книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]
.pdfРис. 1.5.7.
натора определяется структурой наблюдений z(k), а структура сглаживающих цепей в контуре следящей системы зависит только от описания информационного процесса х(к) в пространстве со стояний. Синтез оптимального дискриминатора и оптимального фильтра может проводиться независимо.
Процесс на выходе дискриминатора может быть представлен в виде (1.5.8), где вместо непрерывного времени надо использовать дискретное время к. Дискриминационная характеристика U^A, - A,j
дискриминатора в общем случае является нелинейной функцией ошибки фильтрации, но при большом отношении сигнал/шум мо жет быть аппроксимирована линейной зависимостью вида (1.5.9). В этом случае синтез оптимального фильтра в контуре следящей системы может быть проведен для эквивалентного линейного на блюдаемого процесса вида (1.5.10) методами оптимальной линей ной дискретной фильтрации.
В режиме экстраполяции при ид(к)=0 для t>tj уравнение оп тимальной экстраполяции имеет вид (1.5.21).
Уравнения оптимальной комбинированной калмановско-вине- ровской фильтрации (при непрерывных наблюдениях, но форми ровании оценок в дискретные моменты времени) получены в [52] и являются обобщением уравнений (1.4.32). Пусть фильтруемый процесс описывается уравнением (1.5.12), а наблюдаемый процесс (1.5.1). Ставится задача формирования оптимальных оценок в дискретные моменты времени (k=l, 2,...). Уравнения оптималь ной фильтрации имеют вид
x (k )= x 3(k)+ jO (t k,x)x
* к - 1
<Цстхэ(т),tj |
G^(x)[z(x) - s(cTx3(T),t)]dT= |
||
xD(x |
дх» |
||
|
|
|
|
=x8(k)+ |
lk _ |
|
(1.5.22) |
J®(tk x) D(T)CaA(x)dx, |
|||
|
*k-l |
|
|
х э(^)= ф (^ tk-i) x ( k - 1 ), |
|
||
где <&(t,i) - |
фундаментальная матрица априорного |
уравнения |
|
(1.5.12), удовлетворяющая уравнению |
|
||
at |
=F(t)0(t,x), |
Ф(х,х))=Е. |
(1.5.23) |
|
|
|
|
Матрица 0(t, т) определяется уравнением,
(1.5.24)
аналогичным (1.4.16) с начальным условием ф(т,т)=Е. Матрица
дисперсий опшбок фильтрации D описывается уравнением (1.5.3). Из уравнения (1.5.22) следует, что оптимальная непрерывно* дискретная система фильтрации включает аналоговый дискрими
натор, который описывается выражением
л8(х) = Стхэ(х). |
(1.5.25) |
Опорный сигнал в дискриминатор вводится при значении те кущей экстраполированной оценки А^(т) параметров радиосигнала. Далее осуществляется накопление на интервале времени (tk,tk+1) с оптимальными весами <f>(tk, T)D(T)C выходного процесса дискри
минатора. Фильтрация в такой системе реализуется в дискретном времени в тактовые моменты tk.
1.6. ОПТИМАЛЬНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ПРИ НЕИЗВЕСТНЫХ
НЕИНФОРМАТИВНЫХ ПАРАМЕТРАХ СИГНАЛА
Представление наблюдаемого процесса в форме (1.5.1) предпо лагает, что все параметры сигнала, кроме информативных А,, точно известны. Поэтому приведенные в предыдущем разделе алгоритмы фильтрации оптимальны (квазиоптимальны) именно для таких сигналов. Однако в задачах радиолокационных измерений такое представление принимаемых сигналов является скорее исключе нием, чем правилом. В большинстве случаев принимаемые сиг налы имеют случайные неинформативные параметры. Так, на пример, при оценивании дальности и радиальной скорости такими случайными неинформативными параметрами могут быть ампли туда и начальная фаза сигнала. Поэтому рассмотрим вопрос о том, как может быть выполнен синтез оптимальной системы фильтрации при наличии неинформативных параметров сигнала р. Запишем наблюдаемый процесс в форме
z(t) = s(X,n,t) + n(t), Я= Стх. |
(1.6.1) |
Для решения задачи оптимальной фильтрации информативно го процесса X при наличии неинформативных параметров р можно использовать два подхода. В первом из них неинформативные па раметры сигнала включаются в число оцениваемых и решается за дача оптимальной фильтрации расширенного вектора состояния. Для решения этой задачи можно использовать алгоритмы, приве денные в предыдущем разделе. Получающаяся при этом система фильтрации заметно усложняется. Второй подход основан на свой стве согласованности плотностей вероятности, которое в математи ческой форме формулируется как
w(b)= JW(X,n)d*i. |
(1.6:2) |
—со |
|
Если интегрирование по неинформативным параметрам удает ся выполнить аналитически, то при последующем решении задачи фильтрации оценке подлежат лишь информативные параметры сигнала. Как следствие, результирующая система фильтрации фактически не усложняется по сравнению с той, которая получа ется при отсутствии неинформативных параметров. Однако, к со жалению, интегрирование в (1 .6 .2 ) удается выполнить не всегда и [е по всем возможным параметрам. Поэтому привести достаточно бгцие результаты синтеза в этом случае не представляется воз-
43
можным. Мы ограничимся лишь некоторыми частными результа тами.
Рассмотрим для простоты случай скалярного наблюдения и конкретизируем описание сигнальной функции в (1 .6 .1 )
s(X,ц,t) = Ah(t, cos(©t + ф), |
(1.6.3) |
где А - амплитуда сигнала, h(t,A.) - модулирующая функция, ко торая в общем случае может зависеть от информативных парамет ров X, © - частота сигнала, ср - начальная фаза сигнала.
В соответствии с (1.6.1) информативные параметры X отобра жаются в пространстве состояний вектором х, для которого спра ведливо априорное уравнение (1.4.1). Полагая частоту принимае мого сигнала известной, в качестве неинформативных параметров р выберем амплитуду А и начальную фазу ф. Распределение слу чайной фазы ф принято полагать равномерным [65], а амплитуды А - по рэлеевскому закону
W.,M=2% |
2с\) |
W,ар (А ) = А е х р |
А > 0. (1.6.4) |
Используя общую методологию теории оптимальной фильтра
ции, введем апостериорную плотность вероятности
для которой можно записать интегро-дифференциальное уравне ние, аналогичное (1.3.6)
wf^tjzoj = l|w(x,ljzt0Jj + F$(x,t)- j F$(x,t)wjx,tjzojdx w|x,tjzo),
L |
—°o |
J |
|
|
|
(1.6.6) |
|
F$(x,t) = a(cTx,ц,tjG^zft) - 0,5s(cTx, ц,tjj, |
l=CTx, X = |
X |
|
|
|
(1.6.6) |
|
где L - оператор Фоккера-Планка для расширенного вектора х .
В соответствии со свойством согласованности плотностей веро ятности (1.6.2) проинтегрируем уравнение (1.6.5) по неинформа тивным параметрам р. Выполним сначала усреднение по началь ной фазе ф. Для этого представим апостериорную плотность рас ширенного вектора в эквивалентном виде
W(x, А,(рЦ) = kWap(x)Wap(A)Wap((p)w(zo|x A, (p), (1.6.7)
где Wap - априорные плотности распределения соответствующих параметров. Кроме того примем во внимание следующее соотно шение
Рф(х,1Ц х ,^ ) = |w(x,t|4). |
(1 .6.8) |
Тогда интегрирование уравнения (1.6.5) по ср, с учетом соот ношения (1 .6.2 ), приводит к уравнению
w(x,A,^) =L1(w(x,A,ljz^))+F1(x,A,t)-
- JГф(х,t)w(x, tjzojdxw|x, A |ZQJ, |
(1.6.9) |
где
Fi(x,A,t) = |jkWap(x)Wap(A)^|w(z‘|x,Аф)аф|, (1.6.10)
Li - оператор Фоккера-Планка для процесса {х, А}. Вычислим интеграл, входящий в (1.6.10)
Je x |
p;1jJo[z(x)s(cTx,А, ф, TJ - 0,5s2(стх,А,ф , x j j d x j ^ = |
||
12л |
Г |
t |
„ ) |
= — | exp]- 0,5GH11Га Цт)COS((OT + ф)| dx [x |
|||
о |
[ |
ol |
J |
Г Л
xexp]G”1 } z(x)Ah(x) COS(COT+ ф)йхj dф= expj- ^IQ•| ~ X(t,x) j-,
4GJ W[GB
(1.6.11)
где I0(.) - модифицированная функция Бесселя первого рода нуле вого порядка,
X2(t,x) = X2(t,x) + X2(t,x); |
(1.6.12) |
t
Xc(t, x) = Jz(x)h(x)cos((DT)dx;
о
блюдаемых данных z(t), в которых сигнал имеет теперь неизвест ную начальную фазу.
Вернемся к случаю, когда амплитуда сигнала также неизвест на и случайна. Проинтегрируем уравнение (1.6.15) по А. Анало гично тому, как это было проделано выше, интегрирование боль шинства слагаемых, с учетом (1.6.2), не представляет труда. По этому остановимся лишь на интегрировании функции Fi(x,A,t), определяемой уравнениями (1 .6 .1 0 ), (1 .6 .1 1 ),
* iM =||kw.pWjw.p(A)«p|- |^Jl0[AG;1X(t,x)]dAj.
(1.6.17)
Рассмотрим внутренний интеграл
ви |
GH+О0д / |
x 2(t,x)L (1.6.18) |
G „+ a < r i/ 2 |
2) |
|
|
|
где X(t,x), a - по-прежнему определяются уравнениями (1.6.12), (1.6.13). Подставляя (1.6.18) в (1.6.17) и выполнив необходимые преобразования, получаем
Fo(t, х) = 1 |
v ------------------- |
^X2(t,x) |
|
dt 2 G „(G H + а ад / 2 ) |
|
=^Ф2(Х» t)w|x, tjZQ. |
(1.6.19) |
|
Структура полученного соотношения аналогична (1.6.14). По
этому уравнение для апостериорной плотности wjx, tjzgj также
аналогично уравнению (1.6.15), в котором вместо Рф1(х,АД) следу ет использовать функцию Гф2(х,1;), а вместо !•!(•) - оператор Фок- кера-Планка L2(e) для вектора х. Аналогичные утверждения спра ведливы и для уравнений оптимальной фильтрации (1.6.16), непо средственно вытекающих из уравнения для апостериорной плотно сти вероятности. Следовательно, структура оптимального измери теля опять остается неизменной, а меняется лишь структура оп
тимального дискриминатора, которая теперь описывается соотно шением
д а |
(1.6.20) J |
3k‘ at _2G„(GH+астд /2j |
Как следует из приведенных результатов, изменение структу ры сигнальной функции (за счет появления неизвестных парамет ров сигнала), а вместе с ней и структуры наблюдений приводит лишь к изменению структуры дискриминатора оптимальной сис темы фильтрации. Напомним, что, по определению, назначением дискриминатора является формирование сигнала пропорциональ ного рассогласованию между текущим значением информативного процесса и его оценкой в результате обработки наблюдений. По этому вполне естественно, что при изменении структуры наблюде ний меняется и структура дискриминатора. Воспользовавшись этим свойством оптимальных систем фильтрации запишем урав нения оптимальной непрерывно-дискретной фильтрации при на личии неинформативных параметров сигнала. Для этого предста вим соответствующие уравнения (1.5.22) в виде
х(к) = хэ(к) + Щ, т)Б(т)Сид(^хэ(т))<1т; (1.6.21)
хэ(т) = Ф(т^к-1)х(к -1),
где матрицы Ф и Ф - определяются (1.5.23), (1.5.24).
В уравнения (1.6.21) в качестве ид следует подставить (1.6.16), если принимается сигнал с известной амплитудой и неизвестной начальной фазой, и (1 .6 .2 0 ), если принимается сигнал с неизвест ными амплитудой и начальной фазой.
1.7.АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
1.7.1.Постановка задачи синтеза адаптивных систем
фильтрации
До сих пор мы рассматривали задачи оптимальной фильтра ции в предположении, что все статистические характеристики ин формативных и мешающих процессов априорно известны. Неопре деленность указанных статистических характеристик приводит к
48
постановке задачи адаптивной фильтрации, в которой совместно оцениваются информационные процессы, их параметры и стати стические характеристики. Как отмечалось в §1.1, мы будем рас сматривать случай параметрической априорной неопределенности, при которой полагается, что уравнения, описывающие фильтруе мый процесс x(t) и наблюдения z(t), известны с точностью до век тора а неизвестных параметров, так что
х = F(a,t)x + A(a,t)Sx(t), |
(1.7.1) |
z(t) = s(A,,a,t) + £„(t). |
(1.7.2) |
Здесь, как и раньше, £х и £и - независимые центрированные гаус совские белые шумы с матрицами спектральных плотностей Gx и GHсоответственно. Вектор неизвестных параметров а может быть постоянным во времени и описываться уравнением
сс = 0, |
(1.7.3) |
или переменным и описываться уравнением |
|
d = Fa(t)a + $a(t), |
(1.7.4) |
аналогичным (1.7.1).
В дальнейшем для простоты изложения будем полагать неиз вестные параметры постоянными.
1.7.2. Общее решение задачи синтеза адаптивной системы
ФИЛЬТРАЦИИ
В §1.2 показано, что в задачах адаптивной фильтрации в ка честве показателя качества используется усредненный риск Ё(х)
(1.2.7), в котором выполнено усреднение как по всем случайным [фоцессам, так и по неизвестным параметрам а. При квадратич ной функции потерь оптимальной оценкой будет оценка условного феднего, описываемая соотношением
а шах |
00 |
/ |
\ |
(1.7.5) |
х= } |
J xW(x,azojdxda. |
|||
arain - 00
1десь w|x,a|zoj - совместная апостериорная плотность вероятно-
ти распределения информационного процесса x(t) и неизвестных [араметров а.
