книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]
.pdfВведение нормировки за счет суммарного сигнала, как и ра нее, устраняет влияние амплитуды входного сигнала на форму ДХ.
Так называемая переходная задержка т0, при которой ДХ равна нулю,
(3.3.9)
гДе Тстр ~ длительность строба. Нетрудно видеть, что для рассмот ренного примера Т о=5тстр.
Простейший способ расширения апертуры ДХ состоит в нара щивании числа дискретов в соотношении (3.3.8). Так при п=4, это выражение переходит в
(3.3.10)
Недостаток способа состоит в том, что дискриминационные характеристики (3.3.8) и (3.3.10) имеют одинаковые линейные участки вблизи т0, а апертура ДХ расширяется лишь за счет её плоских частей.
Можно увеличить линейный участок ДХ используя метод ве сового суммирования, когда весовые коэффициенты при Диф уве личиваются с ростом номера K(i). Адекватным соотношением реа лизации этой идеи будет формула вычисления центра инерции системы материальных точек. В принятых обозначениях для ли нейного детектора она имеет вид
(3.3.11)
При квадратичном детекторе величины Д^^ заменяются на Д2,^ . Алгоритм ВД записывается как разность между и центром
дискриминационной характеристики иц, определяемым через пе реходную задержку т0 посредством выражения
(3.3.12)
В результате для алгоритма ВД получим
21К(1)Дк(1)
ивд = 2(ици - иц) = ------------ |
(Рл + 2 - ev). (3.3.13) |
Ё Дк(1) i=l V'
Множитель 2 нормирует крутизну ДХ к единице. Нетрудно убе диться, что, при Рд=10 и п=2, формула (3.3.13) переходит в (3.3.8). Асимметричная форма алгоритма (3.3.13) лишена нагляд ности симметричной формы, получаемой путем перехода от (3.3.13) к
12К(1)Дц))-|;(Рд+2 - ет)Д>( )
_ i=l________ |
i=l_______________ _ |
ивд
ХД«(|)
i=l
После преобразования числителя в (3.3.14) получим
t(2i-(n + l))fl>(1)
u = ивд
1Дк(1)
1=1 ' ’
В качестве примеров возьмем Рд=10, п=7 и п=6 . Тогда
_ 5Да + ЗД7 + Да - (Д5 + ЗД4 + 5Д3) ^
и.
Е Д ц!) i=l
(3.3.14)
(3.3.15)
(3.3.16)
_ 6Да + 4Д7 + 2Дв + 0 •Д5 - (2Д4 + 4Д3 + 6Д2) |
/0 0 1 |
|
ивд(7)----------------------------------- |
е |
■ |
|
ЕДк(з) |
|
Соотношения (3.3.15)-(3.3.17) позволяют установить общую закономерность формирования весовых коэффициентов для сим метричной формы записи алгоритмов ВД: при п четном коэффици енты составляют последовательности положительных и отрица тельных нечётных чисел, а при п нечетном, соответственно, после довательность четных чисел (включая нуль). В ВД с квадратичным детектором в системе обработки закономерности формирования ве
совых коэффициентов сохраняются, но в формулах (3.3.15)- (3.3.17) следует заменить Дк^ на ДЦ^.
При построении дискриминационных характеристик ВД целе сообразно в (3.3.6) перейти от безразмерного текущего времени к к размерному дискретному времени tT=kTT, где Тт - тактовый пери од съёма цифрового сигнала с АЦП. Тогда (3.3.6) преобразуется в
иДх(1)Ы = s W i(t T)S(tTггт). |
(3.3.18) |
Модуль отклика временной свертки Дкщ(Ч) является функци ей двух переменных (дискретного времени t* и номера строба К*). Для заданного числа п стробов, входящих в состав ВД, вычисля ются значения K(i) номеров стробов (3.3.7). Далее выполняется операция свертки п откликов (3.3.18). Геометрический образ каж дого отклика представляет равнобедренный треугольник с основа нием в два размера строба x ^ . Высота треугольника равна UN, где U - уровень входного сигнала, а N - максимальное число ко герентно накопленных отсчетов входного сигнала. Отклики сосед них стробов отстоят друг от друга на величину строба TCTp. Если вычислить разность этих двух откликов, то получим традицион ную для аналоговых ВД ненормированную дискриминационную характеристику. Существенным недостатком такой простейшей ДХ является зависимость её крутизны от уровня принимаемого сигнала. Поэтому последующие расчёты осуществляются по фор муле (3.3.15). Получим безразмерную (относительную) ДХ. Для неё должна быть рассчитана адекватная ей шкала оси абсцисс. По (3.3.9) определяется переходная задержка т0 и составляется абсо лютное рассогласование:
Ат^^-то- |
|
(3.3.19) |
Далее она нормируется к половине длительности строба |
|
|
Т = |
.. |
(3.3.20) |
“0 ,бтстр
При такой шкале оси абсцисс Относительная ДХ будет иметь еди ничную крутизну. Чтобы подчеркнуть это обстоятельство в аргу менте ДХ и отклике будет указываться этот символ, например ивд(та)> ДК(1)(та). Переход к абсолютной (размерной) дискриминаци онной характеристике достигается умножением шкал осей ординат и абсцисс относительной ДХ на Тстр/2.
