книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

ВВЕДЕНИЕ

Развитие метода конечных элементов (МКЭ) и его приме­ нение к задачам механики деформируемых тел началось с по­ явлением ЭВМГ хотя сама идея моделирования сплошной среды ансамблем дискретных элементов возникла еще в XIX веке. Математические основы метода впервые были сформулированы Р.Курантом в 1943 г. [143], а термин "конечный элемент" был введен в статье Р.В.Клафа, посвященной решению плос­ кой задачи теории упругости [141]. В настоящее время этот термин прочно вошел в техническую и учебную литературу, а сам МКЭ в силу своей общности и высокой степени форма­ лизации стал важным инструментом при решении разнообраз­ ных задач механики. Следует отметить, что первоначальная трактовка МКЭ базировалась на принципах строительной ме­ ханики [121], что ограничивало сферу его приложений. Поз­ же, когда были сформулированы основы метода в вариацион­ ной -форме, открылись возможности его широкого применения при решении большого класса других проблем механики.

К настоящему времени имеется большое число публикаций, посвященных как теоретическим основам,так и приложениям МКЭ, поэтому приводимый список литературы не может пре­ тендовать на полноту. Вместе с этим представленный пере­ чень литературы позволяет достаточно полно охватить ос­ новные направления МКЭ и его приложений. В разработку теоретических основ метода и его. приложений внесли боль­ шой вклад многие исследователи. Среди них можно выделить М.Дж.Тернера, Дж.Х.Аргироса, Р.В.Клафа, О.К.Зенкевича, Л.А.Розина, Дж.Одена, А.С.Городецкого, И.Алътенбаха, В.А. Постнова, Н.Н.Шапошникова, Г.Стренга, Д.Фикса и др.

МКЭ основывается на возможности представления реальной конструкции в виде совокупности элементов конечных разме­ ров, соединенных между собой в узлах конечным числом уз­ ловых связей. Другими словами, действительная физическая система заменяется идеализированной дискретной моделью.

Математическая сущность указанного приема состоит в приведении дифференциальных уравнений или функционалов, описывающих изучаемый объект, к системе линейных алгеб­ раических уравнений, порядок которой определяется числом степеней свободы идеализированной модели. В этом смысле с математической точки зрения МКЭ тождественен методу Ритца. Основное и принципиальное отличие состоит в кусочнонепрерывном определении полей интерполирования,что позво­ ляет - и в этом заключается важное преимущество МКЭ -про­ сто рассматривать нерегулярные границы тела. В свою оче­ редь, кусочно-непрерывная аппроксимация позволяет полу­ чать редкозаполненную или ленточную структуру матрицы разрешающих уравнений и использовать эффективные прямые и итерационные методы их решения.

Предполагается, что искомые непрерывные величины (пе­ ремещения, напряжения, температура и т.д.) в пределах каждого КЭ при помощи задаваемых аппроксимирующих функций можно выразить через значения этих величин в узловых точ­ ках, а произвольное внешнее воздействие (например, задан­ ную нагрузку, действующую на конструкцию ) можно заменить эквивалентным сосредоточенным в узлах воздействием (сис­ темой эквивалентных узловых сил).

При такой кусочно-непрерывной аппроксимации обеспечи­ вается условие совместности лишь в узловых точках, а в остальных точках границ элемента это условие удовлетво­ ряется в общем случае приближенно. Поэтому различают эле­ менты, обладающие различной степенью совместности. Эле­ менты, для которых обеспечивается непрерывность при перешходе через общую границу для искомой функции со всеми ее

п производными, относят к классу Сп - элементов. При ре­ шении пространственных задач с использованием объемных

элементов, как правило, ограничиваются С°-элементами, при расчете тонкостенных,в том числе и балочных конструкций -

С "^-элементами.

Наряду с узлами, расположенными на границе элемента, в некоторых элементах для удобства построения аппрокси­ мирующих функций вводятся внутренние узлы. Однако, при объединении элементов эти узлы при помощи так называемой процедуры статической конденсации из рассмотрения исклю­ чаются.

Последовательность процедур может быть представлена в следующем виде:

1. Дискредитация рассматриваемой области, т.е. замена континуальной среды совокупностью КЭ заданной формы, соединенных между собой в узлах конечным числом связей.

Этот этап, несмотря на видимую простоту, имеет важное значение, хотя он и не обусловлен строгими теоретическими рекомендациями и во многом определяется интуитивно.. Обыч­ но при построении конечно-элементной модели руковод­ ствуются предварительными представлениями о характере ожидаемого результата, и в местах высоких градиентов ис­ комых величин сетку конечных элементов сгущают.

Важным моментом является также рациональная нумерация узлов сетки КЭ, поскольку нумерация оказывает существен­ ное влияние на структуру матрицы разрешающих уравнений (ширину ленты), что отражается на времени счета и объеме используемой оперативной памяти ЭБН.

Отметим, что в настоящее время разработаны программы автоматизированной разбивки области на КЭ и рациональной нумерации узлов. Этот вопрос будет обсужден более деталь­ но позже.

На рис.В1 и рис,В2 представлены примеры конечно-эле­ ментных моделей двух конструкций.

2. Выбор вариационного принципа.

