книги / Радиолокационные измерители дальности и скорости. [Т.1]
.pdfg ^ X y . u . t J = g(x,Xy,tk) + j(g(x,xy t)+uT(t)Kn(t))dt (1.2.16)
Для дискретных во времени процессов интегральный показа тель качества записывается в виде
gj(x,ху u,kT) = g(x,ху кт)+ [g(x,Ху,i)+uT(i)Ku(i)].(1.2.17)
Конкретизируя в (1.2.13) операцию математического усреднения, аналогично тому, как это было сделано в (1.2.4), (1.2.5), вводятся понятия среднего и апостериорного рисков
R(u)= J J Jg(x,xy,u,t)w(x,xy,z)dxdxydz, (1.2.18)
- с о - о о - о о
R Ps (u )= J Jg(x,xy,u,t)w(x,xy|z)dxdxy, |
(1.2.19) |
—оо "CO |
|
в процессе минимизации которых при ограничениях (1.2.8), (1.2.9), (1.2.12) находится оптимальное управление.
1.3. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
Пусть на приемной стороне наблюдается реализация случай ного процесса z(t), описываемого уравнением (1.1.4) и несущего информацию о полезном сообщении x(t). Под оптимальной фильт рацией сообщения x(t) понимают наилучшее (в том или ином смысле) его воспроизведение из наблюдаемого процесса z(t). Вос произведенное сообщение х часто называют оценкой.
Рассмотрим задачу текущей фильтрации. Как отмечалось в §1.2, в теории фильтрации оптимальность, как правило, связыва ют с квадратичной (1.2.1) или простой (1.2.2) функциями потерь. В первом случае оптимальной оценкой сообщения является оценка условного среднего (1.2.6), а во втором случае - оценка, для кото рой апостериорная плотность вероятности принимает максималь ное значение. Для нахождения обеих оценок необходимо распола гать апостериорной плотностью вероятности. Поэтому основной задачей теории фильтрации является получение уравнения, опи сывающего эволюцию апостериорной плотности вероятности. Су ществуют различные способы получения требуемых уравнений для
различной степени общности постановки задачи [67, 77]. Мы ог раничимся достаточно стандартной постановкой задачи, конкрети зируя (1.1.3), (1.1.4) в следующем виде
X = f(x,t) + Sx(t), |
(1.3.1) |
z(t) = s(x,t) + 5„(t), |
(1.3.2) |
где £x и £и “ независимые векторные гауссовские белые шумы с нулевыми математическими ожиданиями и матрицами спектраль ных плотностей Gx и GHсоответственно. Для задач радиолокаци онных измерений s(x,t) - вектор радиосигналов.
Получим уравнение для апостериорной плотности вероятно
сти W^x,t|zoj, где ZQ - реализация наблюдаемого процесса на ин
тервале времени [0,t]. Пусть проведено дополнительное наблюде ние на интервале времени 8t. Рассмотрим приращение апостери орной плотности вероятности, обусловленное приращениями 8t и 8z:
5W = w|x(t+ 81),t+ 5t|zg 8zj - w(x(t),t|z^j =
= [w|x(t+ 81),t+ 8t|zo 8zj - w|x(t), tjz^,8zj] +
+ [W(x(t), t|zo,8zj - w(x(t),t|4)] = 8Wfl + 8WH. |
(1.3.3) |
Здесь 8Wд - приращение плотности вероятности, обусловленное изменением сообщения х за время 8t, a 8WHприращение плотно сти вероятности, обусловленное приращением наблюдений 8z. При 8->0 приращение 8Wд для процесса x(t), удовлетворяющего урав нению (1.3.1), а, следовательно, являющегося марковским, описы вается уравнением Фоккера-Планка-Колмогорова [77]
dW„ |
(1.3.4) |
где
Й М И + -1 ~
) } 2 u% 1dxi dxi
дифференциальный оператор Фоккера-Планка-Колмогорова.
В работе [78] показано, что при 5-»0 приращение плотности вероятности 5WHописывается соотношением
dWH= 5ф (хi;), - F(()(x,t)w|x,t|zo)dxJ w|x,tzp)dt, (1.3.5)
в котором Fф(х,1)=вт(х,t) Gj,1 [z(t)-0,5s(x,t)].
Подставляя (1-3.4), (1.3.5) в (1.3.3), получаем интегродифференциальное уравнение, которому удовлетворяет апостери орная плотность вероятности:
w(x,^)=l|w(x,l|4|+ F$(x,t)- JF$(x,t)wjx,ijzojdx w(x,tjz‘).
