книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

на за счет сдвига. Из уравнения (5.3.13) следует формула для определения угла наклона касательной к огибающей кру­ гов Мора:

<51

Рис. 5.3.4. Определение наклона плоскости трещины в плоскости наибольшего и наименьшего главных напряже­ ний.

Меридиальное сечение, проходящее через предельную кривую и огибающую кривую кругов Мора для случаев д=1 и д=-1, показано на рис 5.3.2.

,При выполнении условия разрушения образуются трещины. Трещинообразование можно моделировать введением анизот­ ропных характеристик материала. Согласно гипотезе Карпен­ ко, после образования первой плоскости трещины последую­ щие плоскости трещин ортогональны друг другу. В этом слу­ чае существуют следующие схемы образования трещин: трещи­ ны в одной, в двух и в трех плоскостях (рис. 5.3.5).

Если образование трещин происходит в соответствии со схемой 1 или схемой 2, тогда материал передает напряжения параллельно плоскостям трещин. При образовании трещин по

Рис. 5.3.5. Схемы образования трещин в объемном КЭ.

схеме 3 материал КЭ не испытывает напряжений. Координат-

образования трещин.

В случае одной плоскости паралелльно ей образуется плоское напряженное состояние. Для однородного изотропно­ го материала с линейно-упругими деформационными характе­ ристиками в декартовой системе координат трещины с помо­ щью формулы (5.3.19) можно получить следующие компоненты тензора закона деформирования:

ci*j*k*l* /(E/<1-1>2))

Путей преобразования системы координат получаются компо­ ненты тензора закона деформирования в локальной системе

координат х^ конечного элемента:

С1jkl= (Е/ (1-У2 )) (4 « 4 * С^ 4 * +С3*С3*С3*С3*+

При образовании двух плоскостей трещин нормальные напря­ жения действуют только в одном направлении. 6 этом слу­ чае:

Компоненты тензора закона деформирования вычисляются по формуле:

При образовании трещин в трех плоскостях в бетоне энергия формоизменения 5W«0. Алгоритм расчета прогресси­

(рис. 5.3.4). Элементы матрицы преобразования системы координат зависят от направлений главных напряжений. Нап­ ряжения вычисляются в глобальной системе координат. "Система координат главных напряжений" является также правой системой декартовых координат. Поэтому отсутствует необходимость различать ко- и контрвариантные компоненты тензора напряжений. Так как здесь также нет необходимости делать различие между локальными и глобальными координа­ тами, можно в формуле преобразования главных напряжений записывать К вместо К'. Напряжения в плоскости с нор­

ввод текущей информации о n-к шаге приращения

формирование новой матрицы жесткости;

факторизация матрицы жесткости

Расчет приращений перемещений и напряжений

учет в схеме рас­

чета новых трещин

расчет вектора невязки СИЛ

конец шага цикла: коррекция вектора сил

вывод результатов расчета после n-го шага

окончание цикла: нет приращения нагрузки

Рис. 5.3.6. Алгоритм расчета прогрессирующего трещинообразования в бетоне.

Раскрывая определитель, получим:

(5.3.23)

Это уравнение третьей степени служит для вычисления глав­

чить из уравнения (5.3.21), если в него последовательно подставлять корни уравнения (5.3.23). Отсюда вытекает ортогональность друг к другу направлений главных напряже­ ний:

созоси -o-31cosa3J

°12

(5.3.27)

°21 a22~°~J cosa2j -<r32cosoe3J

Система уравнений (5.3.27) имеет решения:

cosalj“*"c<?sa3JAj;

(5.3.28)

cosa2Js_coscc3JBJ-

При этом:

Aj= (<г33(o*22-<rJ )~а32а21) ?

ВJ= <ff32 (а 1l_trJ >•°'12<Г31>

N=(<ri r <TJ )(°'22'0'j)'<r12Кроме того, справедливо равенство:

Уравнение (5.3.28) подставим в уравнение (5.3.29):

cosa3J=+(l/(l+A2+B2))Х/2. (5.3.30)

С учетом знака cosa3J выбирается направление единичного

вектора нормали к плоскости главных напряжений. Имеются два возможных направления для единичного вектора нормали. Чтобы обеспечить преобразование в правую систему коорди­ нат/ третий единичный вектор нормали определяется как векторное произведение найденных двух первых векторов. Главные напряжения упорядочиваются по величине:

cosalII COsa2II COSa3II

Для того, чтобы решить характеристическое уравнение (5.3.23) делается подстановка:

0j-у+^/з.

Тогда уравнение (5.3.23) принимает вид:

y3+3py+2q=0,

где р=-1^/9+12/3; q=-I3/27+I1I2/6-I3/2.

При этом дискриминант D=p3+q2 .

В зависимости от D получаем следующие корни:

D>0 - один действительный и два комплексно сопряженных корня;

D<0 - три действительных корня, которые могут быть опре­ делены на гониометрическом пути (формула КАРДАНА);

D=0 - существуют кратные корни.

Интерес представляют только три действительных корня уравнения (5.3.23):

cosv)=-q// (-р)3;

y^=2v/(-^7cos(v>/3+27rk^/3);

к-=0,1,2 для 1=1,2,3.

к =0,1,2 для i=l,2,3.

Соответствующие величины сг вычисляются по формуле

or^=y^+I1/3; Oj получают упорядочением величин а^ в поряд­

ке убывания.

5.4. УЧЕТ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МАТЕРИАЛА

Деформация в момент времени t от действующего с

где e^j - текущая деформация и e?j - компонента ползучес­

ти. Изменение свойств текущей зависимости напряжений от деформаций здесь во времени не учитывается. В компоненте ползучести предполагается разделение влияния состояния напряжения и времени. Это предположение всегда допускает достаточно точную аппроксимацию и обычно используется в литературе по ползучести бетона [185]:

При этом деформации ползучести ставится в соответствие деформация одномерной ползучести, полученная в экспери­ менте, для которого:

сТ г ^ ° и /во М ь'ьо)'

где Е 0 - линейный модуль упругости текущей зависимости

напряжения от деформации. При изменении напряжения во времени накопленная деформация ползучести к моменту вре­ мени t равна:

t

JdeCij*

Накопленная деформация ползучести в силу зависимости нап~ ряжений от времени вычисляется методом суперпозиции в ви­

де суммы деформаций ползучести вследствии приращания нап­ ряжений. При этом предполагается, что деформация ползуче­ сти зависит только от величины приращения напряжения и длительности действия последнего, и не зависит от величин и длительностей действия приращений других параметров. Применимость принципа суперпозиции к ползучести при усло­ вии достижения достаточной точности расчета обосновал Перзоц [198]. Приращение деформации в зависимости от при­ ращения напряжений равно:

de°%lP(t,T) (dFi:.(crkl)/dT)dT,

интегрирование которого дает:

t

e°j=F ij(<rk i)»>(t ,to)+|^(t ,T} (dFi;.((rk l )/dT)dTJ

Теория старения описывает процесс постоянно возрастающей вязкости вследствие твердения материала. Кривые ползучес­ ти, показанные на рис. 5.4.1, параллельны для напряжений, которые начинают действовать в различные моменты времени. Так как деформации ползучести являются необратимыми, то процесс ползучести со временем затухает. По наследствен-

ной теории упругости кривые ползучести для нагрузок раз­ личной длительности по врекени смещены параллельно в нап­ равлении оси времени/ и поэтому деформации ползучести здесь полностью обратимые/ т.е. материал является вязко­ упругим и его характеристики не зависят от старения.

Рис. 5.4.1. Кривые ползучести (A-теория старения/ N-теория упругости с последействием).

При одновременном использовании обеих теорий путем их линейной комбинации удается хорошо моделировать свойства материала:

где к - Эмпирическая константа.

Вид тензорных функций Fij(cr^i) в формуле (5.4.2) и,

нять допущение в общем случае об изотропии материала для каждого момента текущей зависимости напряжений от дефор­ маций:

Коэффициенты F1 и F2 являются функциями трех любых, но

независимых инвариантов тензора напряжений, например:

(5.4.8)

Fk~Fk ^ ,T,ID3^

В основе простой нелинейной модели этого типа лежит зависимость от второго инварианта девиатора напряжения:

В формуле (5.4.9) rtV-4J^2 ~ интенсивность касательных