книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]

Здесь fjj (i = l,n, j = l,n) - элементы матрицы F; E - единичная матрица; - собственные значения матрицы F, которые в общем случае представляются комплексными числами. Раскрыв по из­ вестным правилам определитель (2 .2 .2 ), можно получить характе­ ристическое уравнение n-ой степени относительно А*:

фМ =defF-XjE] =4*? +f1A.r1+f2xr2+...+VA+4 =

(2.2.3)

где f0...fn формируется на основании коэффициентов матрицы F. По уравнению (2.2.3) либо непосредственно вычисляют корни 7^ численными методами, либо проводят анализ, используя извест­ ные критерии устойчивости [60, 64].

При анализе систем небольшой размерности широко использу­ ется критерий Рауса-Гурвица. В соответствии с этим критерием из коэффициентов fj уравнения (2.2.3) составляется матрица, по оп­ ределителю

которой и анализируется устойчивость. Определитель (2.2.4) стро­ ится по следующему правилу. На главной диагонали сверху вниз размещаются все коэффициенты (2.2.3) в порядке возрастания но­ мера индекса, начиная с f*. Все столбцы относительно диагональ­ ных членов заполняют вверх коэффициентами fj в порядке возрас­ тания их номера, а вниз - в порядке убывания. На местах коэф­ фициентов с номерами i>n и i< 0 проставляются нули.

Для обеспечения устойчивости динамической системы (2.2.1) необходимо и достаточно, чтобы все определители диагональных

миноров низшего порядка, очерченных в (2.2.4) штриховыми ли­ ниями, имели знаки, одинаковые с f0. Сказанное означает, что при fo> 0 должны выполняться неравенства

ад 2 =

итак далее.

Дискретная система управления (1.4.17) считается устойчивой тогда, когда для любого момента дискретизации корни характери­ стического уравнения

(2 .2 .6)

где Zj - аргументы Z-преобразований, лежат внутри круга с еди­ ничным радиусом.

Если исследуемые системы нестационарны, то в зависимо­ сти от характера изменения их параметров выходные сигналы мо­ гут изменяться неограниченно долго даже при постоянных вход­ ных воздействиях. Это объясняется тем, что параметрические це­ пи в отличие от линейных с постоянными параметрами обладают способностью «размножать» спектр входных воздействий. Появле­ ние в выходных сигналах новых гармоник, не содержащихся в спектре входных воздействий, и обусловливает неустановивпшйся характер выходных сигналов. Поэтому использование признаков асимптотической устойчивости для анализа нестационарных сис­ тем в общем случае теряет смысл. Существующие точные методы исследования устойчивости нестационарных систем довольно сложны [64]. Поэтому на практике пользуются приближенными методами.

Наиболее распространен метод «замороженных» коэффициен­ тов [64], который применяется тогда, когда время работы системы ограничено, а ее изменяющиеся параметры дифференцируемые функции времени. Суть метода состоит в том, что весь временной интервал [0 ,tjJ работы системы разбивается на отдельные проме­ жутки At, в пределах которых параметры системы можно при­ ближенно считать постоянными. Затем для каждого из временных интервалов At используется любой из известных критериев устой­ чивости. Если условия устойчивости соблюдаются для всех выде­ ленных промежутков At, то нестационарная система управления считается устойчивой на всем рабочем интервале [0,Щ. Следует подчеркнуть, что полученные при этом результаты не вполне дос­

- динамическая матрица собственной фазовой траектории, а Кфг - внешнее воздействие. Подставляя (2 .2 .8) в (2.2.2), получаем

(2.2.9)

Для обеспечения устойчивости процесса фильтрации (2.2.7) необходимо и достаточно, чтобы для любого момента времени кор­ ни уравнения (2.2.9) имели отрицательные вещественные части. При соблюдении условия наблюдаемости (1.9.23) фильтр Калмана будет асимптотически устойчив [56, 68]. В таких условиях фильтр теоретически обеспечивает получение сходящейся оценки х , для

ошибок фильтрации от их наибольших первоначальных значений D|i(0) до наименьших в установившемся режиме. Однако практика свидетельствует о том, что в фильтрах Калмана, для которых тео­ ретически выполняется условие наблюдаемости, может иметь ме­ сто явление расходимости. Под расходимостью понимается значи­ тельное превышение реальными дисперсиями ошибок фильтрации того их уровня Dii, который был предсказан теоретически соотно­ шениями (1.4.5).

Основными причинами расходимости являются: неточности исходных моделей (1.9.8) и (1.9.11), используемых при синтезе фильтров; отсутствие точной априорной информации о законах распределения и спектральных плотностях возмущений, сопрово­ ждающих оцениваемые процессы и наблюдения; отсутствие точ­ ной информации об априорной статистике х(0) и D(0) начальных условий, используемых при реализации алгоритмов оценивания; ошибки вычислителей, которые определяют коэффициенты Кф (1.4.4), (1.4.5) и реализуют сам процесс фильтрации.

На примере аналогового линейного оптимального фильтра проанализируем особенности функционирования, которые непо­ средственно влияют на его устойчивость и могут привести к рас­ ходимости формируемых оценок. При этом будем полагать, что имеют место все перечисленные причины, способствующие появ­ лению расходимости. Следует отметить, что полученные при этом выводы имеют смысл и для дискретных фильтров.

Упомянутые особенности функционирования обусловлены: на­ личием ООС только по наблюдаемым фазовым координатам; зави­ симостью корректирующего влияния невязки z - Н х на оценку х от точности фильтрации; усилительными свойствами и точностью устройств, формирующих наблюдаемый процесс; формой прини­ маемых радиосигналов; размерностью фильтра и продолжительно­ стью его работы. Первая особенность предопределяет тенденцию

полученная на основе использования (2.2.12) в (1.4.3), приведена на рис. 2.2.1. Прове-

рим устойчивость фильтра, используя условие(2.2.9) с учетом того,

Принимая во внимание начальные условия D2i(0 )=0 и DS1(0)=0, на основании (2.2.14) можно утверждать, что, несмотря на выпол­ нение условия наблюдаемости (2.2.13), синтезируемый фильтр может быть неустойчивым, если в начальные моменты времени в результате ошибок вычислителей вместо D2x(t) > 0 и D31 (t)>0 бу­ дут иметь место значения D2i(t)< 0 и D31(t)<0 . Изменение знака D2I и D31 в первую очередь приведет к ошибкам оценивания jp и Vp. Отсутствие ООС по этим координатам (см. рис. 2.2.1) может сопровождаться существенными ошибками оценивания дальности за счет смены знака корректирующих сигналов, поступающих на сумматоры. В результате увеличится невязка гд-Д, ошибки оцени­ вания ускорения и скорости и т.д. Очевидно, что тенденцию фильтра к расходимости можно ослабить, увеличив число наблю­ даемых координат. Такой прием, приводя к увеличению числа об­ ратных связей, улучшает компенсацию погрешностей работы

фильтра, в том числе и обусловленных неточностью функциониро­ вания вычислителей.

Вторая особенность связана с тем, что в фильтре Калмана, об­ ладающем наивысшей теоретической точностью в установившемся режиме (наименьшими дисперсиями ошибок фильтрации), осуще­ ствляется наименее действенная коррекция результатов прогноза Fx+Bu обновляющим процессом z-Hx. Это обусловлено тем, что в установившемся режиме коэффициенты матрицы Кф принимают свои наименьшие значения. Бели во время работы фильтра ошиб­ ки прогноза Fx+Bu, которые накапливаются в процессе интегри­ рования, начнут превышать поправки, вносимые невязкой, то ре­ альные ошибки фильтрации будут увеличиваться. Следовательно, фильтр может расходиться. Рассмотренная особенность проявляет­ ся в наибольшей мере тогда, когда в процессе синтеза не учиты­ ваются шумы в уравнениях состояния. Если Gx=0 , то при t-*x> коэффициенты матрицы D (а соответственно и Кф) стремятся к нулю, и фильтр вообще перестает реагировать на поправки обнов­ ляющего процесса. В структурном плане это адекватно размыка­ нию цепей ООС по наблюдаемым координатам. Данное утвержде­ ние может быть проиллюстрировано на примере уравнения (2.2.14) при Dn (oo)=0.

Из проведенного анализа следует, что тенденция фильтра к расходимости наиболее сильна при малых значениях коэффициен­ тов tyj матрицы D (1.4.5). По времени это соответствует начально­ му этапу работы и функционированию в установившемся режиме. Наличие ошибок вычислителей при достаточно малых значениях коэффициентов матрицы D может привести к потере ее неотрица­ тельной определенности. В структурном плане это соответствует замене ООС на положительные, что и предопределяет возможность формирования расходящихся оценок. Необходимо отметить, что ошибки вычислителей особенно сильно сказываются при достаточ­ но больших шагах интегрирования (интервалах дискретизации), сравнимых с постоянными времени процесса оценивания (2.2.7).

Еще одним последствием неточностей вычислителей, которое может привести к усилению расходимости, является нарушение симметрии матрицы D в процессе вычисления ее коэффициентов.

Состав, усилительные свойства и точность устройств наблюде­ ния также существенно влияют на устойчивость фильтров Калма­ на. Неудачно подобранный состав измерителей (1.4.2), при кото­ ром не выполняется условие наблюдаемости (1.9.23), приводит к расходимости фильтра. Для иллюстрации этого утверждения рас­ смотрим еще раз пример (2 .2 .1 0 ) синтеза фильтра при условии,

что вместо дальности доплеровским измерителем наблюдается ско­ рость

Учитывая (2.2.10) и (2.2.16), найдем матрицу (1.9.23) наблю­ даемости

0 0 0

0 1 0

ранг которой меньше размерности вектора состояния (2.2.10). По­ лученный результат свидетельствует о том, что по наблюдению (2.2.15) нельзя получить оценки всех компонент процесса (2.2.10).

При использовании (2.2.10) и (2.2.16) матрица коэффициентов Еф (1.4.4) вырождается в вектор столбец

*4>v = [D12 / GVB D2 2 / GVH D3 2 / G VH]T>

а характеристический полином, вытекающий из (2.2.9), имеет вид

Наличие нулевого корня в (2.2.17) свидетельствует об отсутствии устойчивости синтезированного фильтра.

О влиянии усилительных свойств (Н) и точности устройств на­ блюдения (GH) на расходимость линейных оптимальных фильтров можно судить непосредственно по формулам (1.4.3) и (1.4.4). Из них следует, что увеличение коэффициентов матрицы Н и умень­ шение коэффициентов матрицы GHвызывают рост коэффициентов матрицы Кф, а соответственно, и корректирующего влияния не­ вязки на результаты прогноза Fx+Bu. Усиление коррекции позво­ ляет в большей степени компенсировать неточности моделей, ап­ риорной статистики и используемых вычислителей.

Если наблюдаемый процесс - радиосигнал s(t), то значения элементов матрицы Н будут определяться производной ds(x(t), t] / dx(t) (1.5.2). Тогда при прочих равных условиях кор­ ректирующее влияние обновляющего процесса будет возрастать

при уменьшении протяженности сигнала по оцениваемым коорди­ натам. Кроме того, при этом повышается точность наблюдения сигнала [68]. Данное обстоятельство также приводит к снижению склонности фильтра к расходимости. Однако уменьшение протя­ женности сигнала по оцениваемому параметру приводит к умень­ шению ширины [-AXjmax, Aximax] линейного участка дискримина­ ционных характеристик в следящих радиоэлектронных системах. Это обстоятельство усиливает вероятность потери устойчивости ДС из-за срыва сопровождения цели вследствие выхода рабочей точки за пределы линейного участка дискриминационной характеристи­ ки.

Рассмотренная первоначальная расходимость, обусловленная ошибками формирования взаимных дисперсий, обычно проявляет­ ся лишь у фильтров высокой размерности с малым числом наблю­ даемых сигналов при наличии большой неопределенности априор­ ной статистики. На практике чаще приходится сталкиваться с расходимостью фильтров Калмана в установившемся режиме рабо­ ты, особенно при высокой размерности модели состояния с низким уровнем формирующих возмущений £х.

В заключение отметим, что все рассмотренные причины рас­ ходимости имеют смысл и для нелинейных оптимальных фильт­ ров, которые по сравнению с линейными обладают еще более вы­ сокой склонностью к расходимости, обусловленной, в частности, их способностью к самовозбуждению.

2.2.3.П ре д о тв р а щ е н и е ра с х о д и м о с т и ф и л ьтро в

Вобщем случае для уменьшения склонности оптимальных (квазиоптимальных) фильтров к расходимости необходимо повы­ шать точность используемых моделей и вычислителей, априорной статистики возмущений и начальных условий, увеличивать число наблюдаемых координат и уменьшать время работы.

Особенностью радиоэлектронных измерителей является их функционирование при высокой неопределенности априорных све­ дений о начальных условиях алгоритмов фильтрации (1.4.3)-

(1.4.5) или (1.4.19)-(1.4.23), имеющих место в момент обнаруже­ ния (первого наблюдения) сигналов. В простейшем случае х?(0) и

Вд(0) выбираются по правилам, определяемым соотношениями (1.4.9) и (1.4.10). Необходимо отметить, что выбор начальных ус­ ловий по этим формулам может привести к несоответствию на­ чальных значений функционально связанных переменных. Это