—00
(1.3.6)
Начальное условие для уравнения (1.3.6) имеет вид
W(x(0),0|0)=W(x(0)), |
(1.3.7) |
где W(x(0)) - априорная плотность вероятности распределения со общения х.
Уравнение (1.3.6) в общем виде не имеет аналитического ре шения. Поэтому для решения практических задач используют те или иные аппроксимации.
Рассмотрим задачу экстраполяции. В радиолокационных из мерителях такая задача возникает при пропадании полезного сиг нала. Полагая в (1.3.6) z(t')=0 при t’>t, получаем уравнение для
плотности вероятности W8(x,t’|zo) экстраполированных значений сообщения
Wa(x,t'm = L(Wa(x,t'|z^), f>t |
(1.3.8) |
с начальным условием |
|
Wa|x,ьЩ =w|x,t|z£j, t’=t. |
(1.3.9) |
Таким образом, в режиме экстраполяции эволюция плотно сти вероятности определяется априорным уравнением Фоккера- Планка-Колмогорова для сообщения x(t).
При синтезе дискретных систем фильтрации будем полагать заданными дискретные уравнения состояния и наблюдения
x(k+l)=f(x(k),k)+k(k), |
(1.3.10) |
z(k)=h(x(k),k)+$H(k). |
(1.8.11) |
Обозначим последовательность z(l), z(2), |
..., z(k) через z f . |
Получим рекуррентные уравнения для |
апостериорной плотности |
w|x(k)|z^j. На основании правила умножения вероятностей за
пишем
w(x(k),z(k)|zt-1) = w(z(k)|z^1 x(k))w(x(k)|z^"1) =
= w(x(k)|zik-\z(k)jwjzfk)^"1j .
Отсюда апостериорная плотность вероятности
W| |
(1.3.12) |
W ‘ ) -
Так как наблюдение z(k) при фиксированном x(k) зависит лишь oi
шума £и(к) и не зависит от предыдущих значений |
, то |
w|z(k)zi_1,x(k)j =w(z(k)|x(k)).
Поскольку плотность вероятности w|z(k)|z|~1j не зависит явно су\
сообщения х, то она является несущественной для последующей синтеза и ее можно включить в нормировочную константу «с*». ( учетом этого соотношение (1.3.12) можно записать в виде
w(x(k)|zij =сх w|x(k)|zjf_1JW(z(k)|x(k)). |
(1.3.13) |
Условная плотность вероятности w|z(k|x(k)j очевидным об разом определяется из уравнения наблюдения (1.3.11), а плот ность вероятности w|x(k)|zi_1j для марковского процесса x(k) оп ределяется известным уравнением
= J w|x(k-l)zi-1jw(x(k)|x(k-l)jdx(k--l), (1.3.14)
где переходная плотность вероятности w(x(k|x(k- l)j может быт: найдена из уравнения (1.3.10) для сообщения х(к).
Таким образом, уравнения (1*3.13), (1.3.14) позволяют рекуррентно вычислять значения апостериорной плотности вероятности на k-м шаге по соответствующему значению той же плотности ве роятности на (к-1)-м шаге. Данные уравнения решаются при на чальном условии (1.3.7).
Так же как и для непрерывной задачи, уравнение эволюции апостериорной плотности в режиме экстраполяции получаются, если положить z(k'H) при k’>k. При этом уравнение (1.3.13) пре образуется в тождество, а уравнение (1.3.14) принимает вид
W 3(x(k')|Zlk) = J |
W 3(x (k '- l)|zk) w (x(k')|x(k'- l ) ) d x ( k '- 1), |
k’>k |
(1.3.15) |
с начальным условием W8|x(k'- l|zij = w|x(k)jzi j в момент време
ни k’-l=k.
Полученные выше общие уравнения, описывающие эволюцию апостериорных плотностей, будут использованы в последующих разделах книги для решения частных задач.
1.4. АЛГОРИТМЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ
1.4.1. Непрерывные алгоритмы фильтрации
Интегро-дифференциальное уравнение для апостериорной плотности вероятности (1.3.6) в общем виде решается лишь в ча стном случае, когда сообщение описывается линейным дифферен циальным уравнением
x(t) = F(t)x(t) + B(t)u(t) + $x(t), |
(1.4.1) |
с начальным условием х(0), являющимся гауссовской случайной величиной с нулевым математическим ожиданием и матрицей дисперсий Dx(0), при условии, что уравнение наблюдений
z(t) = H(t)x(t) + ^(t) |
(1.4.2) |
также линейно. В (1.4.1): u(t) - детерминированная функция вре мени.
