книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций
..pdf(x3) ^ H 1 (x“ )[B*i +(х3/2)с!^п]
|
|
|
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Здесь ^ ( х 01) - |
интерполяционная функция |
формы, |
соответст |
||||||||
вующая i -му узлу. Выражения |
для |
функций формы |
приведены |
||||||||
в следующей |
таблице: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Таблица |
3.9.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функции |
формы |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
i=5 |
i=6 |
i=7 |
i=8 |
i=9 |
||
1 |
|
|
|
|
|||||||
1. |
(1-X1)(1-X 2)/4 |
-N /2 -M6/2 |
|
|
-Ng/4 |
||||||
2. |
(1+x1)(1-x2)/4 |
-V 2 |
‘V 2-N7/2 |
"V2“V 4 |
|||||||
3. |
(1-x1)(1+X 2 )/4 |
|
|
|
-Hg/4 |
||||||
4. |
(1+X 1)(1+X 2)/4 |
|
|
|
-N7/2 |
-N 8/2 -Ng/4 |
|||||
5. |
(l-fx1)2)(1-X 2)/2 |
|
|
|
|
|
-Ng/4 |
||||
6. |
(1-X1)(1-(X 2)2)/2 |
|
|
|
|
|
-Ng/4 |
||||
7. |
(1-(X 1)2)(1+X 2)/2 |
|
|
|
|
|
"Ng/4 |
||||
8. |
(1+X1)(1-(X2)2)/2 |
|
|
|
|
|
-Ng/4 |
||||
9. |
(1-(X V ) ( 1 - ( X V ) |
|
|
|
|
|
-Ng/4 |
||||
В этой таблице приведены интерполяционные функции для |
|||||||||||
двумерного КЭ с числом узлов от |
4 до 9 (рис. 3.9.1). В |
||||||||||
формуле |
(3.9.1) |
s zк' |
- декартовые |
координаты произвольной |
|||||||
|
|
з |
к' |
-декартовые координаты |
узла |
i; |
- |
рас |
|||
точки КЭ; |
z^ |
||||||||||
стояние |
между |
узлами |
на нижней |
и верхней |
поверхностях |
оболочки в направлении оси х^; sv ^ - координаты единич
ного вектора Sv\^n на прямой, соединяющей эти узлы.
Левый верхний индекс s характеризует конфигурацию КЭ; 8=0 - до деформирования, е=1 - после деформирования.
В соответствии с уравнением (3.9.1) компоненты вектора перемещения равны:
Р
Hi (x“ )rv^'+(x3/2)div1]|’]. |
(3.9.2) |
i=l
Например, поликвадратичные функции формы для 8-узлево го КЭ Сирендипова семейства имеют вид:
-соответствующие узлам в вершинах:
Ni(x“ )=i (1+xfx1)(1+х?х2 )(х^х1+х?х2- 1 | ,
-соответствующие узлам на серединах сторон
Считается, что узел срединной поверхности оболочки располагается на прямой между соответствующими узлами нижней и верхней поверхностей. При описании деформаций используется гипотеза Тимошенко, в соответствии с которой нормаль к недеформированной срединной поверхности оболоч ки после деформирования оболочки является прямой линией, но уже не нормалью к деформированной срединной поверхнос ти. На основании этой гипотезы для перемещений вдоль оси
х3 используется линейная аппроксимация:
^ (хj)=н± (х“ и 1+х?х3 )/2
Тогда функции |
формы |
КЭ имеют вид: |
|
|
|
||
-соответствующие узлам в вершинах: |
|
|
|
||||
• i l |
|
1 1 |
2 2 |
3 3 |
1 1 2 2 |
(3.9.3) |
|
N±(х3 ) ( 1+хlx1)(i+xfх |
){i+xfXJ )(xfх A+xfх^-1) |
||||||
-соответствующие узлам на серединах сторон: |
|
|
|||||
|
Ni ( |
( |
1+х^х1)(1+х?х2 )(1+х3х3 )[1- |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
(3.9.4) |
|
Изменение вектора v^n |
в процессе деформирования |
от |
|||||
°^in(s=s°* |
до |
^ i n |
ts=1^; |
|
