книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]

z(k) = Xl(k) + ^(k)

из общих соотношений (1.4Л9), (1.4.20) можно записать уравне­ ния оптимального фильтра

x3i(k) = хх(к -1) + Tdx2(k-1), хэ2(к) = х2(к -1).

В установившемся режиме Kj^const, ^ 2e const. В литературе часто используют обозначения [27] Кф^а, Кф2=Р/Т^, а стационар­ ный фильтр (1.4.29) называют <х-Р фильтром.

Пример 2. На практике встречаются ситуации, когда оценки информационного процесса необходимо формировать с темпом T<j, а измерения (1.4.18) проводятся в более редкие моменты времени, отстоящие один от другого на интервал T^NT^. В этом случае можно записать

z(k)=3(k)[H(k)x(k)+Uk)L

(1.4.30)

Подставляя (1.4.30) в (1.4.19), (1.4.20), получаем следующий алгоритм оптимальной фильтрации:

Уравнения для коэффициента усиления Кф(к) определяются формулами (1.4.21)-(1.4.23) с учетом структуры наблюдений (1.4.30).

Поскольку экстраполяция выполняется с малым шагом при­ ближаясь по точности к аналоговой процедуре, а измерения по­ ступают редко, то в литературе алгоритм (1.4.31) иногда называют аналого-дискретным.

Так же как и в непрерывном времени, для оптимальной дис­ кретной оценки (1.4.19) можно записать уравнения в форме фильтра Винера [52].

В задачах радиолокационных измерений координаты объекта являются непрерывными функциями времени. Наблюдаемый про­ цесс также во многих приложениях описывается непрерывной функцией. В то же время формирование оценок координат в со­ временных системах реализуется, как правило, в дискретном вре­ мени на базе цифровых вычислителей. В связи с этим встает во­ прос об оптимальной дискретной фильтрации непрерывных про­ цессов. Ответ на этот вопрос дают комбинированные калмановсковинеровские фильтры [52].

1.4.3. Комбинированные калмановско-винеровские алгоритмы

фильтрации

Пусть сообщение и наблюдаемый процесс описываются урав­ нениями (1.4.1), (1.4.2) при u(t)=0. Поставим задачу формирова­ ния оптимальных оценок i(tk) в дискретные моменты времени tk, k=l,2,.... Рассмотрим уравнение оптимального фильтра Калмана в форме (1.4.3) и запишем для него решение на интервале времени

где <t>(tk+1,t) - как и выше, переходная матрица линейного фильт­

ра, удовлетворяющая уравнению (1.4.16), a go(tk+i,x) - импульс­ ная характеристика фильтра Винера, для которой справедливо выражение (1.4.15).

Представление (1.4.32), рассматриваемое в дискретные момен­ ты времени tk, - одно из решений поставленной задачи. Оно явля­ ется рекуррентным уравнением, связывающим соседние оценки x(tk+1) и x(tk) и содержит винеровский фильтр для наблюдений

внутри интервала. Структурная схема комбинированного фильтра, реализующего (1.4.32) приведена на рис. 1.4.3. Она состоит из фильтра Винера для непрерывного времени, представленного в ви-

де коррелятора, хотя возможна также реализация на основе ана­ логового фильтра с импульсной характеристикой go(tk+i,T), анало­ го-дискретного преобразователя А/Д и рекуррентного фильтра, ра­ ботающего в дискретном времени с периодом T=tk+1 -tk.

Рис. 1.4.3.

Другое представление комбинированного алгоритма можно получить из (1.4.32), воспользовавшись следующим представлени­ ем для переходной матрицы

^ л )= ^ Д к)-Ц^т)1)(т)Яг(т)(^1(тДт)ф(тЛк)(1т, (1.4.33)

где 0 (t,x) - фундаментальная матрица априорного уравнения (1.4.1) для сообщения x(t), удовлетворяющая уравнению <b(t, x)=F(t)<I>(t,x), с начальным условием Ф(х,х)=Е.

Справедливость такого представления следует из того, что правая часть (1.4.33) удовлетворяет (1.4.16) и при t=tk обращается в единичную матрицу Е.