В [67, 77] показано, что при выполнении условий (1.4.1), (1.4.2) общее решение уравнения (1.3.6) описывается гауссовской функцией
где x - оценка (1.2.6) условного среднего, для которой справедли во дифференциальное уравнение
х = Fx + Ви+ Кф[г- Нх], |
х(0) = х(0); |
(1.4.3) |
Кф= DHrT/1G'_1,- |
|
(1.4.4) |
D=FD+DT -M fG :1HD+Gv |
D(0)=D0; |
(1.4.5) |
где D = м|(х - х)(х - x)Tj - матрица дисперсий ошибок фильтрации,
и для простоты опущена зависимость всех векторов и матриц от времени.
Уравнения (1.4.3)-(1.4.5) описывают оптимальный линейный фильтр, который в литературе получил название фильтра Калмана. Как показано в §1.2 оценка условного среднего х минимизи рует квадратичную функцию потерь (1.2.1). Следовательно, фильтр Калмала формирует оптимальную оценку сообщения, ми нимизирующую дисперсии ошибок фильтрации компонент сооб щения x(t).
Уравнение
(1.4.3) |
описывает |
||
линейную |
неста |
||
ционарную |
|
сле |
|
дящую |
систему, |
||
структурная |
схе |
||
ма которой при |
|||
ведена |
на |
|
рис. |
1.4.1, |
где |
Кф - |
|
матричный коэф |
|||
фициент |
усиле |
||
ния фильтра. |
^ис* 1*4*1* |
||
Анализ (1.4.3)-(1.4.5) позволяет сделать следующие выводы. В процессе фильтрации выполняются две операции: прогнозирова ние
х = Fx + Ви |
(1.4.6) |
оцениваемого процесса, осуществляемое по детерминированной части модели (1.4.1), и коррекция результатов прогноза
К ф (г-Н х). Корректирующая поправка зависит от невязки изме рений
(1.4.7)
называемой также обновляющим процессом. Невязка измерений характеризует степень несоответствия результатов прогноза на блюдения Нх, вычисляемого по детерминированной части (1.4.2) и конкретного измерения z.
Реализация алгоритма (1.4.3Н1-4.5) требует решения в ре альном времени системы из
(1.4.8)
дифференциальных уравнений. В (1.4.8) первое слагаемое опреде ляет количество уравнений самого алгоритма оценивания (1.4.3), а второе - количество уравнений, необходимых для вычисления ко эффициентов симметричной матрицы дисперсий ошибок фильтра ции (1.4.5), знание которых является обязательным для вычисле ния коэффициента усиления (1.4.4) невязок. Отсюда следует, что сложность вычисления коэффициентов усиления невязок намного превосходит сложность самого алгоритма оценивания. Это явле ние, известное как «проклятие размерности», является характер ными для многих видов оптимальных систем.
Для стационарных процессов (1.4.1) и (1.4.2) матрица D мо жет быть сформирована заранее, что позволяет существенно упро стить процедуру получения оптимальных оценок. В общем случае с течением времени дисперсии D^; i = 1, п уменьшаются от перво начальных больших значений D^O) до существенно меньших в ус тановившемся режиме. Это обусловливает уменьшение коэффици ентов (1.4.4) усиления невязки и снижение корректирующего влияния измерений.
Начальные условия для (1.4.3) и (1.4.6) задаются с учетом первоначальной неопределенности оцениваемых фазовых коорди нат. При этом можно использовать различные приемы. В про стейшем случае х(о) = х0 выбирается как среднее из всех возмож
ных значений
x0 = 0,5(xmln+xmax). |
(1.4.9) |
Начальные дисперсии ошибок можно определить по формуле
D «(0) = K lm» ax. x - x , M11) V l 2 . |
(1.4.10) |
соответствующей дисперсии равномерного распределения случай ной величины X* на интервале [ximin,
Уравнение оптимальной экстраполяции |
|
||
x^ t) = |
+ B (t)u(t), |
t> ti |
(1.4.11) |
с начальным условием хэ(Ч) = *(*i) |
получается из (1.4.3), если в |
||
нем положить Az(t)^0 при t>tle
Из уравнения (1.4.11) следует, что оптимальный экстраполятор воспроизводит «регулярную динамику» полезного сообщения x(t) в соответствии с априорным уравнением (1.4.1).
