книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

Тензор-деформаций упругого тела, как и тензор напряже­ ний, является симметричным:

Вектор деформаций равен:

£ = ■fcll'e22,E33,712*y23,y31^? 2fij”2eij?

значения деформаций e^j с одинаковыми индексами являются

линейными деформациями, а с различными индексами - равны

Преобразования компонент тензора деформаций выполняют­ ся по тем же формулам, что и для напряжений:

Вектор деформаций, преобразованный к главным осям, имеет вид:

деформаций также можно представить в виде суммы шарового тензора и девиатора деформаций:

-V ” ^ell”Jl/3,e22_Jl/3,e33”Jl/3,C12fe23,G31^* (1*1*29)

Шаровая часть тензора деформаций описывает среднее расширение объема тела, а девиаторная часть - описывает искажение формы тела за счет деформаций сдвига. Связь между вектором деформаций е и вектором перемещений и в

линейной теории упругости задается линейным кинематиче­ ским уравнением:

где D- матрица дифференциального оператора (1.1.17). Запись уравнения деформаций в тензорной форме имеет вид:

перемещений являются непрерывными функциями и имеют, как

дует кинематическая совместность деформаций. Обратное утверждение не имеет силы, так как не любой набор произвольных непрерывных компонент тензора деформаций соответствует кинематически совместному полю перемещений.

Для того, чтобы в каждой точке тела по шести компо­ нентам тензора деформаций можно было вычислить три компоненты перемещений, деформации должны удовлетворять так называемым условиям совместности, которые связывают компоненты вектора относительных деформаций с помощью шести дифференциальных уравнений в частных производных.

ЗАКОНЫ СОСТОЯНИЯ. Связь между напряжениями и деформа­ циями устанавливается уравнением состояния. Каждое уравнение состояния выражает экспериментально устанав­ ливаемый физический закон. Для неоднородного анизотроп­

кли

£ = с_1(£ " 20) + £0

Все искомые величины являются функциями координат zk ?

Ч = 2(zk )/ е = e(zk ), u = u(zfc)f к=1,2,3.

Заданная интенсивность объемных сил р, также является функцией zk , а вектор q зависит от локальных координат на

поверхности. Таким образом, имеется 15 уравнений с 15 неизвестными (6 напряжений, 3 перемещения, 6 деформаций). Исключая из этих уравнений неизвестные напряжения и де­ формации, получаем уравнение Ламе-Навье, которые в ка­ честве неизвестных содержат только компоненты вектора 'перемещений:

Исключая перемещения и относительные деформации, можно получить систему дифференциальных уравнений БельтрамиНитчелла в частных производных, где неизвестными являются компоненты вектора напряжений. Эта система, однако, в меньшей степени применяется в приложениях.

1.2. ВАРИАЦИОННАЯ ФОРМУЛИРОВКА МКЭ

Рассмотренные пути решения задач теории упругости ос­ нованы на интегрировании дифференциальных уравнений при некоторых заданных краевых условиях. В случае -динамиче­ ской задачи в правые части дифференциальных уравнений равновесия входят инерционные силы, определяемые вектор-

at2

где р -' плотность материала, t - время. В задачах ди­ намики к краевым условиям должны быть добавлены начальные условия, обуславливающие состояние системы в момент времени tQ.

Многообразие реальных конструктивных форм изучаемых

Вариация дополнительной работы по аналогии с (1.2.2)

а в случае действия объемных и поверхностных сил имеем:

дополнительную потенциальную энергию деформации для ли нейно-упругого тела:

Из выражений (1.2.9) и (1.2.16), соответственно, следуют известные формулы Грина и Кастильяно:

■ц*

<х = SW^/ae, е = aw^/da.

Рассмотрим некоторые основные принципы, используемые в МКЭ.

ПРИНЦИП ЛАГРАНЖА. Одним из наиболее общих принципов, чаще других используемых в МКЭ, является принцип возмож­ ных перемещений. В соответствии с этим принципом вариа­ ционное уравнение, описывающее поведение конструкции, носит наименование вариационного уравнения Лагранжа.

Первоначально развитие МКЭ в форме метода перемещений основывалось на физических представлениях, и г'г- можно рассматривать как развитие метода перемещений д.\ стерж­ невых систем. Общий путь его применения следует понимать как численную процедуру для получения приближенного реше-

ния задач механики сплошных сред. Достигнутое приближение зависит от характеристик и числа элементов, используемых для представления континуума. Решение вопросов точности сходимости и улучшения характеристик элементов естест­ венно привело к исследованиям в области самого метода. Наибольший прогресс здесь был достигнут, -как только было установлено, что МКЭ является особой формой метода Ритца, который использовался уже многие годы для решения ос­ новных вариационных задач* Важность этого факта состояла в том, что все исследования, относящиеся к методу Ритца, можно было теперь распространить на МКЭ. Кроме того, по­ скольку метод Ритца можно использовать в решении различ­ ных вариационных задач, выходящих за пределы механики сплошных сред, то и МКЭ можно использовать при решении тех же задач.

Физическая интерпретация МКЭ для статических и дина­ мических задач основывается на принципе возможных пере­ мещений. Он гласит, что в равновесном состоянии при произвольных малых перемещениях полная возможная работа внутренних сил равна полной возможной работе внешних сил, т.е.

где <г - истинные напряжения в континууме; p,q,fL -объем­

ные, поверхностные и сосредоточенные нагрузки, действую­ щие на тело, 5и -произвольное поле возможных перемещений, удовлетворяющее граничным условиям задачи, а 5е-соответ-

ствующие возможные деформации. Нужно понять, что пред­ ставляют собой многие возможные поля перемещений конти­ нуума. Если (1.2.17) удовлетворяется при всех этих допу­ стимых возможных полях перемещений, это означает, что напряжения являются точными решениями задачи.

В МКЭ, основанном на перемещениях, поля возможных пе­ ремещений принимаются следующим образом:

для каждого КЭ, где G - матрицы так называемых функций формы и v - векторы узловых смещений. Действительные перемещения тела также принимаются в форме (1.2.18) что дает возможность составить и алгебраические уравнения для определения и перемещений узлов сетки конечных элементов. Распределение перемещений, а следовательно, распределение напряжений, в общем случае оказывается приближенным, так как используется конечное число возможных полей перемеще­