Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4629 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

..pdf
Скачиваний:
9
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
20.57 Mб
Скачать
☆

Рис. 3.10.2. Срединная плоскость суперпараметрического

КЗ пластины.

Координаты ас1, х? х3 меняются в пределах от -1 до +1 на соответствующих поверхностях КЗ. Декартовые и^криволи нейные координаты любой точки КЗ связаны формулой.

(3.10.1)

где N^(xa )

- функции формы, имеющие вид:

 

 

N. = —

xj{l+x1xf)(1+х2х?)(х1+х2х?х?

),

(3.10.2)

Лт

»

X

X

*

 

 

 

 

 

 

i=l,2,3,4;

 

 

Я1. Л

[1. (х 2 )2 {х 1)2.(х 1)2 (х 2 )2)(1+х 1х 1+х 2х 2 )г

(3.10.3)

i=5,6,7,8.

Ill

Для пластины справедливы следующие равенства:

 

 

( Z ? )

1

'

<2 i > H

 

‘

(zb

1

 

 

1 1 'в

 

 

'

l'cp

 

 

 

/

2 ,

 

=

(z?)

 

 

=

(z?)

(3.10.4)

 

 

<21 >в

 

 

1 х ' Н

 

 

'

x'cp

 

 

(z?)

J

L'( - Z ?I )'

H

 

J

x^d^/2

 

 

3

1 1ЧВ

 

—

**

 

 

 

“

 

где

=±1

—

 

 

 

 

 

 

х

(знак

+ для верхней поверхности, знак - для

нижней). С учетом этого соотношения из

формулы (3.10.1)

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

zk

= X N i(x“ ,(z£,cp

 

,

 

(3.10.5)

 

 

 

 

 

i=l

 

 

 

 

 

 

 

 

Гдв

<Zi>cp= [<Zi>ep'<Zi>cp'x3V 2]

 

■'

<zi>pp' <Zi>op- KO°P-

динаты

узлов в

 

срединной

 

плоскости

пластины; d^-толщина

КЭ в i-м узле.

 

 

поля

 

перемещений

воспользуемся из­

 

Для

аппроксимации

 

вестными гипотезами, принимаемыми в теории плоских плас­ тин:

-деформации по нормали к срединной плоскости беско­ нечно малы;

-деформации растяжения, сжатия и сдвига в срединной плоскости отсутствуют;

-справедлива гипотеза прямых нормалей.

Перемещения внутри КЭ однозначно определяются тремя

угловыми компонентами

- поперечным перемещением

w и двумя

углами поворота нормали

1

2

<р

вокруг

„

1

2

<р

и

осей

z

и г

(рис. 3.10.3). Тогда

вектор

перемещений

равен:

 

 

8

0

 

 

 

r

2

-i

 

 

 

 

x3d.

 

 

 

 

0

 

 

{-<ph

 

 

(3.10.6)

 

 

+ --- 1

 

 

 

 

 

 

2

 

' ri'cp

 

 

 

-^wi^cp

-

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

или

3,

гх d.

^0

8

2

3,

 

 

 

х

d^

0

(3.10.7)

- I

0

^

i«l

 

2

 

JL cp

 

 

 

 

 

0

N.

(w.)

 

 

 

 

X cp

2И

Рис. 3.10.3. Узловые неизвестные КЭ пластины.

Сравнение формул (3.10.1)

и

(3.10.6) показывает, что

число узлов, используемых

для

описания формы (геометрии)

КЭ, больше числа узлов, используемых для определения ин­ терполяционной функции, которая аппроксимирует поле пере­ мещений внутри одного КЭ.

Поскольку суперпараметрический КЭ выводится из трех­ мерного изопаракетрического КЭ (рис. 3.10.1), то выраже­ ния для компонент тензора деформаций в декартовой системе координат совпадают с аналогичными для трехмерного слу­ чая, в которых не учитываются деформации в направлении нормали к срединной плоскости:

(3.10.8)

(3.10.9)

Перемещения и в глобальной декартовой системе коор­ динат выражаются через криволинейные координаты по форму­ лам (3.10.7). Производные от этих перемещений по глобаль­

ным координатам z определяются матричным соотношением:

U

2 '

u

3'

л

г » 1;,

U

2'

3' л

А '

,i*

1 "

,i

u i :i'

2 '

 

3'

 

 

 

2 '

3'

- 1;,.

,2 ' U

,2 ' =J-2

- 1:» “

,2 u

,2

«\'з.