|
|
|
|
|
v. |
in |
|
(3.9.5) |
||
|
|
|
|
|
|
||
описывает изменение направляющего косинуса угла. |
|
|
|||||
Компоненты |
вектора v. |
выражаются |
через углы |
поворотов |
|||
. |
_ |
|
п |
|
о -» |
1 |
, |
в узле 1 . Введем два единичных вектора |
и v^2 |
ортогональных к 1Vj_n
|
-» |
- единичный |
вектор в направлении |
оси |
2 ' |
||||||
где е2 |
z |
||||||||||
|
Если |
вектор |
°v^n |
параллелен |
вектору |
е2 |
, то вектор |
||||
о-* |
-» |
_ |
о-* |
|
равен: |
|
|
|
|||
v^1=e1. Вектор |
|
v^2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
о-> |
|
о-* |
о-* |
|
|
(3.9.7) |
|
|
|
|
|
|
vi2= vinx |
vil |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Обозначим |
и /3^ углы поворотов вектора нормали вок |
|||||||||
руг |
направлений, |
задаваемых |
векторами |
и |
° ^ 2 ' соот” |
||||||
ветственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Считается, что величины углов поворотов малы. Поэтому |
||||||||||
справедливо |
равенство: |
|
о-* |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
- |
о-» |
a. + |
|
|
(3.9.8) |
|
|
|
|
^in |
в |
V |
v:i|3- |
|
||||
|
|
|
|
|
i2 i |
'ilp± |
|
|
|||
Подставляя |
равенство |
(3.9.8) |
в формулу (3.9.2) получим: |
||||||||
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uk(xj )= £ |
Н .( х а |
|
|
+(x3/2) d± ( |
Vi2«i+°vi ^ |
i ) ) • (3.9.10) |
|||||
|
|
i=l |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Формулы (3.9.1) и (3.9.10) позволяют стандартным обра зом вывести МЖКЭ.
Формула (3.9.10) используется для вычисления производ ных, которые необходимы при формировании матрицы деформа ций:
1 |
** |
--- |
- |
е - |
|
|
Н1 |
|
р \ |
|
к' |
|
= 1 |
|
i=l |
3 |
к' |
- ч ; |
г |
к'"] |
|
х |
ail |
vi |
|
||
3 |
к' |
3 к' |
1 |
“i |
(3.9.11) |
х |
а±1 |
х ai2 J |
|
^ X |
^ ( х “ ) |
[о |
к' |
к' |
1 |
|
|
Iсо* |
|
|||||
» |
ail |
ai2 |
JJ |
*i * |
6 равенстве (3.9.11):
(3.9.12)
5il=-<di°*i2>/2 '* ai2 =<di°Vii>/2
В декартовой системе координат выражения для производных получаются с помощью стандартного преобразования с ис-
пользованием матрицы Якоби J=||z ^|| (здесь к' -номер
столбца, j -номер строки):
|
(• •• ) V г“^ |
((•••) |
Ч )/ |
I3.9.13) |
|
|
f Л |
|
|
/ J |
|
где матрица |
Якоби J |
содержит производные от |
декартовых |
||
Jc' |
|
|
-1 |
|
|
координат z |
по локальным координатам xJ . |
|
|||
Из формул |
(3.9.11) |
и |
(3.9.13) |
имеем: |
|
и |
|
а, |
як ' |
1' |
к ' |
1' |
|
,1 |
) |
а ■nw ■ а •пи • |
|||||
|
Р |
i l |
i |
i2 |
i |
||
|
к' |
к ' |
2 ‘ |
к ' |
2' |
||
и |
= 1 Ni ( X >, 2' |
||||||
г2 |
a i l Gi |
a i 2 Gi |
|||||
|
к ' |
i = l |
к ' |
3 ' |
к ' |
3' |
|
и |
N±(X.ос)/3, |
||||||
F3 |
а±1в. |
a.2G. |
|||||
|
|
|
|
|
|
> |
----1 |
(3.9.14)
“i
В равенстве (3.9.14): |
-1 |
|
|
.а, |
,-1 |
(3.9.15) |
|
Ni (x“ ),k'“Jk'lNi (x“ ),l+Jk-2Ni (* »,2J |
|||
Gi ,_x3 (Jk^lNi (x“ ),l+Jk ’2Ni <x“ >,2 >+Jk '3Hi <x“.>' |
<3 •9•161 |
||
где jT^ -элемент |
матрицы J-1 |
, находящийся на |
пересече- |
нии i-й строки и j-ro столбца.
