книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций
..pdfLi (xl,c=in(x1-xJ)/ n(x];-xj> 1*1 x l-l x x
(X*j) (l*j)
Для одномерного КЭ второго порядка интерполяционные коэффициенты Лагранжа равны:
(х1^ ) (Х1^ ) |
(x^OJfx^l) |
^ ( х 1) |
— х1(х1-1) , |
(xl"x2 >(х1-хз) |
(-1-0)(-1-1) 2 |
(X ^ X JH X 1-**)
V x 1)
(x^-xj)(X2-X3 )
( X ^ X ^ t X 1^ )
L3 (x1)
<х3"х1>^х3-х2 ^
(х1+1)(х1-1)
(0+1)(0-1)
(х^+1)(хХ-0)
(1+ 1)(1- 0)
12
=- ((xV - l) г
х1(х1+ 1)
lt,t) |
(2,1) |
««,11 |
Рис. 3.10.5. КЭ второго порядка Лагранжева семейства (узлу к соответствует комбинация (ifj)).
Используя эти формулы, выпишем функции формы для супер параметрического девятиузлового КЭ пластины , воспользо вавшись формулой (3.10.20) (рис. 3.10.5):
Nj[ - — x 1x 2 ( * 1^ H x 2+ xJ) , ( k = l , 2 , 3 , 4 ) ;
4
н£ = - — x2 ((x1)2-l)(x2+x^) , (k=5,7);
2
<---- - x 1(*1+xj)((x2 )2-l)|, (k-6 ,8 ); 2
- ((x1)2-l){(x2 )2-l)
Элементы матрицы жесткости КЭ пластины переменной тол щины вычисляются по формуле:
vmn |
_ р 1 |
.идIр0 |
х®® |
*ik |
хjklA j1 xpkq |
pq |
|
_mn |
■шп |
|
щ |
При вычислении A ^ и А ^ |
суммирование выполняется от 1 до |
||
9 Г так как число узлов в КЭ равно' 9. МЖ девятиузлового суперпараметрического КЭ пластины имеет размерность 27x27.
3.11. СУПЕРПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
ОСЕСИММЕТРИЧНОЙ ОБОЛОЧКИ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ
Осесимметричная оболочка переменной толщины имеет кри волинейные поверхности (рис. 3.11.1). Геометрическая фор
ма КЭ характеризуется координатами (r?,z?), (r?,z?) точек
iH и iB . Зависимость между глобальными координатами z1 ,
z |
(z =г) |
и |
локальными координатами х , х для любой |
точки внутри |
КЭ |
имеет вид: |
|
|
|
2 |
1 |
<’ Г > в + 1 ‘ х |
(3.11.1) |
|
X—1 |
|
* |
2 |
|
||
|
|
(к,=1,2 ). |
|
|||
|
|
|
|
|
||
Формулу |
(3.11.1) |
можно |
представить |
следующим образом, |
||
обозначая |
толщину |
оболочки |
в i-м узле |
через d^: |
||
z 1' ( i )
Рис. 3.11.1. Суперпараметрический КЭ второго порядка осесимметричной оболочки переменной толщины.
|
|
Zк' |
|
(3.11.2) |
где |
1/ |
2 9 |
=d^sin0^; 0^ - угол между нормалью к |
|
=d^cos©£, |
||||
срединной |
поверхности и положительным |
направлением оси |
||
1' |
(рис. 3.11.2). |
|
|
|
z |
|
|
||
Для угла 0^ справедливы соотношения: |
|
|||
|
|
COS0.= |
,1 |
(3.11.3) |
|
|
|
||
1 / <z \ ' i > 2+ <z 2 ; a >2
Рис. 3.11.2. Срединная поверхность осесимметричной оболочки.
Выведем выражения для производных в этих формулах. Для
2
срединной поверхности оболочки х =0 из (3.11.2) имеен равенства: 3
zk '- I
i=l
дифференцируя которые получим:
3
i=l
Из соотношений (3.11.3) - (3.11.5) следуют формулы:
3 |
|
|
oose= 1 |
/ТС, |
(3.11.6) |
i=l |
|
|
|
3 |
|
S i n e - |
l Hirl( ^ ' ) cp/Y, |
(3.11.7) |
i=l |
|
|
(3.11.8)
V |
i=l |
i=l |
Формулы (3.11.2), (3.11.6) - (3.11.8) позволяют вычис лять координаты любой внутренней точки КЭ, если известно
выражение для функции формы N^(x*).
Рис. 3.11.3. Перемещения в оболочке.
