книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций
..pdf+TJ{2,3) }c o s ^ - [TJ(3,4) +TJ(2,4) ]s i i ^ ).
Элементы матрицы К11111 вычисляются с использованием квадратуры Гаусса-Лежандра.
3.12. СУБПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ДВУМЕРНЫЙ. КОНЕЧНЫЙ
ЭЛЕМЕНТ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Субпараметрический КЭ применяется для геометрически простых форм -КЭ, как правило, с прямолинейными ребрами. При этом число узлов, используемых для описания геометрии КЭ, меньше числа узлов, используемых для описания поля перемещений. Степень полинома, аппроксимирующего поле пе ремещений, в субпараметрическом КЭ выше степени полинома, используемого для аппроксимации координат, т.е. геомет рии КЭ. На рис. 3.12.1 показан двумерный КЭ второго по рядка. Здесь черными кружками ( ® ) обозначены узлы, ис пользуемые для описания зависимости декартовых
координат |
zк' (к'= 1,2 ) |
3 |
от криволинейных коор- |
||
динат ха |
(а=1,2 ): |
|
4
i=l
где функции формы
N^(x )/ описывающие гео
метрию КЭ, имеют вид:
4
2 2
(1+КХ.)* (3.12.2) Рис.3.12.1. Субпараметрический двумерный КЭ второго порядка.
Поле перемещений |
аппроксимируется следующие |
образом: |
|||||
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
uk '= X |
Hi |
' |
|
(3.12.3) |
||
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
Функции формы в формуле |
(3.12.3) имеют |
вид: |
|
||||
|
|
|
|
±=1,2,3,4 |
|
|
|
N?(xa )=— |
{l+x3*} ).(1+х2х?) ( x ^ |
д^_ + x ^ - l ) , |
|||||
д.' ' |
4 |
1 |
|
i #' |
1 |
'' |
|
|
|
|
|
|
±=5,7 |
|
|
П?{ха И — |
|
(l-tx1)2 )(1+х2х?), |
|
||||
|
|
2 |
|
±=6,8 |
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N?(x*) = — |
|
( 1 + А } ) ( 1 - ( х 2 )2 ). |
|
||||
|
J. |
2 |
|
х |
|
|
|
На рис. 3.12.1 светлые кружки ( о ) обозначают узлы, используемые для аппроксимации поля перемещений.
Компоненты тензора деформаций в случае плоского напря женного (ПНС) или плоского деформированного состояния (ПДС) описываются формулами:
|
|
±'±' =и |
/ |
$ |
|
|
(3.12.4) |
|
|
е •, |
. ,=u 1' ., +U.Ji'. |
|
|
(3.12.5) |
|||
|
i'll' |
,У |
,л/ |
|
|
|
||
Производные |
от |
перемещений |
и |
в |
глобальной системе |
|||
координат равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 ' |
2 |
п |
|
U |
1 ' |
. , 2 ' |
i |
|
u , 1 ' |
“ |
, 1 ' -J-1 |
1 |
“ |
,1 |
|
||
|
2 ' |
|
“ |
1' |
2 ' |
J |
||
|
“ |
, 2 'J |
|
,2 |
U |
,2 |
||
Матрица Якоби J, равная
Г _Г |
,1 |
■ , 1 |
|
J= |
|
У |
, 2 J |
' ,2 |
выражается |
через |
функции |
формы N*(xa ) следующим образом: |
||||
|
|
|
|
|
1' |
2 S |
|
|
. N- . И- - Нд - |
zi |
zi |
|
|||
|
z1' |
z2 ' |
|
||||
|
1/1 |
2/1 |
3/1 |
4/1 |
|
||
J= |
|
|
|
|
Z2 |
,Z2 |
(3.12.7) |
N N |
|
И |
N |
1' |
2' |
||
|
“2,2 |
Z3 |
Z3 |
|
|||
|
"1,2 |
“3,2 |
“4,2 J |
1' |
_2f |
|
|
|
|
|
|
|
Zл |
z « |
|
|
|
|
|
|
4 |
4 J |
|
где N ! .=аы! ( х ^ х 2 )/ах3 . |
|
|
|
|
|||
j |
1 |
|
|
|
|
|
|
Производные от перемещений по направлениям локальных координат имеют вид:
8
и |
к |
г> „о |
к' |
(3.12.8) |
|
,a |
= ) N. |
и. |
|||
|
L |
x,a |
x |
|
|
i=l
В равенстве (3.12.6) с учетом формулы (3.12.8) произ-
водные ик'г-, равны:
“к д ' = I |
[ I |
(ЗЛ2-9) |
1=1 |
j=l |
|
где jT,j - элементы матрицы J |
; i',k,eslf2 для двумерного |
|
КЭ. |
|
|
Из формул (3.12.4), (3.12.6), (3.12.9) в зависимости
с=Ви
имеем следующий блок матрицы градиентов:
В=[В^,В2/ •••/ ®01•
2
V J7*N ° . L 1] 1,э
j=l
0
вх=
2
У j“^N° .
