книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]
.pdfприведённый в [34], не требует значительного увеличения количе ства решаемых уравнений, однако приводит к усложнению реше ния двухточечной краевой задачи. В связи с этим представляет интерес синтезировать существенно более простой закон управле ния дискретными системами, оптимальный по локальному крите рию. Такая задача была рассмотрена в §1.11, но без учёта изме ряемых возмущений.
Ниже будет получен закон управления линейной дискретной системой, оптимальный по минимуму локального функционала качества, в котором учитываются измеряемые возмущения.
В математическом плане задача формулируется следующим образом. Для дискретной системы
xy(k)=Oy(k,k-l)xy(k-l)+By(k-l)u(k-l)+^y(k-l)+^yH(k-l),
|
(1.12.1) |
предназначенной для отработки процесса |
|
X T C ^ O ^ k ^ -lJ x T C k -l)^ -^ .!) |
(1.12.2) |
необходимо найти вектор и сигналов управления, оптимальный по минимуму локального функционала
I=M{[ATxT(k)-Ayxy(k)]TQ[ATxT(k)-Ayxy(k)]+uT(k-l)Ku(k-l)}.
(1.12.3)
В соотношениях (1.12.1)-(1.12.3): ху и |
- векторы управляе |
|
мых и требуемых координат размерности щ |
и п2 |
соответственно; |
Фу и Фт - переходные матрицы состояния; Ву - |
матрица эффек |
|
тивности управления; £у - вектор измеряемых (известных) возму щений; £ун и £т - центрированные векторы неизмеряемых гауссов ских возмущений с известными матрицами дисперсий; А,, и Ау - матрицы соответствующих размеров, уравнивающие в функциона ле размерность векторов х,. и ху; Q - неотрицательно определённая матрица штрафов за точность приближения ху к х,.; К - положи тельно определённая матрица штрафов за экономичность.
В соответствии с выводами теоремы статистической эквива лентности (п.1.9.3) при линейных исходных моделях с гауссов скими шумами и квадратичных функционалах качества статисти ческий регулятор эквивалентен детерминированному при условии замены в нём фазовых координат их оптимальными оценками.
Тогда, подставив (1.12.1) и (1.12.2) в (1.12.3), при условии £ун=0 и £г=0, получим:
I={[AT0 T(k,k-l)xT(k-i)-AyOy(k,k-l)xy(k-l)+By(k-l)u(k-l)+
-Ау[Фу(к,к-1)Ху(к-1)+£у(к-1)]}. (1,12.5)
Полученный детерминированный закон управления (1.12.5) бу дет справедлив и для статических систем (1 .1 2 .1 ), (1 .1 2 .2 ) при ус ловии замены в нём фазовых координат оптимальными оценками. Тогда
# - l ) = K y| A A (k -l)® Tf e k - l ) - A y[o yf e k - l) x r( k - l) + i y(k -l)]},
(1.12.6)
где
Ку = [в уА уОАуВ у + K p B y A y Q . |
(1.12.7) |
Анализ (1.12.6) и (1.12.7) позволяет сделать следующие за ключения.
Сигнал управления пропорционален ошибке
Атхк(к-1)Фт(к,к-1)-Ау(Фу(к,к-1)ху(к-1)+^у(к-1)).
В полученном сигнале управления достаточно просто учиты ваются измеряемые возмущения. При этом не требуется расши рять вектор состояния и решать сложную двухточечную краевую задачу.
Вес ошибок управления зависит от штрафов Q и К за точность управления и его экономичность.
1.13. СИНТЕЗ УПРАВЛЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ
НА ОСНОВЕ КОНЦЕПЦИИ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ
Существует класс задач радиоуправления, когда процесс син теза не может быть сведен к минимизации некоторого строго за данного функционала. В частности, это возникает тогда, когда за дача управления не имеет физического или естественного глобаль ного критерия качества, правильно и полно отражающего содер жание задачи. В таких задачах управление часто заключается в поддержании определенных соотношений между отдельными ком понентами вектора состояния объектов. Эти соотношения обычно описывают условия нормального функционирования объекта управления либо характер переходного процесса.
В последнее время для решения таких задач наиболее часто стали применяться методы синтеза управления на основе концеп
Требуется построить алгоритм управления, при котором дви жение системы (1.13.1) из произвольной точки x(t) в начало коор динат осуществляется по траектории
Xj(t) = ахе^ |
+ a2e^2t + |
+ ane*'nt. |
(1.13.2) |
Здесь: щ, j = l,n |
- постоянные коэффициенты, значения которых |
||
определяются начальными условиями; X}, j = l,n - |
различные из |
||
вестные числа, удовлетворяющие условию Re^j<0; |
Xj(t) - выход |
||
ная координата системы (1.13.1).
Для управляемой и наблюдаемой системы (1.13.1) можно най ти такую управляющую функцию, которая обеспечивает движение из начальной точки X (0)=XQ по траектории (1.13.2).
Введем вектор x*(t), состоящий из п компонент, каждая из которых определяется как
Xi=x2, х2 =х8,..., xn_1 = xn |
xn = Xa^jXj. |
|
j=i |
С учетом уравнения (1.13.2) в векторной форме решение этой |
|
системы определяется соотношением |
|
x*(t) = ЛеЛ°‘<х |
(1.13.3) |
в котором
11
а,2
лп-1
Л "-1 Л2
1
со
л П - 1
/1д
1 |
|
А-1 |
0 |
0 |
0 |
• |
|
0 |
х,2 |
0 |
0 |
> О |
II |
|
|
|
|
л П - 1 |
|
0 |
0 |
0 |
|
Лп . |
|
к |
|||
|
|
|
|
> * е_A0t = 0
Г О
0 |
0 |
0 |
|
«1 |
|
0 |
0 |
; |
a = a2 |
|
|
|
|
•t • |
0 |
0 |
е^_ |
|
« п . |
Управление u(t), обеспечивающее выполнение назначенной траектории движения x*(t), вычисляется по правилу
u(t) = (b_1)T[x*(t)-Fx*(t)],
+ a(x) |
+ b(x)x(t) = f(x,X , u). |
dt2 dt
Назначенная траектория движения определяется согласно обще принятым положениям в виде
**(t) = P1eX,t + P2eM- |
(1.13.7) |
Программный закон изменения управляющего воздействия со гласно (1.13.6) и (1.13.7) определяется уравнением
f*(t) =<рА )М М +Ф(Ь2)М М» |
(1.13.8) |
в котором <p(Xj) (j = 1 ,2 ) - полином второго порядка:
ф(А,)=А,2+а(х)Х+Ь(х).
Из условия согласования назначенной траектории (1.13.7) с начальными условиями системы (1.13.6) имеем
Pi+P2=x(0)=x0; |
РА +Рг^2 = х(0) = х0, |
|
или |
|
|
а - ^2Х 0 х 0 а |
_ ^ Х р -Х р |
|
Pl |
b2 - * i ’ |
Р2 |
Выразим закон изменения управляющего воздействия f*(t) в виде функции, зависящей от фазовых координат системы (1.13.6).
Лt —
Для этого в (1.13.8) необходимо pje J (j = 1,2) представить в виде
функции координат системы. Из равенства х (t)= х *(t) имеем
PAellt +РАе*2* = x(t). |
(1.13.9) |
Решая (1.13.7) и (1.13.9) относительно искомых величин получим
X,t _ ^2Х 7.x . |
р X2t = _ М ~ х _ |
Тогда (1.13.8) можно записать в виде
f*(x,x) = [b(x) - А.ХЛ.2]x(t) + [а(х) - (А.х + A.2)]x(t). (1.13.10)
Из (1.13.10) следует, что , как и в линейном случае, при усло вии идеального воспроизведения управляющего сигнала уравнение замкнутой системы для исходного нелинейного объекта имеет вид
x(t) +(кг + A.2)x(t) + A,xA.2x(t) = 0.
