книги / Применение метода конечных элементов к расчету конструкций

ний, а сани они ограничены видом выражения (1.2.18). Рассмотрим равновесие линейной упругой среды и предпо­

ложим, что возможнее перемещения и возможные деформации являются, соответственно, вариациями действительных пол­ ных перемещений и деформаций:

g- = С(е - eQ), u = Su, е = 5е

В этом случае вариационное уравнение Лагранжа (1.2.17) примет вид:

С учетом симметрии можно уравнение (1.2.19) представить в виде:

(1.2 .20)

Левая часть уравнения (1.2.20) представляет собой вариа­ цию энергии деформации W^, а правая часть - вариацию по­

тенциальной энергии внешних нагрузок We Следовательно,

принцип возможных работ привел к принципу равенства нулю вариации полной потенциальной энергии П, т.е.

в положении равновесия имеет стационарное значение. Можно доказать, что стационарное значение соответствует миниму­ му полной потенциальной энергии.

Условие (1.2.21) представляет собой принцип Лагранжа, согласно которому из всех кинематически возможных векто­ ров-функций перемещений действительным будет такой, кото­ рый сообщает полной потенциальной энергии тела минималь­ ное значение.

ПРИНЦИП КАСТИЛЬЯНО. Этот принцип основан на рассмотре­ нии возможного изменения напряженного состояния конструк­ ции. Предполагается, что в объеме тела обеспечивается совместность деформаций. Приравнивая вариацию дополни­ тельной потенциальной энергии деформации вариации допол-

мы приходим к условию равенства нулю вариации полной дополнительной энергии системы:

или

Здесь Su -часть поверхности, где заданы перемещения.

В соответствии с функционалом (1.2.23) из всех стати­ чески возможных напряжений дополнительная энергия прини­ мает tстационарное значение. Рассматривая вторую вариацию от П ,можно убедиться, что она существенно положительна, и поэтому условие (1.1.23) есть условие минимума полной дополнительной энергии. Этот принцип был сформулирован Кастильяно. И в частном случае для линейно-упругого тела, когда отсутствуют вариации объемных и поверхностных сил при заданных перемещениях, носит наименование начала наименьшей работы:

Принципиальное различие рассмотренных выше двух вариа­ ционных формулировок состоит в том, в функционале Лаг­ ранжа варьируются параметры деформируемого состояния при неизменном напряженном состоянии, в то время как в функ­ ционале Кастильяно варьируется напряженное состояние при неизменном значении параметров деформируемого состояния системы.

Следует отметить, что функционалы Лагранжа и Кастилья­ но представляют собой так называемую несвободную вариа­ ционную постановку задачи теории упругости, т.к. до варьирования этих функционалов необходимо предварительно удовлетворить дополнительным условиям, которые связывают между собой варьируемые параметры.

В вариационном исчислении показано, что вариационной задаче соотсветствуют эквивалентные дифференциальные уравнения Эйлера. Рассмотрим переход от вариационной за­ дачи к эквивалентным дифференциальным уравнениям Эйлера на примере некоторого функционала, выраженного через две независимые функции p f z ^ z ^ z ^ и и их первые

d71'z. an

Здесь l,m,n*- направляющие косинусы нормали к поверхности S.Интегрирование осуществляется по той части поверхности (Se), на которой заданы функции <р я п-

Поскольку функции чр и ч независимы, а их вариации

произвольны, из (1.2.29). можно получить следующие урав­ нения Эйлера:

Полученная система уравнений (1.2.30) - (1.2.31) при граничных условиях (1.2.32) - (1.2.33) позволяет опре­ делить функции р и т)г реализующие стационарное значение

функционала (1.2.28).

В силу независимости функций tp и п изложенная поста­

В случае, когда функции <р и у оказываются взаимо­ зависимыми, имеет место несвободная вариационная задача. В этом случае для перехода от вариационной задачи к экви­ валентным дифференциальным уравнения Эйлера в рассмотре­ ние вводится новый функционал:

зываемые прямые методы. Остановимся на одном из этих ме­ тодов - методе Ритца. Согласно этому методу подынтег­ ральные варьируемые функции, входящие в функционал, пред­ ставляют в виде линейных комбинаций. Например, функцию перемещений записывают в форме:

прерывные функции, удовлетворяющие заданным кинематиче­ ским граничным условиям. При помощи (1.2.35) функционал J становится функцией коэффициентов

Условие экстремума функционала определяется в этом случае из системы уравнений:

дЗ

---- = 0 , (1=1,2,...,п) (1.2.36)

Ограничиваясь несколькими членами ряда, можно получить приближенное решение задачи, которое при п-*« будет стре­ миться к точному решению. Необходимое число членов ряда, позволяющее получить необходимую точность решения задачи, зависит в значительной степени от выбора базисных функций.

Необходимо отметить, что решение системы алгебраиче­ ских уравнений (1.2.36) в общем случае является сложной задачей. В частном случае, который имеет место при реше­ нии задач линейной теории упругости , когда вариационная постановка сводится к квадратичным функционалам относи-

тельно искомых функций и их производных, система (1.2.36) становится линейной, что существенно упрощает задачу определения коэффициентов а^.

.Выше отмечалось, что функционалы Лагранжа и Кастильяно относятся к несвободной вариационной задаче, поскольку получаемые на их основе уравнения Эйлера не охватывают полную систему статических, геометрических и физических уравнений с соответствующими граничными условиями. Для перехода от несвободной вариационной задачи с дополни­ тельными условиями к свободной вариационной задаче необ­ ходимо в качестве независимых варьируемых функций, харак­ теризующих напряженно-деформируемое состояние тела, рас­ сматривать перемещения, напряжения и деформации. Такой функционал называют полным. Он может быть получен в ре­ зультате обобщения одного из частных функционалов (Лаг­ ранжа или Кастильяно) с использованием метода неопреде­ ленных множителей Лагранжа.

Не останавливаясь подробно на этом вопросе, отметим, что в соответствии с теоремой преобразования вариационных проблем Куранта и Гильберта [65], могут быть получены различные виды частных функционалов: Рейсснера, ХуВашицу, функционалы граничных условий и другие смешанные функционалы.

Если в качестве варьируемых параметров принять все функции, характеризующие напряженно-деформируемое состоя­ ние тела - напряжения, деформации и перемещения, то можно записать полный функционал свободной вариационной задачи:

Из этого общего вариационное принципа могут быть -по­ лучены известные принципы. Например, из полного функцио­ нала получается функционал Рейсснера, если ;В качестве варьируемых параметров принять перемещения и напряжения (либо перемещения и деформации), а в качестве дополни­ тельных условий - физические соотношения:

u

где Пл (и)- функционал Лагранжа; Т(и) - кинетическая энер­

гия системы:

1 Г .т.

Т(й)= — JpuTudV.

Согласно принципу Гамильтона, на участке истинного движения системы в промежутке времени tgCbct^ функционал

(1.2.41) имеет стационарное значение.

Г л а в а 2

ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МКЭ

2.1. МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА (МЖКЭ)

Рассмотренные выше вариационные принципы являются ос­ новой построения эффективных приближенных решений краевых задач МКЭ, в котором используется идея локальной аппрок-_ симации варьируемых функций в пределах КЭ.

Такое представление позволяет использовать относитель­ но простые координатные функции для описания физических

размерность которого равна числу степеней свободы всех узлов элемента.

Обозначим через - вектор обобщенных узловых переме­

щений, а через f\ - вектор обобщенных узловых сил i-ro

элемента.

Тогда, подставляя в (2.1.1) координаты узлов элемента, получим:

где А^ - матрица координат узлов.

Решаем систему (2.1.2) относительно компонент вектора ос^- Получим:

начают через N^. Подстрочный индекс используется для

обозначения узла, к которому эта функция относится. Каждая функция формы характеризуется тем, что она об­

Таким образом, все параметры, характеризующие напря­ женно -деформированные состояния КЭ выражены через его узловые перемещения. Приравнивая работу внутренних сил КЭ работе внешних сил и имея в виду, что в качестве внеш­ ней нагрузки выступают узловые силы, определяемые векто­ ром , мы получим следующее равенство:

Первое слагаемое представляет собой вектор узловых сил от действия начальных деформаций (в частности, температур­ ных) ; второе слагаемое - вектор узловых сил от действия распределенных объемных сил (в частности, собственного веса); третье слагаемое - вектор узловых сил от действия нагрузки, распределенной по поверхности КЭ; четвертое слагаемое - сумма сосредоточенных сил, приложенных непос-

Каждая компонента МЖКЭ k^j представляет собой реак­

тивное усилие по i-му направлению, вызванное единичным перемещением по j-му направлению при условии, что переме­ щения по всем остальным направлениям равны нулю.

Следует отметить, что в общем случае МЖКЭ является особенной, поскольку компоненты узловых перемещений

содержат неопределенные значения перемещений КЭ как абсо­ лютно твердого тела. Неособенная МЖКЭ может быть получена путем исключения поступательного и вращательного переме­ щения КЭ как абсолютно твердого тела, т.е. путем наложе­ ния необходимого числа кинематических связей.

С этой целью осуществляется преобразование вектора уз­ ловых перемещений при помощи некоторой прямоугольной мат­ рицы Т, содержащей единицы и нули:

Здесь уГ -вектор узловых перемещений с учетом введейных кинематических связей, ограничивающих перемещение КЭ каф

путем подстановки в (2.1.12) уравнений (2.1.8) и (2.1.11) получим: