книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

Рис. 5.6.1. Алгоритмы расчетов для нелинейных задач а) метод Эйлера-Коши; в) метод Ньютона-Рафсона; с) модифицированный метод Ньютона-Рафсона.

Итерационные методы позволяют уточнить решение на одном шаге приращения нагрузки. Их можно применять при приложении всей нагрузки на одном шаге, если не нужно учитывать историю нагружения (как например, при расчете конструкции в рамках деформационной теории пластичности).

Наиболее широко используемым итерационным методом яв­ ляется метод Ньютона.

МЕТОД НЬЮТОНА .В нелинейных задачах существенной яв­ ляется физическая трактовка процесса вычислений, так как это позволяет делать вывод о правильности результатов расчета. Известные и разработанные ранее методы упругих

решений или начальных напряжений, начальных деформаций, переменных параметров упругости являются в принципе раз­

мещений - точному решению системы (5.6.7). Этот вектор вычисляется с использованием начальной матрицы жесткости

Здесь K(v^) - матрица жесткости, вычисленная с учетом из­ менений физических параметров материала (касательных мо­

ся поправка к вектору перемещений Av^=v^+1-v^, которая определяется из условия:

Процесс итерации продолжается до тех пор, пока норма век­ тора невязки IIAvll не станет меньше заданного числа е. На рис. 5.6.1B показан процесс итерации по Ньютону-Рафсону.

Если считать, что матрица жесткости К не перевычисляется на шагах итерации, т.е. она равна K=K(vQ), то тог­

да приходим к алгоритму метода НьютонаКанторовича (ряс. 5.6.1с):

vi+1=Vi-(K{v0))”1г±. (5.6.14)

Матрица жесткости K(vQ) вычисляется без учета физиче­

ской и геометрической нелинейностей и шаги итераций вы­ полняются с этой начальной матрицей жесткости. На практи­ ке может применяться комбинация обоих методов.

В алгоритмах с приращением нагрузки итерация выпол­ няются на одном шаге приращения нагрузки до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность, либо на одном шаге делается несколько итераций. Как правило, вектор невязки узловых сил увеличивается при переходе к следующему шагу приращения нагрузки [182]. В методе Ньютона-Рафсона ко­ личество арифметических операций из-за необходимости пе­ реформировывания матрицы жесткости на каждом шаге больше, чем в методе Ньютона-Канторовича, хотя скорость сходимос­ ти первого метода выше, чем второго. Поэтому ряд исследо­ ваний был посвящен разработке алгоритмов ускорения сходи­ мости метода Ньютона-Канторовича. К числу таких алгорит­ мов относятся алгоритмы Айткена, Броудена-Флетчера-Голд- фарба-Жанно (БФГЖ-метод) [180], Рикса и Вемпера [203].

м е т о д УПРУГИХ РЕШЕНИЙ А.А.ИЛЬЮШИНА [53]. Решается сис­ тема (5.6.7) в предположении, что матрица жесткости структуры K(v) сформирована для начального упругого сос­ тояния структуры, когда деформации бесконечно малы, а геометрическая нелинейность не учитывается.В этом случае решается линейная кривая задача теории упругости:

KQv-f. (5.6.15)

пользуется для вычисления вектора внешних сил f ^ , обус­

ловленного начальными напряжениями в конечных элементах

2^°^ (i-1,2,... ,m), соответствующими вектору v ^ .

Вектор невязки сил, приложенных к структуре

(0)

позволяет наити поправку к вектору v l ' из решения системы:

K0A v ^ - A f ^ .

Имеем теперь вектор перемещения:

который опять позволяет вычислить новый вектор невязки

Описанный алгоритм соответствует методу НьютонаКанторо­ вича и является модификацией известного метода начальных напряжений [50].

МЕТОД НАЧАЛЬНЫХ ДЕФОРМАЦИЙ [50]. Этот метод хорошо сходится, если поведение материала (закон состояния) соответствует диаграмме с упрочнением.

Алгоритм расчета заключается в следующем.

1. Решается система линейных алгебраических уравнений: Kv-f, где матрица жесткости F вычисляется в предположе­ нии, что материал является упругим и в структуре нет ос­

Вектор фиктивных начальных деформаций eQ равен:

£0=£о’~-‘

3.Вектор eQ используется для вычисления вектора feQ:

feO=JCB£odv-

V

4. Решается система линейных алгебраических уравнений:

МЕТОД ПЕРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ УПРУГОСТИ [13]. Для реше­ ния системы (5.6.1) можно использовать непосредственно метод итераций:

vi + r (K(vi ll"lf'

где при вычислении матрицы жесткости используются секущие модули упругости в каждом КЭ. Процесс вычислений заканчи­

вается, если норка вектора llv^+^-v^B станет меньше задан­

ного малого числа е .

