечных элементов и другие.

МЕТОД НЬЮМАРКА. Используется следующий способ учета изменения вектора скорости и вектора перемещения в интер­ вале времени At:

где ^t+At' ^t+At' Vt+At _ векторы ускорения, скорости и

перемещения в узлах структуры для момента времени t+At; v’t, v^, vt - известные векторы ускорения, скорости и пе­

ремещения узлов для момента времени- t; a, S - параметры, определяющие точность и устойчивость интегрирования.

При 5 -1/2 и ос=1/4 получаем схему расчета с постоянным средним ускорением в интервале At. Анализ устойчивости схемы расчета для таких значений 5 и ос показывает, что она является безусловно устойчивой, т.е. не приводит к накоплению ошибок округления на ЭВМ.

Из равенств (6.4.2) и (6.4.3) имеем:

Подставляя (6.4.5) и (6.4.6) в (6.4.4), получим:

где К-К+а0И+а1В, ft+4t-ft+4t+M(a0vt+a2vt+a3Vs.)+D(a1y);+

+a4vt+a5Vt ), a^/faAt), a4=S/a-l, as=(«/a-2 )At/2 .

Во многих случаях динамическая реакция структуры фор­ мируется только несколькими формами собственных колеба­ ний. С другой стороны, учет вклада высших собственных частот в реакцию структуры мало оправдан, так как они вы­ числяются очень приближенно. Поэтому интервал времени Dt надо выбирать таким, чтобы в динамической реакции струк­ туры учитывался вклад нескольких низших гармоник соб­ ственных колебаний. Как правило, At выбирают равным AtTmin/10' гдв’Tmin “ наименьший период среди 1 учитываемых

частот собственных колебаний.

в-МБТОД ВИЛСОНА. Предполагается, что ускорение изме­ няется линейно внутри интервала времени 0At, где 0>1. При 0=1 из этого метода следует обычный метод линейного уско­

Из уравнений (6.4.9) и (6.4.10) следует:

О

Из этих соотношений выразим vt+eit и »t+e4t через Vt+0At * Получим:

Матричное уравнение МКЭ для момента времени t+At имеет вид:

При этом считается, что вектор нагрузки изменяется линейно, т.е.:

. (6.4.16)

rt+04t"rt+0<rt+At‘rt>

Подстановка (6.4.13), (6.4.14) в (6.4.15) приводит к матричному уравнению:

a3=0At/2.

Перемещения, скорости, ускорения в момент времени t+At вычисляется по формулам:

^t+At=a4(Vt+0At”Vt ^+a5^t+a6^t'

В линейной теории устойчивости учитывается изменение внутренней жесткости элементов конструкции за счет изме­ нения их геометрических параметров при действии внешних нагрузок. При использовании МКЭ это приводит к появлению в уравнении равновесия новой матрицы, которая называется геометрической матрицей жесткости. Рассмотрим вывод гео­ метрической матрицы жесткости на примерах стержневой сис­ темы и оболочки.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ. Стержневая система моделируется призматическими стержнями постоянного сечения (рис. 6.5.1). Введем обозначения: I -

жение; GIp" крутильная жесткость.

можно выделить отдельно продольные и изгибные перемеще­ ния:

где Gp, G^ - матрицы функций формы, соответствующие рас­

тяжению и изгибу. С учетом изменения длины стержня при изгибе вектор деформации примет вид:

где х о» Я о" изменение кривизны стержня за счет прогн­ ив xJ

бов V и w.

Вектор обобщенных напряжений равен:

где m 2, ш 3 - изгибающие моменты, действующие в плоское-

хxJ

тях хХх2 и x*x3, соответственно.

Потенциальная энергия деформации стержня с учетом

при растяжении. При выводе выражения (6.5.5) не учитыва­ лись члены более высокого порядка малости.

Используя представление (6.5.2) получим:

где Кр -матрица осевой жесткости КЗ;

Kb - матрица изгибных жесткостей:

стях x V х х1х3)?

- матрица геометрической жесткости:

гибную деформацию стержневого КЭ и является линейной функцией от продольных перемещений. Матрица жесткости стержня, учитывающая осевую и изгибную жесткости, приве­ дена в разделе 3.1 (формула (3.1.14)).

и