книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций
..pdfРис. 3.4.3 Главные оси (х1*,х2* ) ортотропии в КЭ.
Из формулы ^arccosfa^aj/(J |•|а2 |) |
определяются |
||||
коэффициенты |
матрицы |
преобразования: |
|
|
|
|
cos |
ос |
cos(90°+a ) |
O' |
|
TL |
cos(p-а) |
cos(90 +ос-р) |
0 . |
(3.4.22) |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
Каждый индекс тензора упругости преобразует его в контрвариантный вектор. Пренебрегая нелинейным членом в формуле (3.4.6) получим компоненты тензора деформаций мембраны:
etfj3=(J(a,*)-UfP+J(^*)*u ^)/2=EABTv |
(3.4.23) |
||
1^/ |
|
g |
|
Полагая, что J(a,k')=z „ и u |
=G(xp ) у, а J(3,k')- коор- |
||
fOC |
1<Х |
гсс |
|
динаты единичного вектора, нормального к плоскости мемб раны, получим:
ЕАВТ = |
<J(a,*)-G^+J03,*)-G^)/2 |
(3.4.24) |
|
С учетом формул |
(3.4.23) и |
(3.4.24) имеем: |
|
бе |
С*Р*-5с(Т«) |
= 5vTDABGDV , |
(3.4.25) |
(«*) |
|
|
|
и в соответствии |
с формулой (3.4.13) |
матрица жесткости |
|
равна: |
|
|
|
1 |
1а/3у5 |
|
|
К |
j£ |
1 . 2 |
(3.4.26) |
DABGD/ g d(xa )dx~Ldx‘ |
|||
-1
3.5. ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ КРИВОЛИНЕЙНЫЙ СТЕРЖЕНЬ
Этот конечный элемент (рис. 3.5.1) используется для моделирования дискретной одномерной жесткости в конст рукции, являющейся объемным деформируемым твердым телом. Твердое тело моделируется объемными конечными элементами. Перемещения и координаты стержневого КЭ описываются формулами, которые аналогичны формулам в параграфе 3.3.
|
и = G(x1)v |
, |
(3.5.1) |
|
Z = Gfx1 ^ |
, |
(3.5.2) |
Glx1 ) = |
[lN1(x1),IN2 (x1),...,INn (x1)] |
(3.5.3) |
|
| |
|
|
|
Компоненты векторов перемещения и и координат |
точки z |
||
описываются |
в декартовой системе координат. Вектор пере- |
||
нещения узлов КЭ вдоль осей декартовой системы ' коорди
нат и вектор координат узлов КЭ |
обозначаются |
v |
и |
z.; |
1 |
|
|
|
1 |
G(x ) - матрица функций формы, аппроксимирующих перемеще |
||||
ния и координаты относительно локальной оси хл; |
I - |
еди |
||
ничная матрица 3x3; п - число узлов. |
виде: |
|
||
Соотношения (3.5.1) и (3.5.2) |
представим в |
|
||
|
|
|
(3.5.4) |
|
(3.5.5)
При этом к =1,2,3 - порядковые номера осей глобальной
системы декартовых |
координат; |
|
|
|||||||
1+1-число |
точек |
интерполяции |
|
|
||||||
в направлении |
локальных |
осей; |
|
|
||||||
]г |
|
|
|
в |
]£ |
- нап |
|
|
||
Vp - перемещение |
z |
|
|
|||||||
равлении |
в точке |
интерполяции |
|
IX |
||||||
P+1; |
Npfx1) - функция |
формы, |
|
|||||||
соответствующая |
точке |
интер |
|
|
||||||
поляции р+1. Формула |
для |
де |
|
|
||||||
формации |
стержневого КЭ |
выво |
|
|
||||||
дится таким же образомг как и |
|
|
||||||||
аналогичная формула |
в |
параг |
|
|
||||||
рафе |
3.3: |
к' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к' |
|
|
|
(3.5.6) |
|
|
|||
е11 ■ г> , 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Линейные |
функции |
формы |
для |
|
|
|||||
двухузлового |
КЭ |
(рис. 3.5.2) |
|
|
||||||
имеют вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Np(xX) ={1+Хр х1)/2 |
(3.5.7) |
|
|
|||||||
Квадратичные |
функции |
формы |
Рис. 3.5.1. Глобальная и |
|||||||
для |
трехузлового |
|
КЭ |
различа |
локальная |
координатные |
||||
ются |
для |
узлов на |
концах |
КЭ |
системы криволинейного |
|||||
и узла на середине КЭ. |
|
|
стержневого |
КЭ. |
||||||
Функция формы, соответствующая узлам на концах КЭ |
||||||||||
записывается |
в виде: |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Npfx1) = х* х Х(1+Хр х1)/2 |
(3.5.8) |
|||||||
Для узла на середине КЭ имеем:
l y x 1) = l - ( x V |
(3.5.9) |
1(0) |
2 (1) |
1(0) |
2(1) |
3(2) |
о--------------- |
о |
о------- |
о------- |
о |
Рис. 3.5.2. Локальная координатная система двух и трехузлового изопаранетрического .стержневого КЭ.
Теперь запишем вариаций энергии, соответствующей изменению формы КЭ:
1
бс1 гС111гехд /“дА(х1)d x - W v TKv . |
(3.5.10) |
В уравнении (3.5.10) К - матрица жесткости; д - опре делитель фундаментальной матрицы, соответствующей метри ческому тензору криволинейного стержня. Величина g равна
д11*
Базисные векторы выбираются перпендикулярными к оси стержня. Вычислим площадь поперечного сечения стержня
Afx1). Аппроксимация площади поперечного сечения выра жается формулой:
1
Afx1) =£ ApNp ( x V |
(3.5.11) |
р= о
где Ар - величина площади поперечного сечения в узле р.
Примечание: При вычислении матрицы жесткости произ вольного криволинейного стержневого КЭ возможны два случая нарушения условия равновесия. В первом случае направления результирующих сил-реакций в узлах близки к направлениям касательных к стержню, во втором случае они соответствуют нетангенциальным направлениям.
Тензор деформации имеет вид:
|
С1111» Е , |
|
(3.5.12) |
|
где Е -модуль упругости материала стержня. |
|
|||
Тогда: |
|
|
|
|
eii= (J(1,* ,'u ,1) = |
— lTy |
(3.5.13) |
||
|
||||
Учитывая, что |
J(l,k') |
V/ |
1 |
|
z - , u |
-,=G(x ) -v, получим: |
|||
|
Е11Т = |
(J(1,*)“G |
) |
(3.5.14) |
|
|
/-1- |
|
|
Окончательно |
имеем: |
|
|
|
5с11С1111с11= бутР1111у |
(3.5.15) |
1
К= fpllll^gA(x1)dx:l
3.6.ИЗОПЛРАМЕТРИЧЕСКИЙ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫЙ ЭЛЕМЕНТ
ПЛИТЫ ТИПА ТИМОШЕНКО
Этот КЭ используется при расчете пластин, являющихся элементами строительных конструкций, в которых важен учет деформаций сдвига. К таким пластинам относятся толстые плиты, сотовые и многослойные плиты. Учет деформаций сдвига усложняет задачу в силу необходимости искать адекватную аппроксимацию. В работе [190] Миндлином пред ложен подход, который позволяет с одинаковой точностью рассчитывать все типы пдастин (плит), включая тонкие пластины. Им используются гипотезы:
-прогибы малы по сравнению с размерами КЭ?
-нормаль к срединной поверхности остается прямой, но не обязательно нормальной к деформированной срединной поверхности;
-нормальными напряжениями к срединной поверхности прене брегают независимо от внешней нагрузки.
Перемещения (рис. 3.6.1) состоят из перемещения w по направлению нормали и двух углов поворота нормали по от ношению к недеформированной срединной плоскости. Обозна
чим через |
и <р2 углы поворотов вокруг координатных |
осей.
Векторы перемещений и углов поворота равны:
(3.6.1)
(3.6.2)
Срединная поверхность пластины лежит в плоскости 1'-2' глобальной системы координат (рис. 3.6.2). Обозначим че рез d толщину пластины. Деформация пластины записывается следующим образом:
(3.6.3)
jcт |
( 3 . 6 . 5 ) |
Рже. 3.6.1. Деформация ппас- |
Рис. 3.6.2. Изопараметри- |
тины. |
ческий квадратичный КЭ |
|
пластины. |
Изменения кривизны пластины с учетом деформации сдвига представляются вектором обобщенной деформации о:
(З.б.б)
Аппроксимация перемещений и координат изопараметрического КЭ производится следующим образок:
|
|
“k '= Ivi ’Ni<x“ i' |
|
|
(3.6.7) |
||
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
|
|
zk '= |
|
|
|
(3.6.8) |
|
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
где функции |
формы равны |
|
|
|
|
||
- для узлов в вершинах: |
|
|
|
||||
|
IW=(1+XM!tl),1+Xpqx2 )(xpqxl+xpgx2-1)/4; |
|
<3-6-9 > |
||||
- для узлов на серединах сторон: |
|
|
|
||||
N |
=(1+х* |
х1)(1+х? х2 )[l- (х^ х2)2-(х2 х1)21/2 |
(3.6.10) |
||||
pq |
pq |
pq |
L |
pq |
pq ' J |
1 |
' |
Запишем вариацию энергии |
изменения |
формы: |
|
|
|||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
6Wi= |
sVsv/g-dx^dx2, |
|
(3.6.11) |
||
где s=Du
Здесь s - вектор обобщенных сил (рис 3.6.3), а д - определитель фундаментальной матрицы, a Vg -определитель матрицы Якоби:
Рис. 3.6.3. Обобщенные силы в пластине.
