Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4626 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

..pdf
Скачиваний:
8
Добавлен:
12.11.2023
Размер:
20.57 Mб
Скачать
☆

Рис. 3.3.2. Локальная координатная система 8 - и 20 - узлового изопараметрического КЭ сирендипова семейства.

Для того, чтобы вычислить МЖ изопараметрического КЭ выведем зависимость тензора деформаций в произвольной криволинейной системе координат от перемещений в глобаль­ ной декартовой системе координат. Положение произвольной

точки КЭ описывается радиус вектором R. После деформации радиус вектор равен (рис. 3.3.1):

г = R + и

(3.3.6)

Радиус-вектор точки до деформации в основной (глобаль ной) системе координат имеет вид:

-»

(3.3.7)

R

Базисные орты в локальной системе координат по отно­ шению к недеформированному состоянию находятся как произ­ водные радиуса-вектора по локальным координатам:

д-в г . 4

.+ и , » S. + и

.

(з.з.8)

/1

fl

1

Г1

 

Координаты метрического

тензора

для

деформированного

состояния равны:

 

 

 

(3.3.9)

'д. . = g. *d.

 

-in' 1 '■* l'l .n'

U /i*U /jBa(u,m,ek'+u ek',m'>z,i,<u ,nel-+u el'n'|z,j “

k'.l'

\r’ Trf

=®k'4 i'u ;iu;i

- uViu'

 

- ъ

Таким образок, получаем компоненты тензора деформаций в произвольной криволинейной локальной системе координат КЭ, которые выражаются через перемещения в глобальной системе координат:

(k г 1WJb

л

VJV ' if”'iv

a

JVlr^1r/JV. & //a

(3.3.15)

z

.u

. +

г

.11 .

+

u

.11 . ) /2

■*-J

f 1 U

 

/ J

f 1

 

f

f j

 

При бесконечно малых деформациях третьим нелинейным членом внутри скобок формулы (3.3.15) можно пренебречь.

В качестве функций формы для аппроксимации перемещений можно выбрать полиномы Лагранжа:

lmn

 

,

1

1

Ш X

2

 

2

 

3

3

 

 

у

V*'

 

х -хк

 

-х, п х

3

-хк

(3.3.16)

п

 

 

П —

5—

Ц П ■

3

1

P3rk=o

x1-xi к=0 х -хГ. к=0

х

г

-х.

 

 

Р*Г

 

к*р

Р

к к»,

ч

 

к к*г

 

к

 

 

в ыборе

п о л и н о м о е 1

Лагранжа

(второго

и

более

высокого порядков)

в

качестве

 

функций

формы

КЭ

должен

иметь узлы не только на ребрах, но также и внутри КЭ. Однако, формируемая МЖ не будет содержать степени сво­ боды, соответствующие внутренним узлам. Так называемые КЭ "сирендипова семейства” имеют узлы, расположенные только на ребрах КЭ.

Если выбранные функции перемещения не приводят к деформациям удлинений при смещении тела как абсолютно твердого тела, тогда геометрия КЭ инвариантна относитель­ но преобразования системы координат. Можно показать, что

это

условие выполняется,

когда

справедливо

равенство:

 

_п

*

1.

(3.3.17)

 

][ N-^x3) =

 

i=l

 

 

 

них

Совместность перемещений на общей границе двух сосед­

КЭ обесценивается,

если

перемещения

в любой точке

границы однозначно определяются перемещениями ее узлов и

функции

обращаются в нуль

в тех узлах,

к которым

они

не относятся.

семейства и

линейные

КЭ

Линейны е КЭ Лагранжева

"сирендипова семейства" идентичны. Полилинейные функции формы для 8-узлового КЭ имеют вид (рис. 3.3.2):

N (х3 ) = pqrv '

Поликвадратичные функции формы 20-узлового КЭ сирендипова семейства будут различны для узлов в вершинах объем** ного КЭ и узлов на серединах сторон.

