книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]

общеё размерности вектора х, позволяет сократить число уравне­ ний (1.4.8), для вычисления матриц дисперсий Dj ошибок оцени­ вания подвекторов Xj. Если в состав исходного вектора состояния входят группы функционально независимых координат, то осуще­ ствлять декомпозицию нетрудно. Для расщепления исходного фильтра большой размерности на несколько фильтров меньшей размерности при функционально связанных координатах требует­ ся достаточный опыт и, в конечном счете, перебор вариантов де­ композиции методом проб и ошибок.

Как было отмечено в п. 2.2.2, состав наблюдаемых координат, определяя в синтезируемом фильтре число ООС, характеризует его склонность к расходимости. Минимальное число наблюдаемых па­ раметров, необходимых для формирования оценок всех фазовых координат, можно определить по критерию наблюдаемости (1.9.23).

В общем случае расходимость процессов (1.4.3) и (1.4.19) можно устранять путём изменения корректирующего влияния не­ вязки (1.4.7) либо путём изменения прогноза (1.4.6), (1.4.20). В первом случае большинство методов устранения расходимости ос­ нованы на различных способах коррекции в (1.4.3) коэффициентов матрицы Кф (1.4.4). В общем плане эти способы можно подразде­ лить на эвристические (программные), полуавтоматические и ав­ томатические. К эвристическим относятся приемы изменения ко­ эффициентов матрицы Кф без использования информации о теку­ щем состоянии фильтра. Это прежде всего:

ограничение снизу коэффициентов матрицы Кф на уровне Кфутш при котором корректирующие сигналы невязки заведомо превышают уровень ошибок прогноза Fx+Bu состояния системы (рис. 2 .2 .2 ,а);

периодическое прекращение процесса уменьшения кф^ и воз­ вращение к исходным значениям кфу(0) спустя время Тв (рис. 2.2.2,б);

коррекция Кфц(О) за счет использования ненулевых начальных значений Djj(O) матрицы D(0) (1.4.6).

Следует отметить, что первые два способа используются для устранения расходимости фильтров в установившемся режиме, связанной со снижением корректирующего влияния обновляющего процесса. Последний эффективен только в начальные моменты ра­ боты фильтра.

При отсутствии сведений о неточностях выбранных моделей (1.4.1), (1.4.17) и ошибках вычислителей уровень ограничения Кфушш и период Тв возобновления первоначального закона измене­ ния коэффициентов кфу зависят от опыта и интуиции исследова­ теля. Если известна информация о погрешностях вычислителей в виде спектральных плотностей (дисперсий) ошибок вычислений, то матрица спектральных и взаимных спектральных плотностей этих ошибок включаются в состав уравнений (1.4.5), (1.4.22) в ви* де дополнительного слагаемого. За счет этого увеличиваются зна* чения Кфу в установившемся режиме, а соответственно, и вес кор* рекции обновляющего процесса. Достаточно эффективным приё' мом, позволяющим устранить расходимость фильтров в начальные моменты их функционирования, является использование ненуле' вых начальных значений Бу(0)?Ю взаимных дисперсий матриц Р (1.4.5), (1.4.22). Конкретные значения D^O) выбирают, исходя и$ выполнения соотношений (2.2.5). Так, в примере, для которой исходные модели имеют вид (2 .2 .1 0 ) и (2 .2 .1 1 ), первоначальна^ расходимость устраняется при выполнении условий D31(0)>0* D2i(0)>D3i(0)Gfl/Dn(0), полученных путем использования Крите* рия Рауса-Гурвица для характеристического полинома (2.2.14)* Следует также обратить внимание на то обстоятельство, что введе* ние ненулевых начальных взаимных дисперсий может быть ис' пользовано для управления временем переходных процессе0 фильтра.

Устранение расходимости процессов фильтрации путём коР' рекции прогноза (1.4.6), (1.4.20) может выполняться двумя спос^' бами. Один из них базируется на соответствующей коррекции к0' эффициентов матриц F и Ф на основе оценивания их элементов тем или иным алгоритмам идентификации [42, 45]. При вторем способе коррекция прогноза осуществляется путём формирован^* аддитивных добавок по экстраполируемым фазовым координата^*

Необходимо подчеркнуть, что все рассмотренные способы пре­ дотвращения расходимости одновременно ухудшают точность оце­ нивания по сравнению с теоретически расчетными значениями матрицы D. Поэтому все эти методы целесообразно использовать лишь тогда, когда фильтр действительно начинает расходиться. Задача получения информации о текущем состоянии процессов сходимости решается полуавтоматическими и автоматическими методами, которые отличает наличие критерия, применяемого для констатации факта расходимости.

Определение моментов начала расходимости и формирование предотвращающих её поправок может осуществляться различны­ ми способами, которые отличаются различной степенью сложности и точностью полученных нерасходящихся оценок. Некоторые наи­ более эффективные из этих способов будут рассмотрены ниже.

2.2.4. У с тр а н е н и е ра с х о д и м о с т и п ро ц е с с а ф и л ь тр а ц и и п у тё м и зм е н е н и я к о р ре к т и р у ю щ е го в л и я н и я н е в я зк и

Общее решение задачи устранения расходимости процессов фильтрации путём регулировки в (1.4.19) коэффициентов усиле­ ния Кф невязки даётся теорией адаптивной фильтрации (см. п. 1.7.6), конкретные приложения которой к дальномерам будут да­ ны во 2-м томе монографии.

На практике широко распространён алгоритм изменения кор­ ректирующего влияния невязки на базе так называемой S-модифи­ кации оптимального фильтра [34]. В дискретном варианте указан­ ный алгоритм отличается от общепринятого лишь выражением для матрицы (1.4.22), которая используется в виде

D,(k) = SB0(k, k- l)D(k - 1)Фт(к,к- 1)+ Dx(k- 1). (2.2.20)

Одним из наиболее распространенных критериев оценки те­ кущей сходимости дискретных фильтров является неравенство [34]

AzT(k) Az(k) < ygtr{M[Az(k) AzT(k)]} =

где ув>1 определяется из условия задачи; Az(k) = z(k) - Щк)Хд(к) -

обновляющий процесс в алгоритме фильтрации (1.4.19), a tr - операция следа матрицы.

Поскольку при расходимости фильтра резко возрастает откло­ нение оценки х от ее действительного значения х, результат про­ гноза наблюдений Hxg(k) в (1.4.19) будет значительно отличаться от результатов наблюдений z(k). Следовательно сумма квадратов обновляющего процесса в левой части (2 .2 .2 1 ) будет характеризо­ вать действительную ошибку фильтрации.

Правая часть (2 .2 .2 1 ) определяет теоретическую точность (1.4.25) обновляющего процесса, получаемую на основании апри­ орных сведений о (1.4.24). Если неравенство (2.2.21) не выполня­ ется, то реальная ошибка фильтрации более чем в ув раз превыша­ ет теоретически рассчитанную, т.е. фильтр расходится. Следова­ тельно, начиная с этого момента, необходимо тем или иным спо­ собом корректировать матрицу Кф либо обновляющий процесс.

Суть одного из таких способов, основанного на автоматической коррекции коэффициента SB в (2.2.20) по результатам текущего контроля процесса сходимости, состоит в следующем. Началом процесса расходимости считается нарушение неравенства (2 .2 .2 1) при условии ув=1. Тогда, принимая во внимание, что AzT(k)Az(k)=tr[z(k)AzT(k)] из (2 .2 .2 1 ) при ув= 1 получаем

Подставляя (2.2.20) в (2.2.22), приходим к неравенству

tr[Az(k) AzT(k)] > tr{H(k)[Sa(k)0>(k,k- l)D(k - 1)Фт(к,к -1) +

+Dx(k-l)]HT(k) + DH(k)} = SB(k)tr{H(k)0(k,к - l)D(k -1) x

xФт(к, к- l)HT(k)} + tr[H(k)Dx(k- l)HT(k) + D„(k)].

Отсюда наибольшее значение

О flc) _ tr[Az(k)AzT(k) - H(k)Dx(k- 1)Нт(к) -Ри(к)]

^ 1;г[Н(к)Ф(к,к - l)D(k - 1)Фт(к, к - 1)Нт(к)] ' 1 * ‘

Подставляя (2.2.23) и (2.2.20) в (1.4.19)-(1.4.23), можно формиро­ вать нерасходящиеся оценки при условии, что выполняется нера­ венство (2.2.22). Из этого алгоритма видно, что началу расходимо­ сти, фиксируемому по превышению левой части (2 .2 .2 2 ) над пра­ вой, будет соответствовать возрастание коэффициентов SB(k). От­ сюда следует увеличение коэффициентов матриц D3(k) (2 .2 .20) и Кф(к) (1.4.21), что вызывает в (1.4.19) усиление корректирующего влияния невязки и приближение оценки х(к) к действительному значению х(к). Это, в свою очередь, приведет к уменьшению не-

вязки Az(k) и множителя SB(k), ослаблению корректирующего влияния невязки и т.д.

В отличие от стандартного алгоритма фильтрации (1.4.19)— (1.4.23), в котором Кф(к) изменяется программно, в рассмотрен­ ном алгоритме больший вес имеют текущие измерения, поскольку коэффициенты матрицы Кф(к) корректируются результатами каж­ дого наблюдения. Этот алгоритм адаптируется к условиям функ­ ционирования приближением теоретической матрицы D к реаль­ ной за счет изменения весового множителя SB(k). Указанное изме­ нение осуществляется благодаря учету матрицы Az(k)AzT(k), ха­ рактеризующей действительную ошибку фильтрации.