Перемещения внутри КЭ осесимметричной оболочки в пред положении отсутствия деформаций в направлении нормали к срединной поверхности аппроксимируются с помощью двух компонент перемещения узла 1 срединной поверхности и угла поворота показанных на рис. 3.11.3. Поле перемещений
аппроксимируется |
следующим образок: |
|
3 |
..2 |
|
u k '- I Nilxl>[(ui'»cp+ 7 < Hi'>,e “i]' |
(3.U.9) |
|
i=l |
|
|
ИЛИ |
|
|
|
|
|
|
(х1 ) |
0 |
|
|
x2d. |
3 |
- N ^ x 1) --- - sin0i |
||||
|
|
|
|
|
|
»к '=Х |
|
1 |
|
I |
х |
1=1 |
О |
N ^ X |
|||
|
^ ( Х 1) |
|
')--- = COS0. |
||
-п
-Г
•н в
.(3.11.10)
1---
Компоненты вектора деформаций в осесимметричной оболочке
имеют вид:
|
сх 1 = \ 1 |
' |
се =5/г |
' 7 12^ , 2+5,1 |
||||
Здесь |
,1 и |
|
,2 означают производные |
по направлениям х* |
||||
и х2 , соответственно. |
|
ик |
по |
направлениям гло- |
||||
Производные |
от перемещений |
|||||||
бальных |
осей |
z |
]rf |
локальных |
осей |
/у |
связаны матричный |
|
и |
х |
|||||||
соотношением: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ' |
' |
1 ' |
' |
Г |
2 ' |
1 ' |
1 |
|
и , 2 |
U r2 |
= J- 1 |
Uг1 |
" , 1 |
(3.11.11) |
||
|
2 ' |
|
1 ' |
' |
2 ' |
1 ' |
||
|
|
|
|
|||||
|
- |
|
V |
L " , 2 |
v |
J |
||
Элементы матрицы |
Якоби |
|
|
|
||||
|
|
|
|
J |
J 11 |
J 12 |
|
|
|
|
|
|
= |
J 22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
J 21 |
|
|
|
в соответствии с соотношениями (3.11.2) равны:
x2d.
-<i |
■ I |
|
V |
1 sine,, |
, |
|
i=l |
|
2 |
|
|
lr |
r* |
lr |
x2d. |
|
|
|
i |
' |
|||
J12"Z,1 “ l |
Ni,l(zi + ~ |
COS0i> |
|||
|
i=l |
|
|
2 |
|
J21 |
,2 “ - I Nidi3inSi , |
|
|||
|
|
2i=l |
|
|
|
J22=Z,2 - ~ I NidiCOS®i.
2i=l
Считаем, что размеры КЭ малы по сравнению с радиусом кривизны срединной поверхности оболочки. В этом случае в выражениях для элементов J^. матрицы Якоби можно прене
бречь членами, содержащими х2 .
Из равенства (3.11.10) следуют выражения для производ ных от компонент вектора перемещений по направлениям ло
кальных |
осей х 1 |
|
и х2 . В матричном виде эти производные |
|||||
кожно представить |
следующим |
образом: |
|
|
||||
|
0 |
|
|
|
Wfc« |
|
|
|
-“г;1 |
Ni,l |
N. , --- *cos©. |
|
|
||||
|
X /1 |
2 |
1 |
1'п |
|
|||
|
|
|
|
|
x2d. |
|
U. |
|
|
3 |
1 |
0 |
-N. . --- -sin©. |
|
|
||
|
1,1 |
2 |
x |
|
|
|||
|
г» |
|
|
|
|
|
и. |
( 3 . 1 1 . 1 2 ) |
" 1 |
|
|
|
di |
|
|||
2' |
i=l |
|
0 |
N. |
cos©. |
|
|
|
“ ,2 |
0 |
|
-- |
|
|
|||
|
|
|
i |
2 |
1 |
ai |
|
|
U1 2 |
0 |
|
0 |
-N. —di |
sin©. |
|
||
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
12J |
|
|
|
|
|
|||
Подставляя (3.11.12) в (3.11.11), получим:
.ъ 1 MC .Ч Ч МС £ |
|
|
0 |
|
J U Ni , l |
|
e ^ c o s © / |
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
> i : a * |
|
3 Jl K , i |
° |
- e ^ s in G ^ |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
- = |
V |
|
|
|
|
|
(3.11.13) |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 = 1 |
0 |
|
J2X ,1 |
|
O^COS0^ |
|
» a ; i - |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
аiJ |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-j2iHi,i |
0 |
- o ^ s in 0 ^ _ |
||||
|
|
|
|
d. |
|
||||
где ej= |
di |
-1 |
|
) |
|
|
(J ^ N 1 1xf+j ^ N i ) |
||
|
Ij,;ы. , |
|
, 0j_= - i |
||||||
|
A |
|
ll"i,l~i |
|
|
|
|
21 if 1 i |
|
|
к r |
преобразуются |
в |
производные от ло- |
|||||
Производные |
u |
•, |
|||||||
|
|
|
/ 1 |
|
|
|
|
_ |
_ |
нальных ортогональных перемещений и и v по направлениям локальных осей с помощью конгруэнтного преобразования:
4>у Ч>2 |
*1 |
•«’2 |
V Г1 ' |
|
(3.11.14) |
Ч>2 |
*1 |
где
Формулы (3.11.13) и (3.11.14) позволяют в явном виде за-* писать зависимость вектора деформаций от перемещений в узлах:
|
|
|
■bti |
b{2 |
>}з 1 |
г |
«■’I |
|
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
9 |
= у |
bi |
bj_ |
23 |
|
u?' |
(3.11.15) |
|
L |
21 |
22 |
|
X |
|
||
|
|
i=i |
|
bi |
|
|
|
|
- Г12- |
|
.bii |
33 |
■ *i - |
|
|||
|
b32 |
|
||||||
где b il=TJ<1,2 )Ni,l; |
|
|
|
, |
x2d. |
|||
|
|
|
bi3- |
|||||
+Ni )([TJ(lfl)+TJ(lf3)]cos9i-[TJ(l/2)+TJ(lf4)]sin0i);
N. |
x2d.N |
|
b21S — ? Ь22в0? Ь ^ з = - _ ^ 51п0 .; b ^ N . ^ ( 3 , 2 ) + |
||
+TJ(2r2)]; |
. |
. x2d. |
b52=Nifl[TJ(3,l)+TJ(2,l)]? b^3=---^ifl‘ |
||
|
|
2 |
•{[TJ(3,1)+ |
TJ(2,1))cos0.-[TJ(3,2)+ |
TJ(2 r2)] • sin0.)+ |
di |
|
|
|
|
+ — i N. ([TJ(3,3) +TJ(2,3) ]CO60.-[TJ(3,4)+TJ(2,4) ]sin0. ). |
||||
2 2- |
- |
|
i |
i |
Здесь TJ(i,j) |
компоненты матрицы TJ, которые равны: |
|||
TJ(1/1)~<p2 |
. Ф 1.4*2^21' |
1/2)=^^¥>2'^I I +^2^2I^21' |
||
TJ (1,3) -V |
l |
JlJ+f P ^ J22 ; TJ (1'4 )■Ч ' Л J1 |
J22' |
|
TJ(2,1)=-TJ(1,2); TJ(2,2)=TJ(1,1); TJ(2,3)=-TJ(1,4);
TJ (2,4) =TJ (1,3); TJ (3,1) =-*>^ j “J+^^2J21J
TJ(3,2 )=-<P2V2Jll+<pl<P2J21? TJ(3'3)s4 >192Ji2+^1^2J2 r
TJ(3,4)^ 9 2 v2ai2+Vl92J22; Tl1<4'1)— *T(3^2);
TJ(4,2)=TJ(3,1)} TJ(4,3)=-TJ{3,4); TJ(4,4)=TJ(3,3).
Матрица жесткости КЭ осесимметричной оболочки с учетом равенства (3.11.15) имеет вид:
1 1
К=2ттг ВТСВ|det(J )|dx^dx2 .
Матрица упругости С равна:
|
_н1 |
|
0 |
1 |
С |
Б |
1 |
0 |
|
v |
|
|||
|
1-у2 |
о |
1-ц |
|
|
о |
--- • |
||
|
|
|
2к |
|
где к=1,2 вводится для улучшения аппроксимации сдвиговых перемещений. .
С учетом выражений для bj^ блок МЖКЭ можно представить
следующим образом:
1 1
2тгг |
(В*х2+В°)тС(В*х2+В°) |det(J) |dxXdx2 |
2 Выполняя точное интегрирование по оси х получим:
|
|
|
|
|
|
K ^ - K L |
< |
п |
, |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
ШП |
|
ШЛ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
" |
4 |
|
J (Вщ)ТСВп Idet (J )|dx1( |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К_п=4пг |
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(Bm )TcBnldet(J,'dx1' |
|
||||||||
|
|
|
ШП |
|
|
|||||||
Матрицы |
в 1 |
и |
В0 |
имеют |
вид: |
|
|
|
|
|
||
|
m |
|
ш |
|
|
|
|
|
|
Г am |
|
|
|
|
' 0 |
|
0 |
• S I |
|
|
|
« ? |
am 1 |
||
В1 = |
|
|
|
|
|
|
a4 |
a6 |
||||
0 |
|
0 |
|
Ш |
» |
Bm |
= |
am |
0 |
0 |
||
го |
|
|
|
a2 |
a7 |
m |
am |
|||||
|
|
0 |
|
0 |
am |
|
|
|
am |
|||
|
|
|
|
|
|
a9 |
||||||
|
|
|
|
|
|
a io-l |
||||||
где |
|
|
|
|
|
3 - |
|
|
a8 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d. N. |
||
d. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m i |
N, |
[TJ(lrl)cos0.-TJ(i;2)sin0.]; |
а2=m=--— ---— 8±п©±; |
|||||||||
а,—— |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
2 |
г |
d.
a 3e^ :Ni /l([TJ(3,1)+TJ(2,1)]cos6^-[TJ(3,2)+TJ(2,2)]sinB^)t 2
d. m l
a”=Ni(1TJ(l,l); a“=-i Bj.ITJ(1.3)соввА-
-»JU,4)8inei]f a”= — } af=Hi(1[TJ(3,2)+TJ(2,2Hf