Подстановка (1.4.33) в (1.4.32) даёт

£(*к+1 )=Ф (*к+1 Л ) * М +

+ fФ(*к+1>T)D(T)HT(T)GH1(T)[z('r)- Н(т)ф(т,tk)x(tk)]dx =

где

«•(tk+lb^W tk) x(tk), х9(т)=ф(т,tk) x(tk)

- имеют смысл экстраполированных для моментов времени tk-j-i и х оптимальны* оценок x(tk) сообщения, полученных по наблюде­

ниям до началд интервала (tk,tk+i).

Структурная схема фильтра, описываемого уравнением (1.4.34) приведена на рис. 1.4.4.

Рис. 1.4.4.

Данная схема ближе к структуре фильтра Калмана, чем схе­ ма, приведенная на рис. 1.4.3. Основное отличие заключается в том, что, если в схеме рис. 1.4.3 в аналоговой ее части стоял не­ следящий фильтр Винера, то в схеме рис. 1.4.4 аналоговая часть охвачена отрицательной обратной связью по оценке x(tk). Другое

отличие заключается в том, что в схеме рис. 1.4.4, кроме опти­ мального экстралолятора на момент времени tk+1, есть оптималь­ ный экстраполятор на каждый промежуточный момент времени xe(tk,tk+i). Следует отметить, что данная операция характерна, как это будет показано в следующем разделе, для любого опти­ мального комбинированного фильтра.

1.5. АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ

ФИЛЬТРАЦИИ

Задача фильтрации называется нелинейной, если состояние описывается нелинейным дифференциальным уравнением (1.3.1) или оно входит нелинейно в наблюдения (1.3.2). В интересующих нас задачах состояние ДС, как правило, описывается линейным дифференциальным уравнением вида (1.4.1), а наблюдаемый про­ цесс (принимаемые радиосигналы) описывается нелинейным урав­ нением, так как полезная информация содержится в задержке ра­ диосигнала, фазе или доплеровской частоте. Указанные параметры радиосигнала будем называть информативными и обозначать век­ тором X.

Поясним связь между параметрами сигнала к и вектором со­ стояния х. Каждому из параметров А* сигнала может быть постав­ лен в соответствие вектор щ. Так, например, задержку, несущую информацию о дальности до цели х1э скорости Х2 и ускорении Х3 сближения, можно представить соотношением ^=стх, где с=[1 О 0]т, x=[xj Х2 х3]т. Аналогично связаны и другие параметры сигнала с векторами, описывающими их в пространстве состоя­ ний. В общем случае полный вектор параметров сигнала X также связан с вектором х, отображающим его в пространстве состояний, соотношением А,=Стх, где С - матрица соответствующей размерно­ сти. С учетом сделанных замечаний наблюдаемый процесс будем описывать уравнением

В отличие от задачи линейной фильтрации гауссовских про­ цессов, когда апостериорная плотность вероятности является гаус­ совской, в задаче нелинейной фильтрации апостериорная плот­ ность вероятности является в общем случае негауссовской. Это приводит к тому, что, во-первых, оптимальные оценки сообщения, соответствующие различным критериям оптимальности, могут от­ личаться друг от друга. Так, например, оценки условного среднего и максимума апостериорной плотности вероятности не совпадают при несимметричных апостериорных плотностях. Во-вторых, даже в рамках одного критерия оптимальности, например минимума дисперсии ошибки фильтрации, не удается получить точного замкнутого решения, так как апостериорная плотность вероятно­ сти описывается бесконечной цепочкой взаимосвязанных момен­ тов, квазимоментов или семиинвариантов [67, 77]. Поэтому в тео­ рии оптимальной нелинейной фильтрации используют те или иные приближенные решения. Наибольшее распространение полу­ чило гауссовское приближение, при котором апостериорная плот­ ность вероятности полагается гауссовской. Кроме того в этом слу­ чае полагают, что отношение энергии полезного сигнала к спек­ тральной плотности аддитивного шума (отношение сигнал/шум) достаточно велико, так что точность фильтрации высокая. Это по­ зволяет разложить нелинейную функцию в ряд по степеням разности (х-х). Подставив полученное разложение и гауссовскую апостериорную плотность в (1.3.5) и выполнив необходимые ус­ реднения можно получить различные алгоритмы оптимальной фильтрации в гауссовском приближении. Наиболее простой из них, получивший в литературе название «расширенного фильтра Калмана», описывается уравнениями:

только видом уравнения (1.4.1), описывающего изменение вектора состояния х, и не зависит от формы сигнала s(l,t), т.е. от структу­ ры наблюдаемых данных. Отмеченное свойство оптимального из­ мерителя остается справедливым и при решении других задач оптимальной фильтрации в гауссовском приближении. Так, на­ пример, если фильтруемый процесс описывается нелинейным уравнением (1-3.1), то при гауссовском приближении изменится лишь структура сглаживающего фильтра, в котором вместо F(t)x следует взять f(x,t).