Следует отметить, что при определении ^(к) по (2.2.23) требу­ ется наименьший объем вычислений по сравнению с другими мо­ дификациями данного метода. Недостатком рассмотренного алго­ ритма является некоторое затягивание момента обнаружения рас­ ходимости, поскольку критерий (2 .2 .2 2 ) констатирует начало рас­ ходимости лишь наиболее устойчивых наблюдаемых координат. Анализ, проведенный в п. 2.2.2, показывает, что больше всего склонны к расходимости ненаблюдаемые координаты, по которым в фильтре отсутствуют ООС. Поэтому расходимость по наблюдае­ мым координатам начинается лишь при достаточно больших от­ клонениях оценок ненаблюдаемых координат от их действитель­ ных значений.

В заключении отметим, что при изменении (2.2.20) из-за уче­ та SB(k) несколько ухудшается точность оценок по сравнению с теоретической точностью, определяемой (1.4.23). Поэтому фильт­ ры, синтезированные по алгоритму (1.4.19)—(1.4.21), (1.4.23) и (2.2.20) , (2.2.23), не являются оптимальными. Однако, несмотря на некоторое снижение точности, они будут обеспечивать гаранти­ рованную сходимость оценок.

2.2.5. У с тра н е н и е ра с х о д и м о с т и п ро ц е с с а ф и л ь тр а ц и и п у тё м о п т и м а л ь н о й к о рре к ц и и п р о гн о за

Как было отмечено в п. 2.2.3 расходимость процесса фильтра­ ции путём коррекции прогноза может быть устранена двумя спо­ собами: путём поправки коэффициентов матриц F и Ф в (1.4.6) и (1.4.20) и при введении в прогноз аддитивных управляющих доба­ вок.

В первом случае коррекция матриц F и Ф осуществляется по результатам текущего оценивания их компонент fy и фу по тем

или иным алгоритмам адаптации (§1.7) и идентификации [13, 30]. Одним из наиболее приемлемых алгоритмов идентификации, хо­ рошо сочетающимся с процедурой оптимальной фильтрации, яв­

ляется алгоритм Мейна и его разновидности, рассмотренные в п.

1.8.1.

Анализ (1.8.7) и (1.8.10) показывает, что при отсутствии рас­ ходимости, когда невязки z-Нхэ малы, результаты фу оценивания

коэффициентов матрицы Ф практически совпадают с их априор­ ными значениями фу. В такой ситуации процедура фильтрации выполняется по стандартным правилам (1.4.19)-(1.4.23).

При появлении расходимости возрастают невязки (z-Hxg), воз­ никают значительные отличия фу от фу и в алгоритмы фильтра­ ции вместо априорных значений фу матрицы Ф вводятся их оцен­ ки фу. Следствием этого является коррекция прогноза хэ(к) = Фх(к -1 ) + Bu(k - 1 ) и приближение оценок х к их реаль­ ным значениям х.

Правила принятия решения о начале расходимости и коррек­ ция прогноза могут быть различными. Наряду с (2 .2 .2 2 ) может быть использовано и неравенство

(2.2.24)

i=i,

1=1

где д - размерность вектора состояния х; qy - весовые коэффици­ енты, а Ьф - порог, величина которого зависит от допустимой ве­ роятности ложного принятия решения о возникновении расходи­ мости.

Отыскание величины аддитивной управляющей добавки, ис­ пользуемой для устранения расходимости процесса фильтрации, может выполняться по различным процедурам. Ниже будет рас­ смотрен приём, основанный на использовании математического аппарата СТОУ.

Пусть для оценивания процесса (1.4.1) при и= 0 и наличии на­ блюдений (1.4.2) был использован алгоритм оптимальной линей­ ной фильтрации (1.4.3)—(1.4.6). При этом за счёт изменений усло­ вий функционирования модель (1.4.1), положенная в основу син­ теза, перестала соответствовать реальному состоянию оцениваемо­ го процесса. В такой ситуации наблюдения z будут отличаться от их прогноза И х, что приведёт к возрастанию невязки (z-Hx) и

т.д.. В результате будет формироваться расходящаяся оценка хр по правилу:

^р=Кфг - измеряемое возмущение, а Кф определяется соотноше­ ниями (1.4.4), (1.4.5).

Для устранения процесса расходимости необходимо, не изме­ няя матрицы состояния F наилучшим образом приблизить прогноз хр оцениваемого процесса, определяемый соотношением хр= Fxp, к его реальному состоянию, информация о котором со­

средоточена в измерениях z, т.е. нужно минимизировать невязку (z-Hxp). С этой целью для процесса

полученного на основе (2.2.25), необходимо отыскать вектор управляющих поправок ик, оптимальный по минимуму функцио­ нала качества

где Qp и Кр - соответственно матрицы штрафов за точность при­ ближения Нхр к z и за величину управляющих поправок.

Поставив в соответствие (2.2.27) с (1.9.1), а (2.2.28) с (1.11.9) будем иметь:

Анализ (2.2.30) позволяет сделать следующие заключения: сформированные поправки ик могут корректировать прогноз

всех фазовых координат оцениваемого процесса, включая и нена­ блюдаемые компоненты;

величина поправок зависит как от ошибок приближения Нхр к з, так и от соотношения штрафов за точность этого приближе-