L 2j 1,з
j=l
|
|
0 |
|
|
-i |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
~* ° . |
|
||
У |
J |
(3.12.10| |
|||
L |
2 3 |
N |
1,3 |
||
|
|
||||
j=l |
|
|
|
||
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
i j i K , j |
J |
||||
j-1 |
|
|
|
|
|
Вычисление эленентов матрицы жесткости
1 1
K=d |
ВТСВ Jdet(J )|dx^dx^ |
выполняется с использованием квадратуры Гаусса-Лежандра. Здесь d - толщина двумерного КЭ, С - матрица упругости.
3.13. СИНГУЛЯРНЫЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
Исследование НДС в окрестности концентраторов напряже ний, например, в областях с угловыми точками, возможно путем сгущения конечноэлементной сетки. Другой подход заключается в использовании сингулярных конечных элемен тов, функции формы которых точно описывают поведение осо бенностей в малой окрестности вершины угла.
Рассмотрим плоскую задачу теории упругости. Для упро щения задачи сингулярные функции формы локализуем в сек торе радиуса R в окрестности вершины угла величиной 2ы (рис. 3.13.1). Сектор представляется набором треугольных конечных элементов, узлы которых содержат неизвестные пе
ремещения. Остальная часть области состоит |
из обычных |
|
треугольных или |
четырехугольных КЭ . |
|
Поле перемещений внутри сингулярной области аппрокси |
||
мируется следующим |
образом: |
|
2 |
|
|
ti= £ |
c^^(r,©')+u°(r,0), |
(3.13.1) |
1=1
где j£j(r,0) - вектор сингулярных функций; и°(г,0) - регу
лярное решение; с^ - коэффициенты, зависящие от геометрии
области, вектора нагрузки, физических констант материала, типа напряженного состояния.
Рис.3.13.1.Моделирование |
окресхносх, У - |
|
Из условия обращения |
в р ^ Г о б л а с х Г ! ^ ' 91’”0 ИКвв" ! |
|
е локализации сингулярной оол |
х |
|
границе |
|
(3 •13•2) |
|
|
|
ляющийся к вектору неизвестных перемещений сингулярного узла (вершины угла) в сингулярном треугольном КЭ.
Таким образом, в плоской задаче теории упругости для симметричного треугольного КЭ имеется 8 неизвестных па раметров: б неизвестных компонент вектора перемещений (по
2 компоненты |
в узле) |
и 2 неизвестных коэффициента |
и с2 |
в сингулярном |
узле (вершине угла). |
|
|
Вектор деформаций |
равен: |
|
|
|
|
e=Du, |
(3.13.7) |
где D - матрица дифференциального оператора. В полярной системе координат матрица D имеет вид:
8
|
|
|
л |
а х |
|
|
и |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
а |
D |
|
г |
(3.13.8) |
г |
|
а в |
|
1 |
а |
1 |
а |
г |
|
_ _______ |
|
а в |
Г |
д Х - |
|
Из формул (3.13.6), (3.13.7) следует
ceBcc+Bv, |
(3.13.9) |
где В =ОФ , B-DG. С ""
Из условия стационарности полной потенциальной энергии (1.2.21), вытекающего из принципа возможных работ, полу чим систему:
|
К.v+K |
.c=f•, • |
(3.13.10) |
|
|
1 |
Cl |
1 |
|
|
Ke ,c + K l . v = 0 , |
( 3 . 1 3 . 1 1 ) |
||
|
SI |
Cl |
|
|
где |
- матрица жесткости |
i-ro сингулярного |
треугольного |
|
КЭ, соответствующая аппроксимации регулярной части реше
ния; |
- |
матрица |
жесткости |
i-ro КЭ, |
соответствующая |
|
аппроксимации сингулярной части |
решения; |
К . |
- матрица |
|||
жесткости, |
вытекающая |
из работы |
внутренних |
сил, |
соответ |
|
ствующих сингулярной части решения, при деформировании
треугольного |
К Э . |
К |
^ равны: |
|
|
||
Матрицы К^, К |
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
Ki= |
|
JB[ciBi / g ^ dx ldx2 , |
(3.13.12) |
|||
|
-l-i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
i |
i |
|
|
|
|
К |
. - |
Г |
Гв^.С.В . / |
g |
d x ^ d x ^ , |
(3.13.13) |
|
|
si |
J J ci |
i civ |
4 |
' |
|
|
|
-l-i |
|
|
|
|
||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
Kci- |
J BiCiBc i / ^ " dxldx2' |
(3.13.14) |
|||||
|
|
- 1-1 |
|
|
|
|
|
где нижний индекс i обозначает i-й КЭ, с;^ - матрица де формирования, g - определитель фундаментальной матрицы
метрического |
тензора. |
бхб, К . |
Отметим, |
что матрица К. имеет размерность |
|
|
1 |
SX |
2x2 и К . - 2хб. сд.