Компонентами вектора деформаций в глобальной системе координат являются ,е2 ,2 # г•••г 2е3 ,^,. в зави
симости вектора напряжений от вектора деформаций необхо димо также учесть, что в соответствии с обычной гипотезЬй теории оболочек нормальные напряжения к срединной поверх ности оболочки равны нулю.
В выражении
сг = С е |
(3.9.17) |
векторы <гт и е в декартовой системе координат равны:
' °2 '2 ' ^З'З' ° 1 '2 ' а2'3' °3'1' ]
2е |
2е л , |
е2 '2 ' G3 '3' 2е1'2 ' Ле,2'3' |
3'1 •] |
Матрица закона деформирования с как в глобальной/ так и в локальной системе координат содержит следующие компо
ненты тензора |
закона |
деформирования: |
|
|
|||||
Г С |
|
„1122 |
С |
1133 |
„1112 |
С 1 1 2 3 |
„1131 |
|
|
„1111 |
|
с |
|
|
с |
|
|||
|
|
с |
|
|
С 2223 |
|
|||
|
|
с2222 |
с2233 |
с2212 |
с2231 |
|
|||
|
|
|
с |
3333 |
„3312 |
с |
3323 |
„3331 |
|
с= |
|
|
|
с |
|
С |
|
||
|
|
|
|
с1212 |
с1223 |
с1231 |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
с2323 |
с2331 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С 3 1 3 1 |
|
Здесь индексы в глобальной системе координат следует |
|||||||||
обозначить штрихом |
( |
' ), |
а в локальной |
системе |
координат |
||||
"звездочкой" |
{ * ). |
|
|
|
деформированию |
оболочки |
|||
Из условия равенства работ по |
|||||||||
в глобальной и локальной системах координат получим: |
|||||||||
с |
m'n'o'p' |
|
|
i*j*k*l*. о' |
р' |
(3.9.19) |
|||
|
|
|
|
с |
ск* с1* |
Отличные от нуля компоненты тензора закона деформиро вания для ортотропного материала оболочки в системе коор динат, оси которой совпадают с главными осями ортотропии, равны:
1*1*1*1* ,
с= El/ (1~v'l2v21^'
1*1*2*2* |
|
|
/ |
12 21' |
|
||
2 * 2 * 2 * 2 * |
|
12 2'v |
|
||||
= |
B2/(l-v10v „ ) f |
|
(3. 9. 20) |
||||
С |
|
||||||
|
|
|
12V21' |
|
|
||
О 1*2*1*2* - / 1 ^ |
/ ( |
1 + |
/ I- 1 2 K 2 1 ) ; |
|
|||
2*3*2*3* |
^1^23' |
С |
3*1*3*1* |
= k?G«,ir |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
31' |
где kj,(i=l, 2 )-коэффициенты поперечного сдвига, вычисление
которых описано ниже.
