книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

Рис. 7.1.2. Схема расчетного блока.

На различных шагах расчетного блока включаются проверки правильности исходных данных и результатов промежуточных вычислений (диагностика ошибок), программные модули выбо­ ра сочетаний нагрузок на конструкцию, определение площади сечений арматуры в железобетонных конструкциях и другие.

Диагностика ошибок на этапе выполнения программы яв­ ляется важной, так как при своевременном обнаружении ошибки прекращаются вычисления, что приводит к экономному использованию ресурсов ЭВМ.

ЭффективнЪе использование ЭВМ достигается также за счет разработки специальных методов решения стандартных математических задач, учитывающих специфику МКЭ, и, в первую очередь, ленточность или разреженность матрицы жесткости расчетной модели конструкции.

Расчет напряженно-деформированного состояния конструк­ ции в рамках линейной теории упругости при действии на нее статических нагрузок сводится к решению системы ли­ нейных алгебраических уравнений.

В конечноэлементных комплексах программ используются разнообразные методы решения систем уравнений.

Различные варианты метода Гаусса реализованы в прог­ раммах ADINA (блочный Гаусс), ASKA, SAP-7 (ленточный

Гаусс), NASTRAN (LTDL -декомпозиция),. Эффективным яв­ ляется фронтальный метод, реализованный в программах ABAQUS, ANSYS и др. Методы суперэлементов и редукции ба­ зиса позволяют существенно сократить время вычисления (программы РКМ, ASKA, СПРИНТ [19,104,115]).

Эффективными являются также итерационные методы [1,56]. Расчет собственных колебаний конструкции выполняется методами: итерации в подпространстве(SAP-7), вычисления корней характеристического определителя (NASTRAN), Хаус-

При расчете динамического отклика используются методы: представления решения в виде суперпозиции форм собствен­ ных колебаний, шаговые - Вилсона, Ньюмарка (ABAQUS, ADINA, SAP-7, NASTRAN).

Решение геометрически и физически нелинейных задач осуществляется, как правило, итерационными методами, ос­ нову которых составляет метод Ньютона-Рафсона в сочетании с шаговыми методами (ABAQUS, ADINA, NASTRAN, ANSYS, LASTRAN и др.).

Следует отметить,что принцип модульности программиро­ вания, использованный в программных комплексах, позволяет

На первых этапах освоения МКЭ разрабатывались в основ­ ном промышленные вычислительные программы. Они эффектйвныг если решается большое количество вариантов однотипных задач, либо выполняется большой объем вычислений для ка­ чественного и количественного исследования явлений, свя­ занных с новой постановкой задачи [12].

Универсальные вычислительные программы обладают боль­ шими возможностями, как правило, могут постоянно совер­ шенствоваться за счет открытости библиотеки конечных эле­

тике и автоматике [193]. Проведение расчетов по универ­ сальной вычислительной программе в силу ее громоздкости менее эффективно, чем по промышленной.

Тенденция развития вычислительной техники, приведшая к созданию персональных ЭВМ и новых информационных техно­ логий, оказала влияние на разработку программного обеспе­ чения МКЭ [19], [93]. Программные комплексы по МКЭ активно используются в системах автоматизированного проектиро­ вания (САПР), базирующихся на персональных ЭВМ.

7.2.КРАТКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ САМЫХ МОЩНЫХ СОВРЕМЕННЫХ ПРОГРАММНЫХ КОМПЛЕКСОВ

Современные комплексы программ, в которых используется МКЭ, позволяют получать приближенные численные решения при расчете конструкций на статические и динамические

.нагрузки для широкого класса материалов с различными ме­ ханическими характеристиками и поведением. Расчет кон­ струкций на статические нагрузки может производиться с учетом физической и геометрической нелинейности, темпера­ турных полей, взаимодействия с другими средами (например, с жидкостью). Производится расчет критических нагрузок, при которых конструкция или ее элементы теряют устойчи­ вость, поведения конструкции после потери устойчивости. МКЭ позволяет также определить нагрузки, при которых происходит разрушение конструкции. Учитываются такие свойства материала как анизотропность, нелинейная упру­ гость, пластичность, текучесть. Учитываются виды геомет­ рической нелинейности: большие деформации и большие пере­ мещения. Основными динамическими задачами являются: рас­ чет собственных колебаний конструкции? динамический от­ клик на нагрузку, зависящую от времени? распространение волн.

Ниже в таблице 7.2.1. приводятся сравнительные харак­ теристики наиболее распространенных комплексов программ, описанных в работе [193].

Таблица 7.2.1.

Краткие характеристики наиболее распространенных комплексов программ МКЭ

Приведенные в таблице комплексы программ являются уни­ версальными. Опишем подробно один из комплексов, напри­ мер, ABAQUS.

Этот программный комплекс разработан относительно не­ давно для расчета новых прогрессивных конструкций. Разра­ ботчики этого комплекса (Hibbitt, Karlson, Sorensen) сохранили простоту и эффективность расчета для линейных задач при учете сугубо нелинейных эффектов - геометриче­ ских и физических. Комплекс программ позволяет произво­ дить расчет стационарных и нестационарных температурных полей, их влияния на напряженно-деформированное состояние конструкции, ее устойчивость, оценивать трещинообразование, учитывать зоны контакта с трением, учитывать процес­ сы фильтрации жидкости в грунтах. Расчет на нагрузку, за­ висящую от времени, производится с учетом предварительной нагруженности конструкции. Обширная библиотека конечных элементов, разнообразный набор характеристик материала (линейно упругий, гипоупругий, полностью несжимаемый с зависимостью свойств от температуры) и моделей его пове­ дения (общий упругопластический с изотропным и кинемати­ ческим упрочением, упруговязкопластический, специальные законы ползучести, объемное упрочнение) позволяют решать достаточно широкий класс задач.

Следует отметить, что выбор модели поведения материала является определяющим для достоверности расчитанного нап­ ряженно-деформированного состояния конструкции. Например, в программе MARC используется 30 моделей поведения мате­ риала (вязкоупругость по Максвеллу или Кельвину; плас­ тичность по критерию Мизеса, или Мора, или Кулона, с изотропным или (и) кинематическим упрочнением, по теории

ассоциированного или неассоциированного течения, с учетом температуры; ползучесть по закону Мизеса, чисто объемная или чисто девиаторная ползучесть, анизотропность при упругопластической ползучести: вязкопластичность, несжи­ маемость или почти несжимаемость, большие деформации по закону Муни-Ривлина и т.д.).

Программы промышленного назначения предназначении для расчета узкого класса конструкций. Примером программы промышленного назначения является программа BERSAFE, раз­ работанная для расчета элементов конструкций атомной энергетики. В этой программной системе для расчета напря­ женно-деформированного состояния используются специальные законы ползучести бетона и графита, поведения скальной породы.

Другим примером программы промышленного назначения служит программа EFESYS, предназначенная для расчета пло­ тин и морских сооружений с учетом связанности процессов фильтрации и напряженно-деформированного состояния.

Программный комплекс ПОЛИФЕМ-87 предназначен для рас­ чета на сейсмические воздействия сооружений как простран­ ственных систем [2].

Значительная часть разработанных программных комплек­

и другие.

Отметим, что универсальные и промышленные комплексы программ не могут быть эффективно использованы для изуче­ ния МКЭ. Для изучения различных аспектов МКЭ разработаны специальные учебные программные комплексы [145,188,189].

7.3. ПРЕ- И ПОСТПРОЦЕССОРНЫЕ ПРОГРАММЫ

Пре- и постпроцессорные программы являются сервисными программами. К ним относятся программы подготовки исход­ ных данных, их проверки с помощью графических средств, программы обработки результатов расчета по МКЭ и их гра­ фического представления. Современные вычислительные комп­ лексы МКЭ, как правило, имеют достаточно эффективные сер­ висные программы.

Одним из основных типов подготовки данных является ге­ нерация сетки конечных элементов, включающая генерацию характеристик узлов и генерацию ансамбля конечных элемен­ тов. Например, авторы работы [164] считают, что подготов­ ка и задание параметров ансамбля конечных элементов вруч­ ную составляют около 80% всей стоимости прочностного ана­ лиза конструкции. Первая программа автоматической генера­ ции простейшего ансамбля треугольных конечных элементов была разработана в 1958 году [216]. За последние три де-

сятилетия разработаны десятки сервисных программ автома­ тической подготовки данных для МКЭ. сравнительный анализ разработанных методов и программ приводится в работе [113].

Общие принципы построения ансамбля треугольных КЭ в двумерной области и тетраэдальных КЭ в трехмерной области сформулированы в работе [174]. Вводятся понятия идеально­ го ансамбля КЭ, однородности конечноэлементной сетки. Ансамбль конечных элементов считается идеальным/ если он состоит из равносторонних треугольников или правильных тетраэдров. Конечноэлементная сетка называется однород­ ной/ если каждый узел сетки внутри области является общим для одинакового числа конечных элементов. Треугольный КЭ считается "плохим"/ если один из внутренних углов меньше 15°. Это приводит к плохой обусловленности конечноэле­ ментной системы линейных алгебраических уравнений. Поэто­ му при разработке алгоритма автоматической подготовки ко­ нечноэлементной сетки необходимо соблюдать критерии:

- внутренние углы в треугольниках должны быть больше 15°; - конечноэлементная сетка должна быть близка к однород­ ной.

Алгоритмы, удовлетворяющие этим критериям для плоских областей описаны в работах [137,138,174,205,206,210/218].

В работе [174] описываются два алгоритма итерационного формирования ансамбля КЭ в плоской области с использова­ нием этих критериев. В обоих алгоритмах количество узлов на границе плоской области считается известным. Густота конечноэлементной сетки зависит от густоты расположения узлов на границе и формы границы. При выборе положения узлов на границе следует избегать резких изменений в рас­ стояниях между соседними узлами. Выбирается некоторая внутренняя точка области, которая соединяется прямыми ли­ ниями с узлами на границе (рис. 7.3.1. и рис. 7.3.2.).

Рис. 7.3.1. Макси-схема построения треугольной сетки.

Валгоритме 1, называемом макси-схемой (рис. 7.3.1.):

1)вычисляется количество промежуточных слоев узлов меж-

ду выбранной внутренней точкой и узлами на границе обла­

6)перестроение сетки заканчивается, если новая сетка не содержит два соседних узла в каждом внутреннем треуголь­ нике с числом соединений меньше 6 одновременно (в);

7)строятся треугольники оптимального вида с использова­ нием следующей итерационной схемы: каждый узел построен­ ной сетки перемешается так, чтобы значения его новых координат составляли средние арифметические значения координат окружающих его соседних узлов в соответствии с первым критерием.

Рис. 7.3.2. Мини-схема построения треугольной сетки.

Валгоритме 2, называемом мини-схемой (рис. 7.3.2.):

1)вычисляется число соединений каждого внутреннего узла, включая выбранный;

2) если число соединений в узле больше шести, то он рас­ щепляется на два узла (при этом образуется два новых треугольника); 3} пункты 1) и 2) повторяются до тех пор, пока не

исчезнут узлы с числом соединений больше шести; 4) сетка улучшается с использованием итерационной схемы пункта 7) алгоритма 1.

Достаточно сложная область, имеющая криволинейные гра­ ницы или являющаяся многосвязной, разделяется на две по­ добласти, для каждой из которых строится сетка треуголь­ ных КЭ одним из описанных выше алгоритмов. При этом кри­ волинейная граница заменяется параболой или дугой окруж­ ности, если кривизна нала, то прямой линией. Нумерация узлов сетки КЭ осуществляется в порядке их образования. Программа перенумерации узлов позволяет уменьшить ширину ленты глобальной матрицы жесткости. Алгоритм этой прог­ раммы описан в работе [144].

Алгоритм, предложенный в работе [205], ориентирован на построение сетки треугольных КЭ, близкой к идеальной и однородной. Плоская область, внутри которой строится сет­ ка, считается многосвязной. На границах области задается количество узлов и их координаты. Вдоль каждой границы области строится слой треугольных КЭ, каждый из которых близок к равностороннему треугольнику. Каждый построенный слой КЭ определяет новый контур с уже известными узлами, для которого, строится новый слой КЭ. На последнем шаге алгоритма остается треугольная или четырехугольная область. Если треугольная, то сетка построена. Если область четырехугольная, то она разбивается на два треу­ гольника.

Аналогичный алгоритм, названный методом "выравнива­ ние-выемка" положен в основу программной реализации сис­ темы АВТ0МКЭ-2 [113]. Сначала строится контур базовых подобластей в виде непересекающегося объединения прямо­ угольных элементов, концевыми узлами которого является упорядоченная совокупность узлов дискретизации базовых линий. Затем на основе информации о сформированных узлах производится автоматическая триангуляция подобластей. Сетка КЭ строится внутрь подобласти от базовых линий с учетом локальных свойств текущей границы. Треугольные элементы формируются либо выравниванием, т.е. уменьшением длины текущей границы, либо выемкой, т.е. построением но­ вого узла текущей границы. Завершающая фаза алгоритма - итерационная регуляризация - совмещение внутренних узлов базовой подобласти с центроидами многоугольников, состав­ ленных из треугольных элементов, окружающих внутренние узлы.

Дальнейшее развитие принципов построения сетки конеч­ ных элементов, состоящей из треугольных и четырехугольных