УЧЕТ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ. Рассмотрим случай больших перемещений деформируемого твердого тела. Предпо­ лагается, что относительные деформации в твердом теле ма­ лы, а материал является линейно-упругим.

В локальной системе координат каждого КЭ его матрица жесткости не меняется в процессе деформации. Матрица преобразования из локальной системы координат в глобаль­ ную Т будет являться функцией вектора перемещения узлов. Поэтому сильное изменение геометрии тела скажется на уравнениях равновесия структуры в глобальной системе координат.

Шаговый метод приращения нагрузки применительно к уравнению (5.5.16) позволяет использовать описанные выше алгоритмы расчета или их модификации.

Г л а в а 6

ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ СООРУЖЕНИЙ.

6.1. МАТРИЦА МАСС КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА.

Из условия равенства работы внутренних сил работе внешних сил на перемещениях в объеме 1-го КЭ следует уравнение равновесия (формулы (2.1.7)-(2.1<9)):

В равенстве (6.1.1) объемная сила р, сила на по­ верхности тела q, внешние силы в узлах f могут быть функциями времени. Тогда (6.1.1) является уравнением равновесия для любого момента времени. В соответствии с принципом Даламбера сила инерции является частью активных сил г действующих на КЭ. В этом случае объемную силу р можно представить виде:

ускорение, величина которого зависит от точки пространст­ ва с координатой zk (k=l,2,3) и времени t.

С учетом формулы аппроксимации поля перемещений в i-и КЭ через вектор перемещения узлов (формула (2.1.4)):

а .=G .v • X I X

второе слагаемое в равенстве (6.1.1) примет вид:

Отсюда матрица масс i-го КЗ равна:

те же интерполяционные функции, что и при вычислении мат­ рицы жесткости.

Вычисление элементов матрицы масс удобно произво­

дить в местной (локальной) системе координат КЗ. По ана­ логии с формулами для вычисления элементов матрицы жест­ кости имеем:

а именно, равномерным распределением массы КЗ по его уз­ лам. Такая матрица называется матрицей сосредоточенных масс КЗ. В этом случае матрица масс КЗ в отличие от "сог­ ласованной" матрицы касс будет диагональной, что снижает объем вычислений при решении задач динамики сооружений и элементов конструкций. С другой стороны, такой подход яв­ ляется приближенным.

МАТРИЦА МАСС БАЛОЧНОГО ЭЛЕМЕНТА.Рассмотрим в качестве примера матрицу масс балочного элемента с постоянной площадью поперечного сечения по длине, изгибаемого в од­ ной плоскости. Обозначим: i - длина балки, А -площадь по­ перечного сечения. Матрица функций формы представлена формулой (2.1.25). Подставляя в формулу (6.1.4), получим

"СОГЛАСОВАННАЯ” МАТРИЦА МАСС ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО ОБЪЕМНО­ ГО КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА. Матрица функций формы имеет вид {формула (3.3.3)):

где I - единичная матрица 3x3.

В соответствии с формулой (6.1.5) и учитывая, что вы­ числения производятся в местной системе координат, полу­

"СОСРЕДОТОЧЕННАЯ” МАТРИЦА МАСС ОБЪЕМНОГО КЭ ПРИ ЧИСЛЕ УЗЛОВ п=8. Матрица масс формируется следующим образом:

1

(8X8)

Здесь I - единичная матрица 3x3. С учетом размерности натрицы I размерность матрицы М будет 24x24. Объем конечного элемента V вычисляется по формуле:

6.2. МАТРИЦА ДЕМПФИРОВАНИЯ

Активными силами, препятствующими движению тела, яв­ ляются силы сопротивления (силы трения). При колебаниях

конструкции имеет место диссипация энергии. Диссипация энергии возникает за счет движения тела в вязкой среде, трения в местах контакта с другими телами, внутреннего демпфирования в материале. В общем случае зависимость си­ лы сопротивления от скорости перемещения является нели­ нейной и, как правило, определяется экспериментально.

Простейшая модель учета сопротивления колебаниям кон­ струкции как твердого деформируемого тела заключается в предположении, что сила сопротивления на единицу объема пропорциональна скорости перемещения в твердом теле:

где л - эмпирический коэффициент демпфирования. Работа,совершаемая силой сопротивления в i-м конечном

элементе, равна:

H J J UV udV. (6 .2.2)

Vi

»

Так как u=G^(x3)v^ (v^ - вектор перемещения узлов i-ro

КЭ), то из (6.2.2) следует:

разных конечных элементах. Это различие, в частности, мо­ жет быть связано с различными материалами в разных частях