книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]

В рассматриваемой задаче обе оценки совпадают, так как ус­ ловная апостериорная плотность вероятности W^A,(k)|zi,a(k)j гаус­

совская, и определяются уравнениями (1.8.18) при а 8 = d(k).

В качестве оценки а(к) неизвестного матричного параметра а удобно взять оценку, для которой апостериорная вероятность pfajzj1) максимальна, т.е. а(к)=шах-1 p|a8|zjj . Учитывая свойство

(1.8.19), максимальная вероятность p|aB|z^j достигается, если мак­ симальные значения принимают вероятности P^ajjz^ (j = l,N ). Таким образом, сначала необходимо найти частные решения

j = 1 » N .

Так как число возможных значений вектора otj конечно и рав­ но ш, то максимум находится путём простого перебора апостери­

орных вероятностей pfaJzn), которые, как показано выше, могут

a(k) = |aj(k) 6с|(к)... а^(к)| Данная оценка определяет ту гипо­

тезу, для которой на каждом такте работы строится единственный фильтр вида (1.8.18). Заметим, что на начальном этапе работы оценка a(k) может меняться, что соответствует изменению гипоте­ зы, для которой строится фильтр (1.8.18). Таким образом получа­ ем нестационарную структуру фильтров, в которой на каждом такте работы может обрабатываться разное число измерений. В установившемся режиме работы будет функционировать одна из структур.

ствующее уравнение, описывающее требуемую траекторию в про­ странстве состояний, представим в виде

где ^ - белый гауссовский шум с нулевым математическим ожи­ данием и спектральной плотностью GT.

Многовариантность описания процедур задачи оптимального управления приводит к чрезвычайному разнообразию её постано­ вок [43]. Ниже будет использована одна из самых несложных, по­ зволяющая получить наиболее простые алгоритмы формирования управляющих сигналов. Эта задача формулируется следующим об­ разом: по результатам наблюдений z(t) (структуру которых мы оп­ ределим позже) всех или некоторых компонент xT(t) и xy(t) выбо­ ром вектора управлений u(t) необходимо наилучшим (оптималь­ ным) образом на выходе системы управления сформировать управляемую траекторию Xy(t). Возможные критерии оптимально­ сти описаны в §1.2. Рассмотрим, например, критерий типа (1.2.16), получивший название критерия Лётова-Калмана

I(u) = Mj[xT(tk) - xy(tk)]TQ[xT(tk) - xy(tk)]+

+ f[xT(t) - xy(t)fL[xT(t) - xy(t)]dt+ 'jvK u d tl (1.9.3)

0 0 J

где - момент окончания управления. Первое слагаемое в (1.9.3), называемое терминальным членом, характеризует сумму взвешен­ ных дисперсий ошибок в конце управления. Второе слагаемое представляет интегральную квадратичную оценку текущей точно­ сти управления, а третье, характеризующее экономичность, пред­ ставляет затраты энергии на управление. Неотрицательно опреде­ ленные матрицы Q и L штрафов за точность управления выбира­ ются в соответствии с важностью парциальных ошибок Дх^х^-х^ для системы в целом. Положительно определённая матрица К оп­ ределяет штрафы за экономичность.

Из физических соображений понятно, что, задав ограничения на структуру выбираемого (синтезируемого) вектора ху, мы огра­ ничиваем возможности выбора наилучшей системы, а, следова­ тельно, характеристики выбранной системы будут «не лучше» (а в общем случае хуже), чем у системы, которая выбирается (синтези­ руется) без ограничений. Поэтому, задав структуру системы управления (1.9.1) мы заведомо идем на ухудшение потенциаль­

Необходимым и достаточным условием того, что x(to) может быть определено из (1.9.18) по наблюдениям z(t) на интервале [to,tk] является невырожденность матрицы

Анализ (1.9.21Н1.9.23) позволяет прийти к следующим за­ ключениям. Наблюдаемость зависит от вида детерминированных связей оцениваемого процесса, определяемых в (1.9.16) матрицей F(t), и от набора и вида измерителей, определяющих в (1.9.17) матрицу H(t). Проведенные исследования показали [34], что в об­ щем случае при увеличении числа m измерителей наблюдаемость улучшается. Аналогичный критерий можно привести и для дис­ кретных моделей состояний и измерений. Для этого достаточно в (1.9.21)-(1.9.23) заменить матрицу F(t) фундаментальной матри­ цей Ф(к,к-1 ) процесса (1.4.17).

Физический смысл условий (1.9.21)—(1-9-23) состоит в том, что при их выполнении можно на основе (1.9.16) и (1.9.17) получить N независимых уравнений с N неизвестными, однозначно связы­ вающими измерения с оценками фазовых координат. В приклад­ ном плане, наряду с выяснением самой возможности синтеза оп­ тимальной системы, критерии (1.9.21)-(1.9.23) позволяют опреде­ лить минимально необходимый набор измеряемых координат, при котором будет обеспечиваться оценивание требуемого вектора со­ стояния. Как правило, для получения всех нужных оценок необ­ ходимо, чтобы в каждой группе функционально связанных коор­

связанных фазовых координат управлялась хотя бы самая высо­ кая производная.

Условия полной управляемости для дискретных стационарных линейных систем по внешнему виду совпадают с (1.9.26). Однако вместо матриц F и В необходимо использовать их дискретные ана­ логи из моделей в виде разностных уравнений.

1.9.3. Т е о р е м а р а з д е л е н и я и у с л о в и я у п р о щ е н и я с и н т е з а

Условия упрощения синтеза оптимальных стохастических сис­ тем управления определяются фундаментальной теоремой разде­ ления или статистической эквивалентности. Теорема гласит: для линейных моделей (1.9.8) и (1.9.11) в условиях гауссовских воз­ мущений £и и при оптимизации систем по квадратичным функ­ ционалам качества (например такому, как (1.9.9)) процедура син­ теза распадается на два независимых этапа - синтез оптимального управления без учета действия шумовых возмущения (т.е. реше­ ние детерминированной задачи управления) и решение задачи оп­ тимального оценивания вектора х, описываемого уравнением (1.9.8), по наблюдениям (1.9.11) при известных управлениях u(t) (разделение). После этого сформированные оптимальные оценки х подставляются в оптимальный закон управление вместо х (статис­ тическая эквивалентность).

Требования линейности моделей, квадратичности функциона­ лов и гауссовости шумов называются условиями линейно-квадра­ тично-гауссовской (ЛКГ) задачи синтеза. Для такой задачи теоре­ ма разделения (статистической эквивалентности) доказывается строго [20, 74]. Если обобщенный объект управления или измери­ тели аппроксимируются нелинейными моделями, то теорема раз­ деления не имеет строгого доказательства. Однако, при достаточно больших отношениях энергии сигнала к спектральной плотности шума, когда в радиоэлектронных системах имеют место точные измерения, ее также можно разделить на фильтр, формирующий оптимальные оценки фазовых координат и параметров системы, и регулятор, вычисляющий сигналы управления. При этом текущая оптимальная оценка х определяется нелинейным фильтром. Не­ обходимо отметить, что полученное таким способом приближенное решение задачи раздельного синтеза фильтра и регулятора тем точнее, чем выше точность оценивания.