2'

U

3'

 

к »

u

2 '

3'

,3'

,3'J

,3 U

,3 J

Здесь J -

матрица

Якоби:

 

 

 

 

 

 

 

 

J

 

 

 

(3.10.11)

з •

Отметим также, что u =w в принятых нами обозначениях. С учетом соотношений (3.10.4) матрица Якоби равна:

8

8

8

j

3

S N. J z ! )

У н . ,

d. x.

1 1

* L

1,1' l'cp

“ 1/1

у

 

ie l

i=l

i=l

2

 

8

8

8

,

3

 

 

Lt

.(3.10.12)

I

K i , 2 ' zi» . p

I

*• , ЛA

i=l

i,2

i =l

i=l

2

 

0

8

d.

 

0

 

Так как размеры КЭ пластины (длина и ширина) малы по

сравнению с радиусами кривизн в соответствующих направле­

ниях, членами, содержащими х3 в матрице Якоби, можно пренебречь. В этом случае вместо (3.10.12) имеем:

'

J u

J 12

0

'

J=

J 21

J 22

0

(3.10.13)

 

0

0

J33 -

 

 

 

Производные от перемещений по локальным координатам равны:

x3d.

8

 

l »i,«

' -2> I *

A i - t »e p ,

i=i

i-i

2

 

8

 

“3>

l Ni.a wi

 

 

i*l

 

Подставляя эти формулы в (3.10.10) с учетом (3.10.13) получим:

к'

-1

к'

—1 к'

 

к'

—1 к'

-1 1г'

U ,1'“

J11U

,1+J12U

,2? U

,2*=J21U ,1+J22U f2'

 

U r3 ' J33u

f3'

2 ' -т-1п2 '

 

 

u

•a^=

‘a-au

'

 

 

 

 

 

 

,3'~J33U ,3

ГД© J^j (i,j=l,2,3) - элементы матрицы j"1.

Используя эти соотношения вектор деформаций запишем следующим образом:

 

x3ai

0

О

 

 

8

О

х3Ь^

0

«и|)„

 

з

з

О

ср

(3.10.14)

 

i=l

xJb^

xJa^

О

 

ш.

. (wi> ер

 

 

с.

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

где

 

-1

 

di .,-1.

.-1.

 

 

 

(Jn N i,l+J12Ni,2 l;

<J2? i (l+J22Ni,2 l'

m i‘CJ21Ni,l+J22Ni,2;

4u

Из равенства (3.10.14) следует матрица градиентов

В=[ВдВ2 ...Bg] вектора перемещений, i-й блок которой можно представить в виде:

Л*

X J L

,

(3.10.15)

р.=х3В^+В?

 

где

 

 

а.

0

0

'

0

0

0 ■

 

 

i

 

 

 

 

 

 

 

 

0

b.

0

 

0

0

0

В*

=

ь1

ai

0

, в? -

0

0

0

л.

 

 

 

 

 

 

 

 

0

0

0

 

0

ci

m i

 

 

0

0

0

 

- ci

0

ni-

 

 

 

 

 

 

 

Вектор напряжений связан с вектором деформаций форму** лой:

<г=Се

(3.10.16)

Для изотропного материала

матрица упругости равна:

' C 11

C12

0

0

C21

C22

c= 0

0

C33

0

0

0

0

0

0

0

0

 

0

0

 

0

0

(3.10.17)

0

О

 

0

°555J

 

cll=c22=E/(l-v2)} C 12=C21=^Е/(1 с44=с55=® / (2 г4 *(1+ У))«

Для улучшения аппроксимации сдвиговых перемещений в зна­ менатели элементов с44 и с55 введен множитель к=1,2 .

Матрица жесткости КЭ равна:

1 1 3 .

K=jBTCBdV= J* jBTCB|det(J)|dx1dx2dx3 .

V -1-1-1

С учетом соотношения

(3.10.15) блок матрицы жесткости К

можно записать

в виде:

1 1 1

(х3В*' Ш

+B°)C(xV+B°)|det(J)Пг ' П Пг 1 ' 1 1|dx1dx2dx3.