При переходе в глобальную декартовую систему координат
zк 9матрица закона деформирования преобразуется следующим образом:
|
|
|
С = Т* с*Тс , |
|
(3.9.21) |
|
где ТС |
^матрица |
преобразования, которая равна: |
||||
_i2i |
А |
А |
11т 1 |
Шд^ПД |
n lXl |
|
4 |
|
А |
4 |
12П2 |
т2П2 |
n212 |
тс= |
|
пз |
4 |
13т 3 |
т зпз |
n3^3 |
|
2ш^т2 |
2п 1п2 |
11т2+12т 1 |
т 1п2+т2П 1 |
n l12+n21l |
|
21112 |
||||||
21213 |
2т2т 3 |
2п 2П3 |
12т 3+13т2 |
т2П3+тЗП2 |
n213+n312 |
|
.21з Ч |
2т 3т 3 |
2П3П1 |
13т 1+11т3 |
m3ni+min3 |
n31l+nl13- |
|
|
|
|||||
Здесь |
|
. |
|
|
*)^ |
cos(e3 ,*6j); |
lj=cos(elf *ej )Г |
nij=cos (е2 ,•ej); |
|||||
j* . |
|
j* |
j* |
|
|
|
с 1 ,= 1j' с2 ,= |
nj* |
|
|
Коэффициенты поперечного сдвига k^(i=l,2), входящие в
(3.9.20), зависят от эпюры касательных напряжений в 1-к направлении по толщине оболочки. Изменение касательных напряжений по толщине оболочки записывается в виде:
|
(3.9.22) |
Здесь |
з |
- поперечная сила; d - толщина оболочки: f^(x ) |
- неизвестная функция изменения касательных напряжений по
толщине (вдоль оси х3 ).
Предполагается при определении f(x .) , что в оболочке
преобладают |
изгибные напряжения. |
1 |
|
Условие |
равновесия■ |
в трехмерной |
теории упругости по |
направлению оси хх при отсутствии касательных сил на ли** цевых поверхностях записывается следующим образом:
о*1х |
+ <г2х |
+ а32: = 0. |
(3.9.23) |
fX |
гZ |
f J |
|
|
|
9 |
|
Если в направлении оси хх преобладает изгибное напря-
жение,то |
можно |
пренебречь |
слагаемым |
(i*j). Тогда |
|||
получим: |
31 _ |
13 |
_ |
11 |
n i l |
/. з ^ |
|
|
■ |
||||||
|
- |
',3 |
■ |
- ° д |
- -° |
<* >Еи д |
|
— |
oiiiii(x3 )x3Ki l l = -с1т |
(х3)x3mu |
д /Bi , |
mii,i=9i3 ,
то есть
i3
<Г - = -ciiiii(x3 )x3qi3/Bi , (3.9.24) ,з
причем |
пь^- |
изгибающий |
■ • i « м |
|
момент; c1J‘11(xJ )eEjL/(l-^12^21); |
||||
d/2 |
iili |
3 |
3 2 3 |
- цилиндрическая изгибная жест- |
Bi " |
с |
(х |
)(х ) dx |
|
-d/2 |
|
|
|
|
К О С Т Ь . |
|
|
|
3 |
Интегрируя обе части равенства (3.9.24) от -d/2 до xJ получим (в подынтегральном выражении х3 заменено на t):
._ qi3 |
* .... |
(3.9.25) |
<г13»--- |
Г cli:L:L(t) (S^tjdt, |
|
В. |
|
|
x-d/2 |
|
|
где 6. - константа, определяемая из граничного |
условия |
|
для касательного напряжения <г (d/2) при х =d/2 |
|
|
d/2 |
|
|
Г с1111 (t )tdt+a‘1J (d/2 )Bi/qi3 |
|
|
-d/2 |
|
|
|
d/2 |
|
/ |
J cii;Li(t)dt |
(3.9.26) |
|
-d/2 |
|
Из (3.9.25) и (3.9.22) следует
^ ( Х 3 ) = — |
J oiiii(t)(Si-t)dt |
(3.9.27) |
Bi -d/2
Такик образом, соотношения (3.9.26), (3.9.27) прибли женно определяющие закон распределения напряжений попе речного сдвига, учитывают Изменение жесткостных характе ристик по толщине пакета слоев оболочки и удовлетворяют условиям непрерывности на поверхностях раздела слоев и
статическим граничным условиям <rl3 (+d/2)”0 на лицевых поверхностях оболочки.