Выбор вариационного принципа определяет основные неиз­ вестные фуннкции, через которые впоследствии устанавли­ ваются остальные неизвестные. В задачах механики деформи­ руемого твердого тела используются следующие вариационные принципы: принцип Лагранжа, в соответствии с которым варьируются перемещения; принцип Кастильяно (варьируются напряжения), принцип Рейсснера (варьируются перемещения и напряжения), принцип Ху-Вашицы (варьируются перемещения, напряжения и деформации).

В практических расчетах чаще всего используется прин­ цип Лагранжа. Поэтому дальнейшее изложение базируется на его основе.

3. Выбор аппроксимирующих функций.

Выше уже отмечалось, что при кусочно-непрерывной ап­ проксимации предполагается, что перемещения внутри эле­ мента цогут быть выражены через перемещения в его узлах. Эта связь описывается при помощи так называемых функций формы, которые.аппроксимируют действительное поле переме­ щений внутри элемента. От выбора аппроксимирующих функций в значительной степени зависит точность решения. Эти функции должны удовлетворять следующим критериям:

- критерию полноты: при стремлении размеров элемента к нулю выбранные функции формы должны обеспечить любые постоянные значения.

- критерию совместности: функции формы должны обеспе­ чивать непрерывность перемещений и ее производных до (n-l)-ro порядка на границе между элементами (где п-по- рядок старшей производной в функционале энергии). Если выбранный тип элемента обеспечивает непрерывность поля перемещений, то по указанной выше классификации его отно­

сят к классу С^-элементов, а если обеспечивается и непре­

рывность деформаций, то к классу. С^-элементов.

При выполнении этих критериев с увеличением числа ко­ нечных элементов, моделирующих конструкцию, результаты расчета монотонно сходятся к точному решению. Нарушение критерия совместности в ряде случаев приводит к достовер­ ному результату, но сходимость в этих случаях не будет монотонной.

4. Реализация вариационного принципа.

На этом этапе осуществляется вычисление матриц жест­ костей элементов и построение глобальной матрицы системы алгебраических уравнений и вектора узловых сил. Глобаль­ ная матрица жесткости может быть получена несколькими ме­ тодами :

-методом непосредственного сложения жесткостей;

-методом конгруэнтного преобразования;

-при помощи конечно-разностных операторов.

5. Учет граничных условий.

Полученная на основе указанных методов матрица жестко­ сти является вырожденной, поскольку в соответствии с уравнениями равновесия заданной системы часть уравнений (для пространственных систем - шесть, а для плоских -три) окажутся взаимно зависимыми. ^Корректировка этой матрицы при учете граничных условий приводит к невырожденной сис­ теме линейных алгебраических уравнений.

6. Решение системы алгебраических уравнений.

Для решения системы алгебраических уравнений исполь­ зуются стандартные программы, имеющиеся в математическом обеспечении ЭВМ, и специально подготовленные и лучшим об­ разом учитывающие симметрию и структуру матрицы жест­ кости системы - редкозаполненность или ленточность.

7. Определение деформаций и напряжений.

После определения узловых перемещений в соответствии с известными соотношениями теории упругости могут быть определены деформации и напряжения.

Г л а в а I

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МКЭ

I.I. ОСНОВЫ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Уравнения линейной теории упругости выводятся в пред­ положении, что условия равновесия формулируются для недеформированного тела, перемещения и деформации беско­ нечно малы, а связь между напряжениями и относительными деформациями линейна. Соотношения между напряжениями и поверхностными или объемными силами (уравнения равнове­ сия), перемещениями и относительными дефор­ мациями (кинематичес­ кие уравнения), а так­ же напряжениями и от­ носительными деформа­ циями (уравнения сос­ тояния) в совокупно­ сти представляют со­ бой замкнутую систему уравнений, однозначно определяющую все ком­ поненты тензора нап­ ряжений, тензора от­ носительных деформа­ ций и вектора переме­ щений. Путем исключе­ ния из этой системы перемещений или де­ формаций получают диф­ ференциальные уравне­ ния теории упругости:

тегральную, вытекающую из вариационных принципов механи­ ки.

Рассмотрим уравнения для трехмерного упругого конти­ нуума в декартовой системе координат. Из них вытекают как частные одно- и двумерные уравнения.

(1.1.5)

*ЙЕ*

где т - матрица преобразования:

п. =:cos (П, z1 ); i-=1,2 1

В результате преобразования к главным осям вектор напряжений принимает вид:

При динамическом нагружении вектор р зависит от времени и содержит в качестве слагаемого вектор силы инерции. Краевые условия (1.1.16) должны быть дополнены начальными условиями в момент времени tQ . В уравнении

(1.1.15) матрица дифференциального оператора D равна:

В силу симметричности тензора напряжений условия равнове­ сия моментов, приложенных к малому элементу объема, не приводят к новым уравнениям.

ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ, ПЕРЕМЕЩЕНИЯ И УСЛОВИЕ СОВ­ МЕСТНОСТИ. Если на упругое тело действуют внешние нагруз­ ки, точки тела изменяют свое положение в пространстве. Эти изменения можно охарактеризовать вектором перемеще-

*

В криволинейной системе координат (а,£,г) операторы в общем случае имеют следующую структуру:

3Par3S [a(a,|3,r) ... ]

F( а,/3,у)

3aP3/3r3*S

При транспонировании матрицы дифференциального опера­ тора D эти операторы заменяются сопряженными:

3p3r3s[a( а,£,.у) .. .]

где i,j - номера строки и столбца в операторе, соответ ственно.