Используя процедуру формирования глобальной матрицы жесткости получим для сингулярного многоугольного КЭ, состоящего из сингулярных треугольных КЭ, систему уравнег ний:
Kv+KСc=f, |
(3.13.15) |
||
К |
S |
c+KTv=0. |
(3.13.16) |
|
C |
|
|
Использование сингулярных конечных элементов в струк туре для аддитивного выделения особенностей в окрестнос тях угловых точек границы позволяет определить коэффи
циенты |
интенсивности напряжений как для симметричного, |
так и |
кососимметричного состояний. При этом порядок ап |
проксимации приближенного решения будет таким же, как и для задачи с гладкой границей, что обеспечивается необхо димым порядком аппроксимации решения в сингулярной облас ти и полной совместностью конечных элементов.
3.14.ЭФФЕКТИВНАЯ СХЕМА ВЫЧИСЛЕНИЯ-МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ
Вобщем трехмерном случае МЖКЭ равна:
1 1 1
К= J J JBTCB| d et (J ) | dx1dx2dx* |
(3.14.1) |
-1-1-:.
где подынтегральная функция:
F (х 1,х2,х3)=ВТСВ|det(J )|, |
(3.14.2) |
как правило, является достаточно громоздкой.
В МКЭ наибольшее распространение получила квадратура Гаусса-Лежандра, так как в ней используется меньшее число точек интегрирования, чем в других квадратурах, в соот ветствии с квадратурой Гаусса-Лежандра вместо (3.14.1) инеем:
1 |
1 |
1 |
|
|
К= I |
I |
1 HiHjHkF (x^,x?,x3), |
|
(3.14.3) |
i=lj-lk=l |
|
|
||
где Н^, Hj, Hj^ — |
1 |
2 |
3 |
|
весовые коэффициенты; х^, |
х^, |
х^- коор |
||
динаты точек интегрирования; 1 - число точек интегрирова-
ния в каждом из направлении х" X2 , х3 (1 - порядок квад-
ратурной формулы).
Порядок квадратурной формулы 1 зависит от степени по линома, используемого для аппроксимации поля перемещений и геометрии КЭ.
Матрицы жесткостей двумерных и одномерных КЭ вычис ляются с использованием двухкратного и однократного сум мирования, соответственно.
На рис. 3.14.1 в качестве примера приведены точки ин тегрирования и весовые коэффициенты для двумерного КЭ при 1=2 и 3. При использовании КЭ высоких порядков затраты машинного времени на численное интегрирование существенно возрастают. Поэтому актуальным является выбор рациональ ной схемы вычисления матрицы жесткости. Компактное пред ставление матрицы жесткости, предложенное в работе [163], позволяет снизить количество арифметических операций при интегрировании и сократить время расчета на ЭВМ.
о п=2: ^/4^+0,577350? Wj-1? i=l,2?
□ n=3: ^,4^+0,774597? w^=5/9? i=l,3?
?2=42=0/ W 2=8/9.
Рис. 3.14.1. Точки интегрирования и весовые коэффициенты в формулах Гаусса-Лежандра второго и третьего порядков.
Перемещения в КЗ представим в виде:
u = N . и". |
(3,14.4) |
|
Ш |
1 ш |
|
где ит , - перемещение любой точки КЗ по направлению коор
динатной оси |
zm (т'=1,2,3)? Ц. - функция |
формы, |
соответ- |
|
ствующая узлу КЗ с номером i |
1 |
i |
|
|
(i=l,2,...,n); um# - переме |
||||
щение узла i |
по направлению |
оси zm ? п |
- число |
узлов в |
К З . |
|
|
|
|
Компоненты тензора деформаций1e^j связаны с компонен тами вектора перемещений соотношениями Коши, которые с учетом (3.14.4) представляются следующим образом:
1
ПГ
(3.14.5)
■ ч ‘'2
(i',j'=l,2,3)
Введем тензор:
zi'j'k'= ~ |
(5i'k'Sj'l'+5i'l'5j'k' ^ m ,l' ' |
(3.14.6) |
где l'=l,2,3; |
S^,j, -символ Кронекера |
ПРИ |
a i / j f = 0 при |
)* |