Интеграл от касательного напряженая по толщине оболоч ки должен быть равен поперечной силе. Из этого условия
получим равенство: |
|
d/2 |
|
g J fi (x3 )dx3=l. |
(3.9.28) |
-d/2 |
|
Условие |
|
|
(a£i (x3 ) / a x 3 >| жз |
=о |
|
|
|
|
определяет максимальную величину |
1 |
|
напряжения |
|||
касательного |
||||||
о-13 по толщине оболочки. |
|
функция |
|
3 |
имеет |
|
При различной |
жесткости слоев |
:£^(х j |
||||
изломы на граничных поверхностях между слоями.• t » 1 |
равна |
нулю, |
||||
Если жесткость |
слоя на |
растяжение с1111 |
||||
то для этого слоя |
функция |
3 |
|
константой. |
||
f^(x ) является |
Коэффициенты поперечного сдвига к^ определим из энер
гетических соображений. Введем в рассмотрение удельные
потенциальные энергии сдвига 1Ь , соответствующие принято
му в модели типа Тимошенко равномерному распределению
деформации сдвига |
по толщине пакета слоев, и равные: |
d/2
, 3.. з V i qi3ri3 2 qi3/(ki®i3d '' Gi3"H■ i j Gi3 (x )dx .
-d/2
Введем |
также удельные потенциальные |
энергии |
сдвига |
U?, |
||||||||
соответствующие |
распределению |
напряжении сдвига 13 |
1в |
|||||||||
соответствии с (3.9.27) и равные: |
|
|
|
|
|
|||||||
|
d/2 |
i3 |
(Г13 |
|
|
|
2 |
d/2 .- |
. 3 ..2 |
|
|
|
|
1 Г |
|
dx |
35_1 qMi3 |
Г 'ri'x n |
dx' |
|
|||||
|
2 J " |
|
Gi3<x |
|
2 |
.2 |
J |
|
|
|
||
|
-d/2 |
|
> |
|
|
|
-d/2 13 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Коэффициенты |
сдвига |
определяются |
из |
условия равенства |
||||||||
|
f |
В результате |
получим: |
|
|
|
|
|||||
энергий 1Ь = 1Ь |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
(£± (ж3 ))2 |
|
|
|
(3.9.29) |
||||
|
|
|
|
Gi3<*3 > |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Если |
материал |
|
оболочки |
|
однородный, |
то |
соотношения |
(3.9.27) приводят к известному распределению напряжений поперечного сдвига в виде квадратичной параболы:
fi (x3 >=6 Г
и к известным значениям коэффициентов сдвига:
d/2
ki=d/[ I (fi<x3>)2dx3]=5/6-
-d/2
3.10. СУПЕРПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ ИЗГИБАЕМОЙ ПЛАСТИНЫ
В суперпараметрическом КЭ задается два независимых множества узлов. Одно множество узлов определяет преобра зование координат (геометрию КЭ), а второе используется для аппроксимации поля перемещений в КЭ. В суперпарамет рическом конечном элементе число узлов, используемое для описания геометрии КЭ, больше числа узлов, используемых для описания поля перемещений. Функции формы для аппрок симации поля перемещений и аппроксимации геометрии супер параметрического КЭ будут различными, причем степень по линома для аппроксимации геометрии (координат) выше сте пени полинома для аппроксимации перемещений.
Выведем матрицу жесткости суперпараметрического КЭ для изгибаемой пластины переменной толщины.
Рис. 3.10.1. Суперпараметрический КЭ пластины переменной толщины.
|
|
|
з |
*=0 в |
декартовой сис |
|
Пусть плоскость с координатой z |
||||||
теме |
координат |
является |
срединной |
плоскостью |
пластины |
|
(рис. |
3.10.1). |
Обозначим |
через х 1, |
х2 |
- криволинейные |
|
координаты в срединной |
плоскости |
пластины, х |
3 |
|||
- линей |
||||||
ная координата |
по толщине |
(рис. 3.10.2). |
|