Учитывая этот факт при решении практических задач синтез оптимального дискриминатора и синтез оптимального сглажи­ вающего фильтра можно проводить раздельно, комбинируя их по­ том в соответствии с структурной схемой рис. 1.5.2. Такая мето­ дология синтеза оптимальных измерителей будет широко исполь­ зоваться в настоящей книге. В частности рассмотрим еще одно уп­ рощение, широко используемое при синтезе оптимальных сглажи­ вающих цепей (фильтров «Ф» рис. 1.5.1). Для этого вернемся к описанию дискриминатора оптимальной нелинейной системы фильтрации (1.5.6). Процесс ufl(t) на выходе дискриминатора яв­ ляется случайным. В нем можно выделить регулярную (математв

ческое ожидание U=M[uA(t)]) и случайную составляющие, т.е. представить его в виде

ufl(t)=U(\A)+i;(t). (1.5.8)

С точки зрения формирования процесса ufl(t) на выходе дис­ криминатора оптимального измерителя рис. 1.5.2 можно привести эквивалентную структурную схему его входной части в виде, при­ веденном на рис. 1.5.3.

Зависимость математического ожидания процесса на выходе дискриминатора от ошибки слежения v=X - X принято называть дискриминационной характеристикой. Качественная зависимость U(v) приведена на рис. 1.5.4. При большом отношении сигнал/шум ошибка фильтрации в следящем измерителе мала и не

Рис. 1.5.4.

выходит за пределы линейного участка дискриминационной ха­ рактеристики, которая в этом случае может быть представлена в виде

характеристики.

С учетом (1.5.9) эквива­ лентная структурная схема входной части измерителя принимает вид, приведенный на рис. 1.5.5. В этой схеме случайный процесс T](t) на вы­ ходе дискриминатора можно пересчитать ко входу эквива-

лентной структурной схемы через матрицу крутизн SA дискриминационной характеристики. При ; том эквивалентная структурная

схема всего фильтра пре образуется к виду, показанному на рис. 1.5.6. Данная схема с точностью до обозначений для матричного

Рис. 1.5.6.

коэффициента совпадает со структурной схемой на рис. 1.4.1 оп­ тимального фильтра Калмана, для которого наблюдаемым про­ цессом является

Таким образом, для синтеза оптимальных сглаживающих це­ пей можно использовать мощный аппарат теории оптимальной линейной фильтрации, подробно описанный в предыдущем разде­ ле, с учетом структуры эквивалентного наблюдаемого процесса (1.5.10).

При отсутствии (пропадании) входного сигнала в моменты t>ti уравнения для оптимальной экстраполированной оценки и матрицы дисперсий ошибок экстраполяции определяются форму­ лами (1.4.11), (1.4.12).

Все сказанное выше для задачи фильтрации в непрерывном времени остается справедливым и для дискретного времени. По­ этому кратко приведем основные итоговые соотношения.

в которой информационные параметры X сигнала отображаются в пространстве состояний вектором

х(к)=Ф(к,к-1)х(к-1)^х(к-1). (1.5.12)

Оптимальный в гауссовском приближении алгоритм фильтра­ ции имеет вид:

аз(стХэ(к),к)

Уравнения (1.5.12)-(l-5-17) описывают оптимальную нели­ нейную дискретную следящую систему, в которой, так же как и в непрерывном случае, можно выделить дискриминатор и фильтр. Для дискриминаторасправедливо выражение

где

,k)=sT(X.,k)D~1(k)[z(k)- 0,5з(Х,к)], Х =Стх. (1.5.19)

Структурная схема системы приведена на рис. 1.5.7. Так же как и в непрерывном времени, структура оптимального дискрими40