Функции формы, соответствующие узлам КЭ в вершинах КЭ, имеют вид:

N

(х3)=

 

1

1

2

2

3

3

(1+Кпт-х

)(1+x^L уГ )(1 + х * х * )

 

pqr'

'

4

pqr

 

pqr

 

pqr

 

 

(х*

х ^ х 2

 

х2+х3

х3-2 )/8

 

(3.3.19)

 

pqr

 

pqr

 

pqr

 

 

 

 

Функции формы, соответствующие узлам на серединах сторон, равны:

N (х3 )=(1+ х ^ х 1)(1+х2 х2 )(1+х3 х3 )[1-(х 1х2 х3 )2-

pqr'

pqr

' pqr

pqr

'

pqr pqr

-

, 2 3

1

J

.2

,

3 1 „2 > 2 . f t ,

X

x _ x

 

 

-(x

x

pqr

x

pqr

) ]/4

 

 

pqr

pqr

 

 

 

 

'

Приращение энергии при изменении формы КЭ деформирования записывается в виде:

1 1 1

1 5с.^C'*'3^ejt^i/gdx^dx2dx3=5vTKv swi - J-D

(3.3.20)

в результате

(3.3.21)

Здесь К - матрица жесткости КЭ, д-определит ель фундамен­ тальной матрицы, соответствующей метрическому тензору изопараметрического объемного КЭ.

Из условия симметричности тензора деформаций:

 

cijkl=cjikl^

cijkl=cijlk^

cijkl=cklij

 

(3.3.22)

С

учетом

равенства

(3.3.22)

подынтегральное выражение

в (3.3.21) запишется следущим образом:

 

 

5е

сi3klc

kl

= С 111ае

8с

 

^е223е11 +е115с22^+

5eijc

 

с

е11де11 + С

+С1133(е335е11 +

 

 

 

1112

 

С115е12 )+

е115е33 ) + 2С111":(е125с11 +

+2С1123(е0,5е

 

 

 

 

1131

 

е

 

+е113е23

) + 2CA1Ji(e315el;l-+

11ас31>+

 

23~~11

 

 

 

 

+C225e12^

+2С

2223

(e23Se22 + е225с2з) + 2С

9901

^С315е22+

 

 

+ е223е31^

+

3333

 

3319

 

 

 

С

е335е33 + 2С

^г125е33 + е335с12^+

+

3323

 

 

 

 

 

3331

 

 

 

2С

(е23«е3з + е3з«с23) + 2С44л1(е31«6зз+6зз5е31)+

 

1212

 

 

 

1223

 

 

1241

 

 

+ 4 C ^ AZel25el2+4C^^-3(e0,5e10+c1^6e04)+4Cl"!J±(e,l6elo+

 

 

 

 

 

■23“‘'12"'12"с'23*

 

>''31"""12

+

E 124C 31>

+

4с2323е235Е23 +

4С2331(е „л«е:,, +е,,6е,1)+

 

 

 

 

 

 

 

31

23

23

31

+

4С3131е31бе31

 

 

 

 

(3.3.24)

Для однородного изотропного материала с линейными упругими характеристиками имеем [154]:

:ijkl=M (gikgjl+gilgjk)+Agijgkl

,

 

(3.3.24)

где ц=Е/(2(1+1/))

и

Л=уЕ/{ (1+v) (l-2i/))

- константы Лаке;

*•

 

 

 

 

 

 

 

 

д13 -контрвариантные компоненты метрического тензора.

Пренебрегая

 

нелинейным членом

в

формуле

(3.3.15)

запишем компоненты

тензора

деформаций:

 

 

 

е . .=(J(i,*)u

4 + J(j,*)u .)/2=EIJTv

 

(3.3.25)

J - J

 

rj

t

 

 

 

 

Учитывая, что:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N lfl N2,1

N

"ZI

Z1

zi ■

 

J(i,k') = |2^ |

”n,l

*21'

 

 

(3.3.26)

N l,2 N2,2

Nn ,2

z r

* r

 

 

2 1

 

 

 

N l,3 N2,3

Nn,3J

81'

z3'

 

и

 

 

 

 

L n

n

n J

 

 

U :=G(x3 )

.V ,

 

 

 

(3.3.27)

 

 

 

 

 

получим:

 

 

t1

/

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.3.28)

EIJT=(J(i, *)°G .+J(ji*)°G •)/2

 

 

—

 

 

,j

*a-

 

 

 

C учетом равенства:

z « G(x )zif

G(xa ) = [lN1(xa )fIN2 (x0C)/.../INn (xa )j

(3.4.3)

Компоненты векторов перемещения u и z координат опи­ сываются в декартовой системе координат. Перемещения уз­ лов и их координаты в декартовой системе координат обоз­ начаются векторами v и z^. Матрица функций формы G(xa )

записывается в локальной

системе

координат х .

I - еди­

ничная матрица 3x3,

а п -

число

узлов

в конечном

элемен-

те.