« " Ч

Так как матрица Якоби J не зависит от х3 , то можно вы­ полнить точное интегрирование по толщине КЭ. Получим в результате интегрирования следующие соотношения:

Kmn=K^n + К^п ,

. 1 1 ктп= _ Г

1

О J , (IV CBnldet(J)

dx '

 

- 1-1

 

1 1

(B°)TCB°|det(J) Idx1dx2

* 7 " 2

Элементы матрицы К1"11 можно представить в виде:

к7 =c i jk i ft7

+cipkqs 7

'

( j ' 1=1' 2!

p ' q=1' 2 ' 3 ) '

или

_1

mn,rl

, m rl

mripi

дтп+

^.mn

Kik

“CilklA l1+Cilk2A l2

i2k l 21

i2k2A22

, n 0

rm n , ~0

- m n , «0

=rmn,p0

rmn.pO

т т п

^ i lklA ll+Cilk2A12+Cilk3A 13+Ci2klA21+Ci2k2A22+

,p0 rmn,p0

 

-mn,p0 rmn.pO

rmn

+Ci 2 k3A2 3 +Ci 3k lA31+Ci 3k2A32+Ci 3k3A 33

Здесь:

1

1

 

 

2

 

 

.mn

 

"a a

|d e t ( J ) I d x W V

AnXX — 3

 

m

n 1

 

Amn=

1 1

1 . 2

 

 

 

'

12

 

ambnldet(J)^dX ^

А™ = — I Ianbmldet(J|ldxldx

- 1-1

_mn 2

1 1

7rlrlJbmbn Idet(J)|dx1dx

дЛШ

11“2 J nmnnldet(JH dxldx2

-1-1

1 1

rmn

*12 =2 J Jnmmn Ide^ ^J)Id^dx2

-1-1

1 1

дШП=р

A 13 2 nmCnldet(J) ldxl<ix2

 

1

1

Amn=2

mmnn ide^(J)Idx*dx2

A 21

Z

 

1

1

A 22

* l

mmmn1det {J H d*1^ 2

-1-1

1 1

A™=2 | J V n | d e t ( J ) | d x W

-1-1

1 1

дпш=2

Jcmnn|det(J)| d x W

А 31 г

- 1-1

1

1

Я 32в2 I fCmmnldet(J) I d x W

-1-1

1 1

дШП

A 33=2 J CmCnldet(J) !dxl<ix2

- 1-1

Тензоры нодулей

упругости

в виде

симметричных матриц

имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

с 1111

с 1122

0

О

О

 

 

1

с2211

с2222

0

О

О

 

 

О

О

С1212

О

О

г

 

Сijkl"

 

 

О

О

О

О

О

 

 

 

О

О

О

О

О

 

 

 

о

 

 

О

О '

 

 

о

О

 

 

О

О

 

с

О

 

 

О

 

О,

 

ipkq

О

 

С3131

0

 

 

 

 

 

 

 

О

 

 

О

3223

 

где с1111~с2222 С 11 С22' С1122=С2211~С12=С21# С1212 С33'

С3131=‘С2323вС44=С55 * Интегрирование выполняется численно по формуле Гаусса-

Лежандра .

Как показано в работе [31], более точные результаты при решении двумерных задач теории упругости достигаются введением внутреннего узла в центре КЭ.

ДЕВЯТИУЗЛОВОЙ СУПЕРПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КЭ. На рис. 3.10.4 показана срединная плоскость девятиузлового КЭ пластины переменной толщины. Геометрия такого КЭ полностью опреде-

1 •

‘2'

ляется координатами (г^)ср и <

его восьми узлов сре­

динной плоскости и толщиной пластины d. Поэтому для ап­ проксимации координат воспользуемся функциями формы КЭ Сжрендипова семейства [50]:

zк'

(3.10.18)

где

^zi^cp“ ^^zU c p f^zi^cp'x di/2J‘

Поле перемещений аппроксимируется функциями формы КЭ Лагранжева семейства [50]:

- X

з°

2

x3d.

о

0

i=l

N V

 

Рис. 3.10:4. Срединная плоскость девятиузлового суперпараметрического КЭ пластины.

Обозначим L ^ x 1) - коэффициенты интерполяционного по­

линома Лагранжа n-го порядка по координате х 1 и Lj(x2 ) -

коэффициенты этого полинома m-го

порядка по

координате

х

2

. С их

помощью построим функции

формы

двумерных КЭ Лаг-

ранжева

семейства:

 

 

 

 

 

 

NjJ(xa ) = N ^ m (xa )=L"(x:L)L^(x2 )

,

(3 .10.20)

где узлу к соответствует комбинация индексов (i,j). Интерполяционные коэффициенты Лагранжа на отрезке

[-1 ,1] определяются по формуле:

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности