книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]
.pdfгде £(•) - r-мерная вектор-функция, дифференцируемая п раз. Управление и необходимо определить в виде функции коорди
нат состояния системы (1.13.18) и координат желаемоЗ траекто рии.
Решение этоё задачи будем определять из условия, что gfox,,) стремится к нулю по некоторому закону. Причем, этот закон из менения g(*) может быть задан любым дифференциальным опера тором.
Рассмотрим случай, когда система (1.13.18) может быть зада на в виде системы линейных уравнений
x(t) = Fx(t) + bu(t) + ®(t)e |
(1.13.20) |
где Fe||fjj|| - квадратная матрица размерности nxn с |
известными |
элементами; b - вектор-столбец, определяющий весовые коэффи циенты, с которыми управление входит в каждое уравнение сис темы; u(t) - скалярное управляющее воздействие.
Внешнее возмущение Ф(Ь) является заданной функцией вре мени, причем все его компоненты контролируемы.
Заметим, что число управляемых координат вектора x^t) в ус тановившемся режиме, а, следовательно, и размерность вектора g(x,xT) определяется размерностью вектора управления. Тогда без ограничения общности можно считать, что система (1.13.20) экви валентна по дифференциальному уравнению
*in)(t) + "iV i® |
= £ biU(i)(t)+ |
£qk(t), |
(1.13.21) |
j=0 |
i=0 |
k=0 |
|
где xi(t) - выходная координата системы (1.13.20); qt(t) - возму щение, обусловленное действием сигнала <J>k(t) на соответствую щий вход системы (1.13.20).
Введенные |
новые |
функции ^(t), k = 1, п также являются |
функциями времени и определяются по формуле |
||
р* |
/я |
— |
QkW = 1Узфк ♦ |
к =1,п. |
|
j=0 |
|
|
Здесь приняты следующие обозначения: - порядок числи теля передаточной функции для сигнала O^(t); yj - коэффициенты числителя соответствующей передаточной функции.
Для определенности полагаем, что функция F(«) имеет вид
g(x,xr)=xi(t)-xTl(t). (1.13.22)
Тогда с учетом требования аналитической связи закон измене ния g&Xr) выбираем в виде линейного однородного дифференци ального уравнения n-го порядка
g^x^x,) + Xn_1g(n' 1)(x1 xT)+...+^.0g(x1 xT) = 0, (1.13.23)
в котором Xj, j = l , n - l - любые положительные числа, обеспечи
вающие устойчивость решения (1.13.23).
Подставляя (1.13.22) в (1.13.23) получаем дифференциальное уравнение r-го порядка относительно u(t)
bmu(r)(t) + bm_1u(r_1)(t) +... + b0u(t) = z(t), |
(1.13.24) |
||
где z(t)= £ « jXi'O) - £ |
, xT) + x^n) - £ qt(t). |
|
|
|
|
i=0 |
|
Уравнение (1.13.24) решается при нулевых начальных усло |
|||
виях, т.е. u'(O)H), и"(0)=0, |
и^г 1)(0)=0, а значение |
и(0) равно |
|
текущему значению и(-0).
Запишем уравнение (1.13.24) в форме Коши, тогда искомое управление определяется решением уравнения
(1.13.25)
Здесь: В - числовая матрица Фробениуса размерности (гхг); RT=[0 0 ... Ь“х] - матрица-строка; й - вектор,
мого управления и его производных.
Начальные условия системы (1.13.26) определяются соответст вующими начальными условиями уравнения (1.13.24). Решение (1.13.25) будет определять искомое управление u(t). Заметим, что (1.13.25) решается одновременно с (1.13.21).
Наибольший интерес представляет случай, когда в уравнении (1.13.21) компоненты вектора В, за исключением последнего, рав ны нулю. Тогда управление, удовлетворяющее (1.13.23), определя ется выражением
в котором принято, что ^ = 1 .
Рассмотрим более подробно особенности управляемого процсс са в случае, если управление определяется уравнением (1.13.24)
или (1.13.26). Пусть параметры системы (1.13.21) otj, j = l , n - l и
bj, i = X г известны точно, тогда уравнение управляемого процесса имеет вид
x[n)(t) + X |
= XQK7+X А,,х£. |
(1.13.27) |
j=0 |
j=0 |
|
Из (1.13.26) следует, что вне зависимости от свойств исходной системы свойства управляемого процесса однозначно определяются коэффициентами Х}. Обычно в качестве желаемой траектории рас сматривают перевод системы из состояния х(0)=хо в начало коор динат. В этом случае уравнение управляемого процесса (1.13.27) преобразуется в линейное однородное дифференциальное уравне ние с постоянными коэффициентами. В зависимости от корней ха рактеристического уравнения решение x(t) может иметь два ос новных вида. Для определенности в (1.13.27) положим п=2 , тогда, при >.0*0,25 выходная координата имеет закон изменения
Xl(t) = cxePlt + с2ер»\ |
(1.13.28) |
В противном случае имеем
x1(t) = c3ept + c4ept, |
(1.13.29) |
где коэффициенты с1? ..., сп определяются начальными условиями исходной системы.
Заметим, что если Pi и Рг в (1.13.28) комплексно сопряженные корни вида: p1=a-id; P2=a+id, то решение (1.13.28) может быть записано как
Xj(t) = eat(c! cosdt + c2 sindt), |
(1.13.30) |
Из (1.13.28H1-13.30) следует, что управление вида (1.13.25) или (1.13.26) не обеспечивают выполнения условия (1.13.19) и со ответствует условию
limg(x,xT) = 0. |
(1.13.31) |
t—>00
Для широкого класса прикладных задач условие (1.13.31) яв ляется допустимым. Если условие (1.13.31) неприемлемо, то необ ходимо менять закон формирования g(x,x,,) (1.13.23). В общем случае этот закон может быть описан любым нелинейным диффе ренциальным уравнением. Однако в такой ситуации возникает
проблема обеспечения его устойчивости при различных начальных условиях.
Выше была рассмотрена задача синтеза управления для одно мерных объектов. На практике существует широкий класс задач, когда управление u(t) представляет собой векторную функцию. В этом случае соотношение между компонентами вектора состояния, которые могут выполняться вдоль траектории систем (1.13.27), определяются векторозначной функцией g(x,Xr). Причем размер ность вектора g(x,xT) соответствует размерности u(t).
Пусть u(t)=[ui(t),...,ur(t)]T, тогда матрица b в (1.13.20) будет иметь размерность (пхг). Кроме того, считаем, что управляемые координаты и соответствующие управляющие функции связаны Z-мерными дифференциальными уравнениями.
Предположим, что аналитическое представление управления в виде функции u(t) для системы (1.13.20) определяется решением /-мерного дифференциального уравнения
F(i)(x,Уж) + ^i-iF('_1)(x,уж)+...+XQF(x,уж) = 0. (1.13.32)
где F(x,y*) - r-мерный вектор вида
Г(х,УжИ(хп1-Уж1) (Хп2*Уж2) |
(Хпг-Ужг)]» |
j = ОД-1 - любые устойчивые матрицы; хп1, х„2, Хщ. - регули руемые координаты системы (1.13.20).
Запишем уравнение (1.13.32) с учетом (1.13.20). Преобразуя его относительно u(t), получим следующее дифференциальное уравнение
F?Du(M) +[X FXTAD+ Xi 1FxD p -2)+...4(xi^A (i“1)D+...+XiF3)]u =
=- A®*tb•~M?Ax(t)+[Х/У®+..,+^y® - A*y®F]- i<lP(t),
(1.13.33)
где F* - транспонированная матрица частных производных, эле-
менты которой определяются в виде |
S®j(*.y |
— |
йх» |
j = l,r , i = l,n . |
|
|
|
В (1.13.33) принято, что матрица является единичной. От метим одну характерную особенность уравнения (1.13.33). Поря док этого уравнения зависит от вида матрицы D, если она имеет хотя бы один столбец, у которого все элементы равны нулю за ис ключением одного элемента, то система (1.13.33) представляет со-
104
бой совокупность как алгебраических, так и дифференциальных уравнений. В частных случаях уравнение (1.13.33) может быть только алгебраическим или дифференциальным.
Для управляемой системы обычно матрица D имеет свой пол ный ранг, а, следовательно, существует и матрица [DT D ]1. Систе мы у которых столбцы матрицы D линейно зависимы, в дальней шем не рассматриваются, так как эта система эквивалентна дру гой системе, у которой размерность матрицы D меньше, например, на единицу. Это обусловлено заменой uj и и, на новое управление uH=Uj+Uj В этом случае новая матрица [DT D] 1 существует. Так как матрица [DT D]'1 существует, то уравнение (1.13.33) можно представить в нормализованном виде
u(M)(t)+М"11 £ taF£A(lH)Dii(/~K'1)=
K=lj=0
=-М"1 |
j=o |
-М "Х1 Ф ^ ) , |
(1.13.34) |
U=o |
j=0 |
|
где матрица М = DTFXFXD .
Заметим, что для выбранного вида функции F(x,y«) матрицы
Fx, Fx являются единичными, а производные dKF/dxK, к = 2, Z
равны нулю.
Приведём уравнение (1.13.34) к виду, удобному для интегри
рования |
|
dn(t) / dt = Bu(t) + Rz(t), |
(1.13.36) |
где u(t) - вектор размерности rx(Z-l), первые г координат которого соответствуют искомому управлению; В - матрица Фробениуса размерности [rx(Z-l)]x[rx(Z-l)J, элементы которой представляют со бой матрицы, составленные из матриц уравнения (1.13.34); R - матрица размерности [rx(Z-l)]xr, причем последняя подматрица размерности гхг является единичной; z(t) - вектор-столбец, рав ный правой части уравнения (1.13.34).
Характер управляемого процесса при условии, что u(t) опре деляется решением (1.13.35), зависит от вида дифференциального уравнения (1.13.32). Если это уравнение является линейным, то и математическая модель замкнутой системы управления также описывается линейным дифференциальным уравнением.
-l
5Q
u(W) + a;_2u(i 2)+ ...+ a xu = - ldxxl~lmdx
Представим векторное уравнение (1.13.37) в виде системы Копта размерности I
u(t) = Bu(t) + Rz(t), |
(1.13.38) |
где В - числовая матрица, записанная в форме матрицы Фробениуса, причем ненулевые элементы последних г строк составлены
из матриц otj, ] = 1,1-1; R - матрица; z(t) - правая часть исходного
уравнения, u(t) - m-мерный вектор, первые г компонент которого и определяют искомое управление.
Таким образом, если начальное управление u(to) выбрано так, что Q[x(to),u(to),...,u^1Hto)]“ 0, то решение u(t) уравнения (1.13.38) удовлетворяет в каждый момент времени уравнению (1.13.32). Естественно, что описанные способы вычисления управ ления u(t) обеспечивают выполнения условия (1.13.32), то есть каждая управляемая координата удовлетворяет
Um(xj -y»d) = °> j = ni>nr. i = l,r.
Заметим, что для некоторого класса задач функцию F(x,y3K) можно выбрать так, что аналитическая связь между регулируемой координатой и управлением обеспечивается уже при решении уравнения
Г(х» Уж) + ^о^(х*Уж)= 0•
Тогда уравнение (1.13.38) запишется в виде
u(t) = -
дп Эи
В заключение отметим, что управление u(t), синтезированное согласно предложенному методу, является функцией ^j, j = 1 , 1 - 1 . Кроме того, и для нелинейной системы математическая модель управляемого процесса также определяется уравнением вида (1.13.32), т. е. уравнением желаемого процесса.
ликвидации любого начального рассогласования определяется ре шением дифференциального уравнения
x(t) = Fxx(t), |
x(t0)=x0. |
(1.13.42) |
Здесь Fx имеет структуру матрицы Фробениуса, последняя строка (или строки) которой составлена из соответствующих элементов матриц kj. Уравнение (1.13.42) справедливо при условии, что УЖ=С0П81.
Не нарушая общности рассуждений, рассмотрим систему, у которой u(t) - скалярная величина. Тогда выходная (регулируе мая) величина может быть представлена в виде
Xi(t) = 2 1 c1ti"1ek|t + с0, |
(1.13.43) |
j=ii=i |
|
где Ц - величина кратности j-ro корня; kj, |
j = 1,Р - различные |
корни характеристического уравнения. |
|
Заметим, что в формуле (1.13.43) величина Ц удовлетворяет |
|
Р |
____ |
условию £ Zj = п. Постоянные коэффициенты cj, i = 1,п опреде- |
|
j=i
ляются стандартным способом и зависят от начальных условий. В общем случае коэффициенты q и kj является функциями аргумен тов Aj, j = 0, п - 1 . На этом первый этап синтеза заканчивается.
Второй этап синтеза управления связан с поиском коэффици
ентов j = 0, n —1 . В общем случае подынтегральную функцию
L(x,u) в (1.13.40) можно представить в виде суммы двух слагае мых
L(x,u)=Li(x,u)+L2(u), |
(1Л3.44) |
где Li(x,u) и L2(u) - положительно-полуопределенные функции. Обычно функция Li является функцией только аргумента х. Из уравнения (1.13.26) с учетом (1.13.33) следует, что управляющая функция u(t) представляет собой совокупность слагаемых вида Yjtrjeaj , j=0,l,2... Это значит, что интегральный функционал
качества (1.13.40) с подынтегральной функцией (1.13.44) может быть представлен в виде
I(k)=(pft), |
(1.13.46) |
где <p(k) - положительно-полуопределенная функция аргументов kj, j = 0 ,n - l. Кроме того, cp(k) - непрерывная и дифференциаль-
ная функция своих аргументов. Тогда, учитывая свойства функ ции ф(?с), процедуру поиска минимума 1(Х,), а следовательно, и u(t) можно свести к решению системы нелинейных уравнений вида
(1.13.46)
Заметим, что размерность системы (1.13.46) определяется по рядком дифференциального уравнения (1.13.41), определяющего желаемый управляемый процесс.
Рассмотрим управление u(t), синтезированное одним из клас сических методов, например, методом динамического программи рования при условии, что правая часть f(x,u) системы (1.13.39) представима в виде
f(x,u)=Fx(t)4-Bu(t).
Здесь также полагаем, что u(t) - скалярная функция. Кроме того, полагаем, что u(t) должно обеспечивать минимум функцио налу качества (1.13.40) с подынтегральной функцией (1.13.44). Согласно [71] имеем
u(t)=-K1BTP(t)x(t), |
(1.13.47) |
где L1(x)=xT(t)Fx(t); L2(u)=uTKu(t), a P(t) находится из формулы
P(t) = -FTP- PF - А + РВК_1ВТР, P(tk)=0.
Подставляя (1.13.47) в управления системы и полагая P(t)=const, имеем
х(t)=(F+AF)x(t),
где матрица AF определяется из уравнения (1.13.47).
Из сравнения уравнений замкнутых систем с управлениями синтезированными различными способами, следует, что они обла дают одним и тем же свойством, а именно: траектории движения этих систем обеспечивают min I(x,u).
Покажем справедливость этого утверждения на конкретном примере для линейного объекта и квадратичного функционала ка чества. Пусть
где x(t) и u(t) - скалярные функции.
Требуется найти u(t) из условия минимума функционала
n o