книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

С учетом введенного тензора вместо (3.14.5) можно за­

писать:

=2т (3.14.7) J i'j'k

В

ui и ui “ кокпоненты вектора перемещении в КЗ и на его границе.

где i,j,k,1=1,2,3; m,n=l,2,...,n (n - число узлов в КЭ).

При вычислении значений элементов МЖКЭ компоненты тензора упругости выносятся из под интеграла, так как они в объе­ ме КЭ являются константами* Тогда формирование МЖКЭ высо­ кого порядка включает вычисление интегралов типа:

При переходе к нормализованным локальным координатам кэ

где J - матрица Якоби.

С учетом равенства (3.14.13) формула (3.14.12) примет

ИЛИ

Kik~CilklAmn+Cilk2Amn+Cilk3Amn+Ci2klAmn+Ci2k2Amn+

+Ci2k3,l£ « i 3 k i a£'K!1 3 M ^ 4Ci 3 k 3 ^

Здесь

1 1 1

A 13= Jamcn |det(J)|dx1dx2dx3 mn

-1-1-1 1 1 1

a"=JllNm,l+J12Nm, 2' bm= J ^ N m(1+j;X , 2 - ’ с“-Ыш/г;

(г “ радиальное расстояние от оси симметрии).

как если бы остальные подструктуры не существовали, затем шаг за шагом они соединяются до тех пор,пока не будет по­ лучено решение для всей структуры.

Такая идея лежит в основе метода диакоптики, широко используемого при расчете сложных электрических, физичес­ ких, экономических систем или вообще сложной топологичес­ кой модели.

Наиболее простым и очевидным шагом на пути редукции системы разрешающих уравнений МКЭ является введение так называемых суперэлементов - укрупненных конечных элемен­ тов, включающих в себя некоторую группу базисных конечны^ элементов. При этом в зависимости от структуры суперэле­ мента, характера внешних и внутренних связей, особенности геометрии и физических свойств материала объединение ба­ зисных конечных элементов может осуществляться по одно- и многоступенчатой схеме.

В основе объединения базисных конечных элементов лежит частичное исключение параметров перемещений, которое в литературе получило наименование конденсации. Математи­ чески такое одноступенчатое объединение описывается сле­ дующим матричным преобразованием.

В суперэлементе выделяются внутренние и внешние узлы. Обозначая, например, перемещения внутренних узлов через v^, а внешних - через v^, и представляя матрицу жесткости

лах, вызванные перемещениями внешних узлов (v^=vj°^ + +vj^); v<*> - перемещения во внешних узлах ( на границе

рица жесткости суперэлемента, определяемая формулой (4.1.10), ввиду своей громоздкости не всегда может быть использована на следующей ступени объединения. Поэтому она должна быть получена отдельными блоками в таком виде, чтобы ее можно было использовать без дальнейших преобра­ зований. Для этого уже на первой ступени объединения должны быть заранее намечены и распределены по группам узлы, принимающие участие на различных ступенях объедине­ ния.

Рассмотрим алгоритм многоступенчатого объединения на примере двухступенчатого объединения базисных конечных элементов.

Пусть структура сложного суперэлекента состоит из не­ скольких укрупненных конечных элементов, соединенных меж­ ду собой в узлах. В свою очередь, каждый укрупненный эле­ мент представляет собой совокупность базисных конечных элементов, размеры которых определяются требуемой точно­ стью расчета.

Полученная таким .образом модель суперэлемента позво­ ляет выделить для рассмотрения три типа узлов (см. рис. 4.2.1):

1- ый - узлы, расположенные внутри укрупненного элемента

(*); 2- ой - узлы, расположенные на границах укрупненных эле­

ментов, за исключением тех, которые являются внеш­ ними узлами суперэлемента (.);

3- ий - внешние узлы суперэлемента (о).

Рис. 4.2.1. Конечноэлементная модель суперэлемента при двухступенчатом объединении элементов.

Обозначим через v - вектор перемещений внешних узлов суперэлемента и через f - вектор узловых сил. Пусть в состав суперэлемента входит п укрупненных элементов. Обозначим векторы узловых перемещений и сил укрупненного элемента, соответственно, через vS и fS (з**1/2,... ,п) и,

На этом первый этап объединения заканчивается. На вто­ ром этапе объединения в качестве базисного конечного эле­ мента используется укрупненный конечный элемент, матрица жесткости которого может быть представлена в виде:

K32s=K23s ' K33S=K33S-K31SK U S K13S-

.Обозначим через Kn - матрицу жесткости суперэлемента. Ее в общем виде можно представить следующим образом:

Зависимость между перемещениями узлов второго и тре­ тьего типов для суперэлеиента с учетом подвижности узлов первого типа может быть выражена при помощи следующего матричного уравнения:

сил, представляющий собой сумму векторов узловых сил по всем укрупненным элементам, сходящимся в s-ой границе су­ перэлемента.

Далее для определения перемещений узлов второго типа и матрицы жесткости 1 суперэлемента используются процедуры одноступенчатого объединения (формулы 4.1.6 - 4.1.9).

Применение МКЭ к расчету сложных структур приводит к большим системам линейных алгебраических уравнений, фор» мирование и решение которых при использовании даже самых мощных ЭВМ оказывается часто практически невозможный. Рассмотренная выше суперзлементная техника позволяет в известной мере обойти это ограничение.

Однако, и в последнем случае число узловых точек су» перэлементов, определяемое размерами базисных конечных элементов, как правило, в сложных структурах оказывается достаточно большим.

В этих случаях могут оказаться полезными алгоритмы, основанные на последовательном рассмотрении взаимодейст» вия двух смежных подструктур (суперэлементов).

Наиболее просто идеи двух предлагаемых ниже алгоритмов ‘реализуются на примере структуры, в которой каждая после­ дующая подструктура присоединяется к предыдущей подструк­ туре (см. рис. 4.3.1)*.

Рис. 4.3.1. Последовательное объединение подструктур.

Если все подструктуры, входящие в состав рассматривае­ мой структуры, одинаковы в геометрическом и физическом смысле, предлагаемые алгоритмы позволяют внести сущест­ венные упрощения в вычислительные процедуры.

Матрица жесткости, представленной на рис. 4.3.1 струк­ туры, будет трехдиагональной:

Обобщение алгоритмов на случай более сложной топологи­ ческой модели здесь не рассматривается в виду ограничен­ ности объема книги.