В качестве примеров на рис. 3.3.4 приведены дискриминаци онные характеристики ВД для линейного (рис. 3.3.4,а) и квадра
тичного (рис. 3.3.4,б) детекторов. На рис. 3.3.4,а цифрами 1, 2 и 3 отмечены ДХ, построенные на 2-х, 4-х и 6-ти стробах, соответст венно. ДХ имеют ярко выраженный линейный участок. Те же цифры 1 , 2 , 3 на рис. 3.3.4,б отмечают ДХ, образованные из 3-х, 5-ти и 7-ми стробов. Здесь можно говорить лишь о квазилинейном участке ДХ.
3 .3 .3 . Ст а т и с ти ч е с к и е х а р а к т е р и с т и к и и о ц е н к а то ч н о с ти
ВРЕМЕННЫХ ДИСКРИМИНАТОРОВ
Полезный входной сигнал дальномера неизбежно сопровожда ется помехами, например, шумом приёмного устройства, что при водит к искажениям дискриминационной характеристики ВД и, в конечном итоге, к погрешностям измерения рассогласования. По лагаем, что помехи в квадратурных каналах приёма являются га уссовскими дискретными шумами с одинаковыми СКО ах. После когерентного накопления в стробах уровень полезного сигнала в пике временной свертки возрастает в N раз и становится равным UN, а СКО шума на выходе системы накопления составит а у = >/NGx. При этом, отношение сигнала/шум q на выходе нако
пителя будет определяется выражением:
q = U N / a y . |
(3.3.21) |
В качестве статистических характеристик временного дискри минатора принимают математическое ожидание искаженной шу мом дискриминационной характеристики, которое для краткости будом называть шумовой дискриминационной характеристикой (ШДХ), и флуктуационную характеристику (ФХ), представляю щую собой зависимость СКО искажений ДХ от рассогласования та. Первая - характеризует систематическую погрешность, а вторая - случайную.
При линейном детекторе процесс на выходе K(i)-ro строба имеет райесовское распределение амплитуд, а при квадратичном детекторе они распределены по закону квадрата огибающей [66]. Введём относительные сигналы на выходе системы обработки, оп ределив их как
и |
З Д к м Ы |
(3.3.22) |
|
ayK(i)
Вдальнейшем будем считать, что СКО шума на выходах раз личных стробов равны, т.е.
^yic(l) |
а ук(2) ••••а ук(п) |
а у |
В варианте построения ВД с линейным детектором математи ческие ожидания m K(i)(Ta) и среднеквадратические отклонения aK(i)(Te) процессов на выходе системы обработки (после вычисления модуля) записываются в следующем виде [38]:
0,25и;
(3.3.23)
|
( |
2 |
\ |
2о% |
I |
+ Uk(1) |
- п 4 (1)(та) . |
У |
1 |
2 |
) |
«• ), Ii(*) - функции Бесселя мнимого аргумента, а та в от носительном сигнале опущен для упрощения записи.
В варианте квадратичного детектора эти же характеристики задаются соотношениями:
( |
,2 Л |
пц.,(д - 2а2у1+ ^ |
, a4l)(t„) = 20^1 + u ^ . (8.8.24) |
На основании приведённых выражений могут быть получены алгоритмы ШДХ и ФХ. При этом возникает проблема, связанная с присутствием в тракте обработки нелинейной операции - вычис ление частного от деления разностного сигнала на суммарный. Универсальной процедурой определения статистических характе ристик нелинейных систем, в которых формируется функция мно гих переменных, является разложение в ряд этой функции, с ос тавлением в последующем первых членов разложения. Подобное решение аналогично вычислению полного дифференциала функ ции многих переменных (2.4.4). Коэффициенты разложения, име нуемые также коэффициентами чувствительности, определяются как
(3.3.26)
УкОГ
Используя (3.3.15) в (3.3.25), находим расчетную формулу для ко эффициентов чувствительности каждого K(i)-ro строба
T4.) = - f ------- |
ГГ- ' |
<3.3.2«) |
Ы
Согласно принятому методу линеаризации формула для шумовой ДХ записывается в виде
(3.3.27)
а выражение для флуктуационной характеристики задается как
<*фх |
(3.3.28) |
где ш^)(та) и ак(1)(Та) вычисляется по (3.3.23) или (3.3.24)
Метод первого приближения вполне корректен, т.к. здесь не линейная система заменяется её линейным эквивалентом. При этом, естественно, утрачиваются некоторые специфические осо бенности нелинейной системы. Хорошее совпадение с характери стиками реальной системы наступает лишь при достаточно боль шом отношении сигнал/шум. Был выполнен большой объём мате матического моделирования с целью поиска других приближен
и е
ных методов исследования, менее строгих, чем метод линеариза ции, но обеспечивающих хорошее совпадение характеристик при меньших отношениях сигнал/шум. Проверка допустимости при менения таких способов формирования ШДХ и ФХ состояла в со поставлении данных, полученных с использованием этих методов, с результатами статистических испытаний реальной программы ВД (метод Монте-Карло). Оказалось, что при формировании шумо вой ДХ, хорошее совпадение дает вычисление ШДХ по формуле (3.3.15), в которой модули ДкфСО откликов временной свертки заменены их математическими ожиданиями т кф(та). Для флуктуационной характеристики наилучшие результаты были получе ны при вычислениях по модифицированной формуле (3.3.28). Из менения здесь свелись к той же замене Д^^ на при определе нии коэффициентов чувствительности (3.3.26).
В качестве окончательного варианта формул для вычисления статистических характеристик ВД при учёте шумовых воздейст вий на входе системы обработки приняты:
для шумовой ДХ, характеризующей математическое ожидание
(МО) процессов на выходе системы обработки, |
|
|
X (2 i - ( n |
+ l))m K(|j(^) |
|
= И ------; ---------------------- ; |
(3.8.29) |
|
m K(i)(Ta) |
|
|
i=l |
' |
|
для расчёта коэффициентов чувствительности из (3.3.26) имеем
2 Е |
М К 0)(та) |
|
Ук(1)Ы = - ^ |
--------------- Г 5 - ; |
(3 -3 -30) |
для получения флуктуационной характеристики ВД, опреде ляющей СКО процессов на выходе системы обработки,
°фхЫ = ^ £ ? к(ф аК ф а )- |
(3.3.31) |
В качестве примера на рис. 3.3.5 и 3.3.6 приведены графики шумовых ДХ, рассчитанных по (3.3.29), для линейной (рис. 3.3.5) и квадратичной (рис. 3.3.6) систем обработки при различном ко личестве наборов стробов. Графики на рисунках построены в отно сительных величинах по обеим осям (при переходе к абсолютным
187
отсчётам показания шкал по обеим координатам необходимо ум ножить на ^стр/2 )»
В обоих вариантах использовались одинаковые наборы стробов п=2 и п=4. Кривые 1 на обеих шумовых ДХ соответствуют случаю отсутствия шумов при п=4. Для всех других зависимостей уста навливалось отношение сигнал/шум q^B= 2 0 дБ. Как следует из графиков, действие шума приводит к деформациям дискримина ционных характеристик, которые сводятся к уменьшению крутиз ны ДХ на её линейном участке и сокращению размера этого уча стка. Снижение крутизны ДХ означает уменьшение коэффициента передачи ВД.
Флуктуационные характеристики афХ(та), рассчитанные по (3.3.31) для линейной (рис. 3.3.7) и квадратичной (рис. 3.3.8) систем обработок, имеют уплощение в области линейного участка ДХ. Вне этой области СКО резко возрастает.
Статистические характеристики временного дискриминатора дают достаточно полное представление об особенностях его функ ционирования в условиях шума. Однако часто, при анализе и син тезе следящих систем, содержащих ВД, достаточно знать случай ную составляющую и её зависимость от отношения сигнал/шум. Количественной мерой случайной погрешности ВД может служить СКО авд, которое находится как значение флуктуационной харак теристики при нулевой расстройке, т.е. авд=сТфх(0).
Во ВД с линейным детектором для определения авд использу ются формулы (3.3.23), (3.3.30), (3.3.31), в которых аргумент та заменятся нулем. Получить удобные для использования и нагляд ные соотношения, определяющие авд при произвольной величине отношения сигнал/шум qflB, не удается. Такие соотношения най
дены лишь для двух предельных значений |
- большом и малом, |
когда формулы представляются в виде |
|
т «(1) Ы ж т а * i + |
1 |
а к{1)(та) * «•У9 (3.3.32) |
|
|
U |
при %(i)(Ta)>3;
(3.3.33)
при UK(i)(xa)<l.
Используя (3.3.21), можно показать, что формулы (3.3.32) справедливы при ддв>15 дБ, а соотношения (3.3.33) - при q^^O.
Процедура вывода формул, определяющих овд, сводится к применению соотношений (З.З.ЗО)-(З.З.ЗЗ), при та=0 для нарас тающих значений числа п и последующему выявлению законо мерностей связи ОвдСПи q. При этом, по формулам (3.3.32) опре деляется вклад в формирование с вд главных ординат отклика вре менной свертки вблизи тав 0 , а формулы (3.3.33) характеризуют в основном шумовые составляющие при та= 0 от смежных откликов.
По аналогичной методике вычисляются и значения авд для систем обработки с квадратичным детектором. Однако, здесь за основу необходимо применять формулы (3.3.24), которые справед ливы для любого значения длц.
Формулы, для вычисления величины СКО авд процесса на вы ходе ВД при обработке сигналов линейным и квадратичным детек торами представлены в табл. 3.3.1.
Таблица 3.3.1.