книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

Из (5.1.40) и (5.1.38) следует

ce=e-Xf. (5.1.47)

Подставляя в уравнение (5.1.45) последовательно (5.1.46)

и (5.1.47), и выразив А получим:

Уравнение (5.1.48) применимо для описания свойств идеаль­ но-пластического поведения материала. Подставляя в урав­ нение (5.1.46) последовательно (5.1.47) и (5.1.48) полу­ чим:

Уравнение (5.1.49) справедливо при

В случае упругого поведения материала справедливо уравне­

ние (5.1.46). Матрица Ср, как и матрица С, является поло­

жительно определенной при v*0 (упрочнение).

При идеальной пластичности матрица Ср становится поло­

жительно полуопределенной при det(Cp )=0. В отличие от уп­

ругого материала зависимость между о; и е должна допол­

няться правилами вычисления параметра упрочнения р. Для этого уравнение (5.1.48) подставим в (5.1.39). Получим:

Если условия (5.1.50) не выполняются, то р-0.

Зависимости между напряжениями и деформациями в случае упруго-пластического поведения материала имеют тот же вид, что и аналогичные зависимости для упругого мате­ риала. Обе зависимости не являются функциями времени, что следует из прямой пропорциональности их приращений.

5.2. НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ БЕТОНА

Бетон моделируется в основном как материал с физически нелинейными свойствами. Зависимость напряжений от дефор-

маций в диапазоне возникновения трещин описывается тео­ рией пластических деформаций Гениева [36]г основу которой составляет деформационная теория пластичности. В теории Гениева материал рассматривается как нелинейный изотроп­ ный. Основополагающая физическая зависимость интенсив­ ности касательных напряжений Т от интенсивности деформа­ ций сдвига Г имеет вид:

Т=С0(1-Г/(2Г8))Г. (5.2.1)

интенсивность деформаций сдвига, при которой возникает разрушение.

В отличие от первоначальной теории Гениева уравнение (5.2.1) запишем для приращения нагрузки:

где Г на шаге приращения нагрузки считается неизменной;

Т, Г - обозначают приращения по времени.

Это приводит к симметричной матрице жесткости К, кото­ рая в теории Гениева является несимметричной. Это обстоя­ тельство имеет большое значение для решения канонической системы уравнений МКЭ. Объемная деформация u=J^ по теории

Гениева складывается из объемной деформации и с о о т в е т ­

ствующей шаровому тензору напряжения <т, и диллатации vff

(увеличение объема вследствие потери связей при трещинообразовании):

Здесь gQ - модуль диллатации. Объемная деформация прямо

откуда 9о=ис/Гс*

В общем случае аналогично уравнению (5.2.2)

Из формулы (5.2.3) можно выразить и. При этом предпо­ лагается, что девиаторы напряжений и деформаций пропор­

Е(Г)=2G(T)(1+v).

Предельная интенсивность касательных напряжений ТD

является решением уравнения критерия разрушения [36] (рис.5.2.1):

Рис. 5.2.1. Предельная поверхность критерия разруше­ ния Гениева ( в изометрии нормальное сечение перпен­ дикулярно к главной оси).

Здесь Т - предельная интенсивность касательных напряже-

ний при чистом сдвиге; Rb - прочность' бетона на сжатие;

Из формулы (5.2.10) видно, что предельная интенсивность касательных напряжений для любого напряженного состояния выражается через предельную интенсивность касательных напряжений при чистом сдвиге. Аналогичная зависимость предлагается Гениевым для предельной интенсивности дефор­ маций:

Га=гс (А,3|.

При применении МКЭ в форме метода перемещений целесооб­ разно использовать формулу для к(А,6), выраженную через инварианты тензора и девиаторы деформаций:

Эти формулы используются для вычисления предельной интен­ сивности касательных напряжений TQ и предельной интенсив­

где EQ - начальный модуль деформаций.

Слагаемое 2gQrf/3 в формуле (5.2.6) описывает дилата­

цию (расширению) твердого тела. Оно может быть также ис-?

пользовано в зависимости (5.2.5) между деформациями и напряжениями при приращении нагрузки для линейно-упругого состоянияг если Е и <г заменить соответственно на Е(Г) и а(Г). Слагаемое/ соответствующее дилатации/ следует учесть при последующем приращении нагрузки или на шаге итерации в качестве'фиктивного приращения напряжения.

5.3. ТЕНЗОР ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ОБРАЗОВАНИИ ТРЕЩИН

На примере бетона можно проследить зависимость напря­ жений от деформаций.

Бетон является неоднородным материалом/ при деформа­ ции которого вплоть до разрушения/ протекают сложные процессы. Бетон имеет следующие свойства:

-проявление в процессе деформирования нелинейной упруго­ сти, пластичности, вязкоупругости, вязкопластичности

[131];

-сильно отличаются пределы прочности при растяжении и сжатии;

-возможность разрушения как отрывом,так и сдвигом;

-увеличение в объеме при действии касательных напряже­

ний вследствие образования микротрещин (дилатация) даже при всестороннем сжатии.

Поведение бетона до момента разрушения моделируется численно на основе феноменологической теории прочности. Уже в этом случае к ресурсам ЭВМ предъявляются очень вы­ сокие требования. Применение физической теории, учитываю­ щей взаимодействия между молекулами и кристаллами, а так­ же теории трещинообразования, в которой учитывается кон­ центрация напряжения в вершинах трещин, приводит к еще более высоким затратам ресурсов ЭВМ. Среди различных спо­ собов описания материалов с очень разными значениями пре­ делов прочности на сжатие и растяжение, наиболее приемле­ мой является теория Филоненко-Бородича, в которой обоб­ щается теория Мора [109], [191] совместно с критерием разрушения, теорией пластических деформаций Гениева-Кис- сюка [36], поскольку эта теория хорошо обосновывается экспериментальными исследованиями и пригодна для проведе­ ния расчетов с применением вычислительной техники.

.Теория разрушения Мора описывает разрушение вследствие сдвига вдоль площадки в зависимости от соотношения между нормальными и касательными напряжениями в плоскости сдви­

которая располагается перпендикулярно оси среднего нор­ мального напряжения в пространстве главных напряжений. Среднее нормальное напряжение, которое не учитывал Мор,

впервые было учтено Надаи [109]. Огибающие кривые Мора в общем случае определяются экспериментально (рис. 5.3.1, 5.3.2).

Рис.5.3.1. Огибающая кривая Мора.

Критерий разрушения [36],[61] можно также записать че­

рез октаэдрические напряжения <г -1^/3, T qk**(-2ID2/3)

Поскольку на опытном образце сложно получить чисто каса­

Рис. 5.3.2. Меридиональное сечение предельной поверхности [61].

Рис. 5.3.3. Аппроксимация кривой условия трещинообразования семейством касательных.

Эти уравнения описывают однопараметрическое семейство кругов предельного напряжения. Огибающая кругов Мора по­

т 2=9 (<Т-?ок)2/ ((ЩЯ+ц)2-Э),

откуда

т»±3(0-(ГОК)/((uN+y)2-9)1/2. (5.3.13)

Очивидно, что огибающая кривая кругов Мора существует только при выполнении условия:

Так как ifN+д+З всегда положительно/ то с учетом неравен­ ства лИ+д-3>0 имеем:

(5.3.14)

N = Idcr0K/d7:0K I> (3- М )/17.

Для существования огибающей кривой кругов Мора должны вы­ полняться условия:

а2г(<т,т,т:0|.)/ат4*С1,

Вторая производная F(o-,T,rojJ по ток

д2Г{а,х,то^/дъ2о^2№и/-ц)2-1Ъ/т\2=2{(у№+\1)2-Э)/ л 2

идентична корню уравнения (5.3.13), который при выполна нии условия (5.3.14) будет положительным. Имеем также:

SF /Зт-0? дТ/дх-2т; ок

9F /да- 2(ТИ+и/п)>2( (3-ц)/л+д/л)=6/л^0. ок

При этом для каждой комбинации величин а, т, ток, удов

летворяющих неравенству (5.3.14), имеем следующие началь ные условия для огибающей кривой кругов Мора:

Ток'3(КЬ"ЕЬЬ>(3-д)с/<21?>-