 

 

§

а

 

Соответствие между индексом i в N^(x ) и комбинацией

индексов pq следует из рис. 3.4.2:

 

 

lm

 

 

 

 

(3.3.4)

“к ' = К м Л р ч ) ,х«,

 

pq

 

 

 

 

 

1т

 

 

 

 

 

v

к'

 

 

 

(3.3.5)

=l Z P

 

 

 

 

 

(pq>N (pq)(Xa>

 

 

,pq

Здесь к =1,2,3 соответствуют направлениям осей в гло­ бальной декартовой системе координат; 1+1,т+1 - число то­

чек

интерполяции

в

направлении каждой оси

локальной сис-

темы

координат;

k '

.-компонента перемещения

в

направле-

V.

 

нии

1г

IРЧ /

N

^

)-функция

оси z в точке

интерполяции р+1, q+1;

(х

 

 

 

 

 

C 4L

 

формы, соответствующая этой точке интерполяции;

lm 1 m

l =1 I

pq p=0q=0

При выводе формул для компонент тензора деформаций мембранного КЭ используются преобразования, аналогичные тем,что приведены в параграфе 3.3 (уравнение (3.3.15)):

V» V'

1г' V'

V' Тс'

(3.4.6)

e <x/3= ( z , a u ,/3 +

2 / 0 й »

+ u , a u , 0 ) / 2

Полилинейные аппроксимирующие функции (функции формы) для четырехузлового конечного элемента (рис.3.4.2) имеют

ВИД?

ы

1 1

2 2

( 3 . 4 . 7)

 

Npg (х * ) ■=( 1+Xpq*

) ( 1+xpqx ) /4

Запишем поликвадратические функции формы для 8-узло- вого КЭ сирендипова семейства:

- соответствующие узлам в вершинах:

Hpq(*“У=(l+xpgxl)(1+xlq*2><xpqxl+xpqx2_1|/4; <3•4•8>

- соответствующие узлам на серединах сторон:

Npq<x")=< 1+xpqxl)(1+xpqx2HI'(Xpq*2 )2‘ f*2,*1 )2 1/2 (3.4.9)

6l02i 7(12) 8(22)

Рис. 3.4.2. Локальная координатная система 4- и 8- узлового изопараметрического КЭ сирендипова семейства.

Энергия деформации, соответствующая изменению формы КЭ записывается в виде:

 

1

1

 

 

 

SWн

 

*aj3rS

ei},gv'g”~d(xa )dx1dx2

SvTKv.

(3.4.10)

 

4£afSC

-

1-1

 

 

 

Здесь К-матрица жесткости; g-определитель фундаментальной

матрицы для мембранного КЭ; d(xa ) - толщина мембраны. Толщина мембраны аппроксимируется следующим образом:

1га

d(xa )

£ d {pq)N(pq)<x * '

(3.4.11)

 

pq

 

где d -толщина мембраны в узле интерполяции p+l,q+l.

Примечание: при выводе матрицы жесткости произвольного криволинейного мембранного конечного элемента исполь­ зуются предположения:

- узловые силы КЭ лежат в касательной плоскости мембраны;

- направление действия внешних сил в узлах мембраны является произвольным. Учитывая свойство симметричности

тензора

деформаций:

 

 

 

 

 

 

 

 

*а&уб

*f?ay5

*а/3у8

 

*а06у

*а/3уб

*уба/3

(3.4.12)

С

= С

; С

= С

 

; С

 

= С

,

подынтегральную функцию запишем в виде:

 

 

 

*«/Зу5

* И 11

 

 

 

 

(Зе11е22+5е22е11)+

*саес

CyS = С

SellCll+С

 

+2C1112(Se

 

 

 

*2222

 

 

*2212

С 4"

11С12+5С12С11

)+Сгг^8с

22Е22+2С

 

 

 

 

(ве22С12

 

 

 

*1212

5е 12е12

 

(3.4.13)

 

 

+5е12е22 )+4СА

 

 

 

Орты ковариантного базиса для мембранного КЭ равны:

•* к '->

 

 

 

 

 

 

 

 

(3.4.14)

 

// g3=(g1xg2 )/( IgjX^i); д ^ = д ±*д^

Эти орты используются при вычислении тензора деформаций однородного изотропного материала с линейно - упругими свойствами.

В случае трехмерного напряженного состояния:

^ = с1^к1ек1 ,

(3.4.15)

где тензор упругости вычисляется по формуле (3.3.24)

Так как в соотношениях (3.3.24) g =0, то из равенства (3.4.15) получим:

сс/3 = с«/3у5

+ с«033

 

(3.4.16)

еуб

 

33

 

 

Согласно теории оболочек а33=С33т5Еу$+С3333е33=0, откуда

следует:

е

- -C33ySc

3333

 

/С

(3.4.17)

е33

u

еу5
Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности