книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

где 1} - эмпирическая константа.

Если интенсивность касательных напряжений мала по сравне­ нию с Тс , то при f (Т)=1 справедлива линейная теория.

Будем считать, что справедливы условия:

-изотропности и однофазности;

-тензорной линейности [158,стр.207] между тензорами нап­ ряжений, деформаций и скоростью деформации;

-независимости формоизменения от увеличения нормальных

напряжений и объемного изменения от девиатора напряже­

K=E/(3(l-2v) ) - постоянная объемного сжатия для трехосно­ го напряженного состояния.

Тогда зависимость деформаций от напряжений с учетом пол­ зучести бетона имеет вид: t

е(t,t0)= (o,(t)+pK(0)yJ<r(T) (ke”*T+

t

eij(t,t0)= (sij(t)+1pG (0)yJsi^(T)(ke“yT+

t

Вводя вспомогательные переменные

(5.4.14)

hij=ISij*T)e~r(t”T)>dT?

и после преобразования стандартной зависимости согласно [129] для ползучести при трехосном нагружении, получим:

^ ij=2G(r)(eij-5ije)+35ijK(r)e-ky(V G (0)si:.+6i;.?»K (0)o-)e“7t-.

в соответствии с формулой (5.4.14) является матрицей ли­ нейной упругости, в которой по модифицированной теории Гениева параметры упругости зависят от интенсивности де­ формаций сдвига Г.

Стандартную формулу матрицы С можно получить для урав­

при ,do^ (tp)/dt=dij.

Алгоритмы решения дифференциальных уравнений для h^j и

идентичны. Изменение напряжений в результате ползучести

da. .(^>) Д<г..(?>)=-- -----At

13 dt

рассматривается как температурная деформация.

Сначала интегрированием по КЭ определяются эквивалент­ ные узловые силы, которые суммируются в вектор нагрузки дляданного временного интервала. При расчете напряжений "напряжения ползучести" можно вычитать (рис.5.4.2).

5.5.ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ НЕЛИНЕЙНОСТЬ

Врасчетах с учетом геометрической нелинейности наг­ рузка представляется в виде суммы ее приращений и на каж­ дом шаге действует соответствующее приращение нагрузки. Частный случай одного шага нагружения соответствует при­ ложению полной нагрузки. Условие равновесия для любой произвольной первоначальной конфигурации формулируется на основе способа Лагранжа. Считается, что после n-го шага приложения нагрузки известно и справедливо условие равно­ весия:

V

где тензор деформаций Грина (Лагранжа) равен:

Здесь вертикальная черта (I) означает ковариантную произ­ водную от контрвариантных компонент тензора перемещения U. При варьировании используются общие правила дифферен­ цирования. Первая вариация является коммутативным опера­ тором относительно дифференцирования и интегрирования с постоянным пределом интегрирования [159]:

)TKLdV-SvTf=0 ,

или с учетом ТKL=ТЪК :

V

После (п+1)-го шага приращения нагрузки f (для прира­ щения используем обозначение{ )) устанавливается новая конфигурация, для которой условие равновесия, как и для (5.5.1), имеет вид:

V

с тензором деформации Грина:

Вариация поля перемещений (5.5.6) может осуществляться разными путями:

а) варьируются перемещения для шага п [185]; б) варьируются приращения перемещений [214];

в) варьируются одновременно перемещения для шага п и при­ ращения перемещений;

г) как частный случай для случая в) обе вариации прирав­ ниваются друг другу [185].

Для дальнейшего изложения выбирается-случай г):

Таким образом, вариация (5.5.6) дает:

1

Его компонеты зависят от состояния напряжения или дефор-

тттст наций и от координат. Так как определитель det(C )

§KL можно непосредственно выразить из уравнения (5.5.6).

Из уравнения (5.5.10) с помощью уравнения (5.5.11) исклю­

чим TKL:

переходе к конечноэлементной аппроксимации приводит к так называемой "геометрической матрице жесткости” или "матри­

где v - приращение вектора перемещений на шаге п+1 прира­ щения нагрузки. В зависимости -от выбора исходной или текущей конфигурации после n-го шага приращения нагрузки можно использовать а)шаговый метод, когда уравнения равновесия записываются относительно исходной (начальной) системы координат (способ Лагранжа) или б)шаговый метод, когда уравнения равновесия записываются относительно те­ кущей (подвижной) системы координат (модифицированный

образом представляются приращения Ur,V,f, а также закон

деформация в системе координат текущей конфигурации тела. 6 результате уравнение (5.5.15) упрощается и будет иметь вид:

J ( * » I | j « 0 M| A | J )CIJKL(UK |b++(flM|KOMlL) / 2 ) d V +

5.6.АЛГОРИТМЫ РАСЧЕТА ПО МКЭ С УЧЕТОМ НЕЛИНЕЙНОСТЕЙ

Расчет конструкций с учетом нелинейностей основывается на шаговых и итерационных методах. Выбор метода и алго­ ритма, реализующего его, зависит от типа нелинейности.

При нелинейном законе деформирования материала физиче­ ская нелинейность описывается законом состояния, для представления которого могут использоваться различные способы: аналитические, табличные и графические. При этом предполагается, что перемещения и деформации твердого те­ ла малы.

При больших перемещениях, но малых деформациях, зави­ симость напряжения от деформаций (закон состояния) может быть как линейной, так и нелинейной. В этом случае ис­ пользуются способы Лагранжа описания уравнений равновесия конструкции. В первом способе описания уравнения равно­ весия формулируются относительно начальной неподвижной системы координат на каждом шаге приращения вектора наг­ рузки. При этом используются второй тензор напряжений Пиола-Кирхгоффа и тензор деформаций Грина (Лагранжа) (уравнение (5.5.2)).

Выбор второго тензора напряжений Пиола-Кирхгоффа обус­ ловлен тем, что его компоненты инвариантны относительно

Отношение °p/tp является отношением массовых плотно­

стей материала твердого тела для начальной и текущей кон­ фигураций тела. Это отношение вытекает из закона сохране­ ния массы и равно:

amn " тенз°Р напряжения Коши. Отметим, что второй тензор

напряжений Пиола-Кирхгоффа совпадает с тензором напряже­ ний Коши, если перемещения тела малы.

Во втором способе уравнения равновесия формулируются относительно текущей системы координат, связанной с твер­ дым телом и полученной на предыдущем шаге приращения наг­ рузки. Здесь используются тензор напряжений Коши и тензор деформации Эйлера (Альманзи-Гамеля):

При больших деформациях сдвига и растяжения перемеще­ ния тела могут быть как малыми, так и большими, и, в свою очередь, зависимость напряжений от деформаций может быть линейной или нелинейной. В этом случае используются те же подходы, что и описанные выше, для случая больших переме­ щений (с применением начальной и текущей систем коорди­ нат). Во втором способе уравнения равновесия, записываются с использованием тензоров приращения напряжений Юманна и приращения деформаций и называются уравнениями ЛагранжаЮманна.

Тензор приращения напряжений здесь равен:

(5.6.5)

■ S PV

по параметру приращения нагрузки в декартовой системе координат; n^j - компонента тензора приращения угла пово­

рота твердого тела.

Тензор приращения деформаций имеет вид:

t . i f ^

(5.6.6)

ei3= T l 7 6 ^ 7 + 7 ^

При любых типах нелинейностей, учитываемых в конечно­ элементных уравнениях равновесия, вся информация о физи­ ческой и геометрической нелинейности полностью содержится в матрице жесткости структуры. Таким образом, матричное нелинейное уравнение равновесия можно записать в виде:

K(v)v=f. (5.6.7)

Уравнения равновесия в приращениях (при использовании шаговых ретодов) записываются следующим образом:

K(v)Av=Af. (5.6.8)

Уравнёний (5.6.77 или (5.6.8) представляют собой сис­ тему нелинейных алгебраических уравнений, для решения ко­ торых используются как шаговые, так и итерационные мето­ ды.

Шаговые методы позволяют оценить напряженно-деформиро- ванное состояние в конструкции после каждого шага прира­ щения нагрузки, и поэтому их достоинством является воз­ можность учета реального процесса нагружения во времени и различных видов проявляющихся эффектов нелинейности.

Однако, шаговые методы не лишены недостатков. На рис. 5.6.1.а показан процесс накопления ошибок при переходе от одного шага приращения нагрузки к другому. Здесь v* соот­ ветствует точному решению, a v приближенному, полученному шаговым методом.

Уменьшая величину приращения нагрузки можно сколь угодно близко приблизиться к точной кривой, если она мо­ нотонно возрастающая. Например, для железобетона это предположение в общем случае невыполнимо. На каждом шаге приращения нагрузки решается линейная задача. При сущест­ венной нелинейности необходимо большое число шагов прира­ щений, и тем самым нелинейный расчет оказывается очень трудоемким. Процесс сходимости можно улучшить, используя автоматическое регулирование величины приращения нагруз­ ки.

При применении алгоритмов с уменьшением приращения нагрузки можно достаточно точно аппроксимировать кривую зависимости нагрузки от прогиба. Выбирая число шагов и соответствующие величины приращения нагрузки можно получать результаты приближенного расчета с наперед заданной точностью: