книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

KiVi / (2.1.13)

где К? = ТтК^ТтК - неособенная МЖКЭ.

Аналогичные процедуры, как это будет показано ниже, позволяют осуществить преобразование МЖКЭ при переходе из локальной системы координат в глобальную.

МЖКЭ может быть представлена в более компактной блоч­ ной форме, если поблочно сгруппировать реактивные усилия в каждом из узлов КЭ. В этом случае, например, для трех­ узлового конечного элемента МЖКЭ будет записана следующим образок:

Здесь блок K^j представляет собой подматрицу, в кото­

рую входят реактивные усилия в i-ом узле, вызванные пос­ ледовательно единичными смещениями в j-ом узле. Порядок этой подматрицы определяется числом степеней свободы од­ ного узла КЭ.

Из уравнения (2.1.13) на основе принципа суперпозиции

рекемещение по j-му свободному от связи направлению, вызванное действием единичной силы, приложенной по j-му направлению при условии, что по всем остальным направ­

свойств материала и принятого виртуального поля перемеще­ ний.

Выбор системы аппроксимирующих функций играет важную роль в МКЭ. Поэтому рассмотрим этот возрос несколько подробнее.

Не нарушая общности рассуждений обратимся к плоской задаче теории упругости, поскольку способы построения ап­ проксимирующих функций для двумерных КЭ легко обобщаются на пространственные КЭ.

В качестве аппроксимирующих функций в МКЭ главным об­ разом используются полиномы, которые должны удовлетворять следующим требованиям:

-в области КЭ и на его границах они должны быть непре­ рывными функциями координат;

-число членов, удерживаемых в полиномах должно соответ­ ствовать числу узловых перемещений;

-полиномы должны обеспечивать жесткое смещение КЭ, т.е.содержать константу и два линейных члена;

-полиномы должны обеспечивать непрерывность перемещений при переходе от элемента к элементу.

Последнее требование вносит ограничение на степень по­

ней полиномы являются функциями одной координаты. Если на

КЭ имеются два узла, то полином, описывающий граничные перемещения, должен быть первой степени, поскольку между двумя точками можно провести только одну прямую.

Для построения МЖКЭ и МПКЭ удобнее использовать ло­ кальную систему координат. В этой системе координат пере­ мещения внутри КЭ выражаются при помощи функций формы че­

Для построения функций формы оказывается эффективным использование нормализованной или, как ее иначе назы­ вают, - естественной системы координат. Применение ес­ тественной системы координат рассмотрено в главе 3.

примера рассмотрим формирование МЖ балочного КЗ постоян-

-главные центральные оси инерции попереч­ ного сечения. Изгиб происходит в плоско-

« 1 2 сти Ох х .

Вектор обобщенных перемещений в КЗ мо­ жет быть представлен в виде:

uT={u,vrV>}, ( 2.1.19)

где и - перемещение вдоль оси балки; v - прогиб балки; <р - угол поворота попе­ речного сечения.

В соответствии с (2.1.1) обобщенные перемещения запишут­ ся следующим образом:

в качестве аппроксимирующих функций степенные полиномы, матрицу М для балочного КЗ можно представить в следующем виде:

Поскольку принятые функции для продольных и поперечных перемещений (u,v) точно удовлетворяют дифференциальным уравнениям растяжения и изгиба балки в рамках гипотезы

С помощью матрицы функций формы обобщенные перемещения в балочном элементе можно записать в виде:

«-(l-ejiij+SUj,

<p=[-6?(l-?)/£]vi+(l-4?+3?2)<pi+[6?(l-?)/£]vj-?(2-3?)?)j.

Функции формы для v и (р представляют собой известные полиномы Эрмита. Нетрудно видеть, что каждая из функций формы равна единице в узле, к которому она относится, и обращается в ноль в другом узле. Функция формы описывает соответствующее обобщенное перемещение в балке, вызванное единичным узловым перемещением, с которым она связана, при условии равенства нулю всех остальных узловых переме­ щений. Далее в соответствии с (2.1.5) вектор деформаций е

равен:

В рассматриваемом случае вектор деформации без учета сдвига от поперечных сил содер­ жит только одну компоненту с1;1

(рис.2.1.2):

I

В качестве уравнения состояния (физического закона) может использоваться любая зависимость между напряжениями и деформациями:

где о -вектор напряжений, С -матрица закона деформирования, GQ -начальная деформация (например, температурная

где Б - модуль упругости. В этом случае матрица С содер­ жит только один элемент Е.

При записи формулы (2.1.31) начальные напряжения и деформации не учтены. Имея матрицы В и С можно вывести МЖ

струкций, как правило, используется глобальная декартовая система координат. Поэтому при формировании матрицы жест­ кости системы как совокупности КЗ необходимо осуществлять переход из локальной системы координат в глобальную.

Обозначим локальную систему координат, в которой получена МЖКЭ через х1, 2х , х3, а глобальную систему коорди­

узловыми перемещениями КЗ в локальной и глобальной сис­ темах координат запишется, соответственно, следующим образом:

Преобразование координат, по существу, будет связано с поворотом локальных осей КЗ по отношению к глобальной си­ стеме координат, и такое преобразование может быть пред­ ставлено при помощи матричных соотношений, одинаковых как

дляузловых перемещений/ так и для узловых сил, поскольку векторы перемещений и сил имеют одинаковые направления:

Здесь L -матрица преобразования координат. Легко пока­ зать, что эта матрица обладает свойством ортогональности.

-1 7

Так как работа узловых сил на перемещениях узлов не зависит от системы координат или, иначе говоря, является инвариантной по отношению к системе координат, то можно записать:

Аналогично находится ИПКЭ в глобальной системе координат:

Полученные соотношения распространяются и на неособенные МЖКЭ и МПКЭ, т.е.:

* т * it

Рассмотрим преобразование координат на примере плоской задачи. На рис. 2.2.1 показаны векторы узловых перемеще-