Таким образом, можно записать:
1 |
1 |
(3.6.13) |
6Wi= |
5«TD«v/gdx1dx2=6vTKv |
Компоненты вектора внутренних обобщенных сил получаются интегрированием по толщине плиты:
d/2
mi“ |
} |
(3.6.14) |
» (i=lf,2',1'2'J |
|
|
-d/2 |
|
|
d/2 |
|
|
q.j= Jcr3,dz3 , (i=l' 2') ; |
(3.6.15) |
|
|
1 |
|
-d/2
Вектор обобщенных внутренних сил равен:
гаТ = |
m2 , |
' |
(3.6.16) |
qT - \чг. q2 .} |
г |
(3.6.17) |
|
sT =- |
|mT,qT| |
|
(3.6.18) |
Обобщенные перемещения могут быть выражены через переме
щения |
узлов: |
8 |
|
|
|
|
|
|
л» = У в . у . , |
( 3 . 6 . 1 9 ) |
|
|
"* |
Li 1 1 |
|
|
|
i=l |
|
где |
- величины перемещений в i-ом |
узле; |
|
|
0 |
*1.1- |
0 |
|
0 |
0 |
-Ni,2 ' |
Bi = |
0 |
*1,2- |
(3.6.20) |
|
0 |
||
|
■i.l' |
* i |
|
|
|
||
|
Ni,2 ' |
0 |
“Ni |
|
|
Производные функций формы в глобальной системе координат имеют вид:
К*-} ■ |
(k'=l',2 ',j=l,2 ). (3.6.21) |
Для однородного изотропного матерйала элементы матрицы D равны:
DH =D22=Ecl3/(12(i-y2)) , D12=D21=i^Ed3/(12(l-i^2 )) ,
D33=Ed3/ (24( 1+V)), D44=b55=Ed/(2( 1+V)a),
(i*j, i>2 или j>2 ),
где E - модуль упругости однородного изотропного материа ла, v - коэффициент Пуассона» Коэффициент а принимается равным 6/5. теперь можно' записать матрицу жесткости К г элементы которой вычисляются по формуле:
|
1 |
1 |
|
|
К - |
(*BTDBdet( J)dx3dx2 |
(3.6.22) |
После |
того, как вычислены перемещения узлов |
пластины, |
|
можно |
вычислить внутренние силы в каждом КЭ: |
|
|
|
|
s=DBve, |
(3.6.23) |
где ve - перемещения узлов КЭ.
3.7. ИЗОПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ ОБЪЕМНЫЙ МСКЭ-ЭЛЕМЕНТ
Для нелинейного анализа объемных железобетонных кон струкций с учетом трещинообраЗования используются КЭ, в которых в качестве функций, аппроксимирующих перемещения, выбираются полиномы низкого порядка. Такие полиномы имеют преимущества по сравнению с полиномами, используемыми для линейной задачи.
МСКЭ (моментная схема конечных элементов) позволяет значительно увеличить скорость сходимости приближенного решения к точному при сгущении сетки [100]. Суть МСКЭ заключается в том, что в полиномиальном ряде, аппроксими рующем перемещения, отбрасываются или минимизируются те коэффициенты, которые изменяются при переходе к следующе му порядку аппроксимации. Можно показать, что эти коэффи циенты описывают движение твердого тела как целого.
Рассмотрим вначале МСКЭ на примере прямоугольного плоского КЭ при полилинейной аппроксимации поля перемеще
ний (в этом |
случае |
локальные |
и |
глобальные координаты |
||
совпадают). |
тензора |
деформаций имеет |
вид: |
|||
Компонента |
||||||
|
е12 tul,2+U2 ,l^ 2 |
|
|
(3.7.1) |
||
|
|
|
|
|||
Угол поворота |
элементарного |
объема равен: |
|
|||
|
u12=~*U1,2~u2,1 |
|
|
(3.7.2) |
||
|
|
|
|
|||
Деформация и угол поворота элементарного |
объема могут |
|||||
быть также представлены рядом Тейлора: |
|
|||||
|
|
1 |
2 |
1 2 |
(3.7.3) |
|
|
с12=е0+е1х +е2х +еЗх х ' |
|
||||
|
|
1 |
2 |
1 2 |
(3.7.4) |
|
|
it>^2s=wo+WlX +W2X +W3X х |
• |
||||
Из формул (3.7.1) и |
(3.7.2) |
следует: |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(3.7.5) |
a l,2‘e12‘“ l2 f U2,l=C12+“ l2 -
Формулы (3.7.3) и (3.7.4) подставим в формулу (3.7.5):
(3.7.6)
ill'2= e o“wo+ (el"w l)х1+ <e2”W2 )х2+ ^e3~W 3 >xlx2'
(3.7.7)
u2 1=eo+wo+ (el+wl)xl+(e2+W2 ^x2+ ^e3+W3)xlx2