Задача практической реализации управляющего сигнала (1.13.10) связана с определением явной функции u(f*) . Решение u(f*) может быть найдено из условия равенства (1.13.10) правой части уравнения (1.13.6), т. е.
f(x,x,u) = f*(x,x). |
(1.13.11) |
Если функция f(х, х, и) однозначно связана с u(t), то для лю бого значения t существует равенство
u*(t) = f-1(f‘ ), |
(1.13.12) |
где f_1(®) - обратная функция к f(«).
Однако существует широкий класс систем, когда аналитиче ское выражение для u*(t) в виде (1.13.12) получить практически не удается. В рамках предложенных алгоритмов [72] рассмотрим один из подходов к определению u(t).
Управляющая функция, как следует из (1.13.11), является функцией фазовых координат объекта. Это значит, что скорость изменения u*(t) будет определяться динамическими характери стиками системы. Введем понятие «обобщенного» объекта, под ко торым будем понимать объект с выходной координатой u*(t), а
входной - управляющее воздействие f ‘ (x,x). Воспользуемся ап
проксимацией динамических свойств «обобщенного» объекта сто хастическим дифференциальным уравнением. Порядок этого урав нения зависит от точности представления динамических характе ристик. Для определенности полагаем, что
«*(*) = $y(t), |
(1.13.13) |
где £y(t) - белый шум со спектральной плотностью G и M[£y(t)]=0. Значение, вычисленное согласно выражению для f(x,x,u“), будем интерпретировать как измерение координат состояния сис
темы (1.13.13)
z(t) = f(x,x,u*). |
(1.13.14) |
Величина z(t) определяется на основе измерений x(t) и x(t) реальными датчиками, на которые воздействуют шумы. Тогда (1.13.14) можно записать как
z(t) = f(x,x,u*) +£H. |
(1.13.15) |
где £u(t) - случайный процесс, удовлетворяющий условиям MRH(t)]=0 и MKH(t1)^(t2)]=GH5(t1 -t2), 8(tr t2) - дельта функция.
Задачу вычисления управляющей функции с учетом уравне ний (1.13.13) и (1.13.15) можно сформулировать в терминах опти мальной фильтрации: необходимо найти оптимальную оценку u=M[u/z] вектора состояния системы (1.13.13) по известным зна чениям (1.13.15).
Алгоритм определения управляющего сигнала согласно [2, 3] имеет вид
u(t) = K[z(t) - f(x,x,u)].
K(t) = D(t)H(t)G;1(t), H(t) = df^ u-^, |
(1.13.16) |
du
D(t) = -K(t)GHKT(t) + Gy.
Для стационарного режима, когда D(t)=0, уравнения системы (1.13.11) приобретают более простой вид. Учитывая равенство (1.13.11) и допущение о стационарном режиме работы фильтра, имеем
^ = K(t)[f*(x,x) - f(x,x,u)j, |
(1.13.17) |
где К = -^GyG”1
Зависимость коэффициента усиления системы (1.13.17) от ха рактеристик измерительной системы позволяет оптимальным об разом учитывать их в алгоритме оценивания.
Точность реализации желаемой траектории x*(t) естественно зависит от точности решения уравнения (1.13.17). Заметим, что с ростом К точность решения возрастает, но в этом случае могут возникать колебательные процессы в изменении ошибки [x(t)-x*(t)]. Значение невязки, а, следовательно, и управление мо жет быть вычислено и без определения заданной управляющей силы f*(x,x). Из (1.13.9) следует, что
x(t) + a(x)x(t) + b(x)x = f(x,x,u) - f*(x,x*),
тогда имеем
f (x,x*) - f(x,x,u) = -(x(t) + a(x)x(t) -r b(x)x).