Уравнение для матрицы дисперсий ошибок экстраполяции
можно получить следующим |
образом. |
По определению |
D3(t) = М^(х - х8)(х - х8)т]. Тогда |
|
|
6 Э= М^(х - х э)(х - х э)т + (х - |
х 8)(х - |
х э)Т] . |
Подставляя в это равенство уравнения (1.4.1), (1.4.11) для произ водных х и х8 и выполнив усреднение, получаем
D a = F(t)D3 + D aF T(t) + G x , D , ^ ) = % ) , t> tj. (1.4.12)
Наряду с представлением оптимального линейного фильтра в форме следящей системы с отрицательной обратной связью (1.4.3) часто используется другое представление - в форме неследящего оптимального фильтра Винера. Известно [50], что любая линей ная система может быть описана импульсной характеристикой g(t,x), которая представляет собой отклик системы при входном воздействии в виде дельта функции 8(т). При этом выходной сиг нал y(t) физически реализуемой системы (для которой g(t,T)=0 при
Кт) для произвольного входного воздействия z(t) описывается вы- t
ражением y(t) = j g(t,x)z(i)dT. Тогда для t>0
-00 |
|
y(t) = Jg(t, T)Z(T)(IT , y(0)=0. |
(1.4.13) |
0 |
|
При векторных входном z(t) и выходном y(t) сигналах им пульсная характеристика фильтра является матричной функцией.
Положим (для простоты) в (1.4.1) n(tH). Тогда для оптималь ного линейного фильтра (1.4.3) с нулевыми начальными условия ми можно записать представление в форме (1.4.13), т.е.
28
t |
(1.4.14) |
x(t) = Jgo(t,T>(T)dT, x(0) = 0, |
|
0 |
|
которое в литературе называют фильтром Винера. Можно пока зать [52] что
g0(t,x) = 0(t, X)D(T)H T(X)G „(T) , |
(1.4.15) |
||
где |
- фундаментальная матрица (матрица импульсных ха |
||
рактеристик), вычисляемая в процессе решения уравнения |
|||
^ ^ |
= [f(t)-D(t)ir(t)G„(t)H(t)]®(t,x), «(t,t) = E, (1.4.16) |
||
где Е - единичная матрица. |
|
||
Структурная схема фильтра Ви |
|
||
нера приведена на рис. 1.4.2. |
|
||
Для |
стационарных процессов в |
|
|
установившемся режиме фильтр |
|
||
Винера может быть описан коэффи |
Рис. 1.4.2. |
||
циентом |
передачи с постоянными |
||
|
|||
параметрами. Методика определения такого коэффициента переда чи описана в [50].
1.4.2.Дискретные алгоритмы фильтрации
При описании процессов в дискретном времени априорные уравнения для сообщения и наблюдаемого процесса имеют вид:
х(к) = ф(к,к- 1)х(к-1)+ В(к- l)u(k-1)+ Цк-1), |
(1.4.17) |
2(к) = Н(к)х(к) + £и(к), |
(1.4.18) |
где £х(к-1), £и(к) - независимые центрированные белые гауссовские шумы с матрицами дисперсий Dx и DHсоответственно.
Уравнения оптимального дискретного фильтра Калмана полу чаются аналогично уравнениям непрерывного фильтра и имеют вид:
*(к) = хэ(к) + Кф(к)[г(к) - Н(к)хэ(к)], х(0)=х0; |
(1.4.19) |
*9(к) = Ф(к,к - l)x(k -1) + в(к - l)u(k-1); |
(1.4.20) |
йф(к) =П(к)1Г(Ц1^1(Ц =Е^(к)ЕЕг(Ц(ои(^ +^к)ц(^Вт(к))''1; (1.4.21)
D„(k) = «(к,к- l)D(k-1)Фт(к,к- l)+Dx(k-l); |
(1.4.22) |
1)(к)=(Е-Кф(к)Н(к))Вэ(к), D(0)=D0. |
(1.4.23) |
Здесь х(к) - текущая оценка состояния, х„(к) - экстраполирован
ная оценка состояния, Кф(к) - матрица коэффициентов усиления фильтра, D(k) - матрица дисперсии ошибок фильтрации, Dd(k) матрица дисперсий ошибок экстраполяции. Как следует из приве денных соотношений, дискретный алгоритм оптимальной фильт рации включает экстраполяцию на один такт (1.4.20) оценки со стояния, полученной на предыдущем шаге, с последующей кор ректировкой с весом Кф(к) экстраполированной оценки «разност ным сигналам», называемым в литературе невязкой измерений.
Невязка
Az(k) = z(k) - H(k)xa(k) |
(1.4.24) |
представляет центрированный гауссовский процесс с дисперсией
D*(k) = D„(k) + H(k)D3(k)HT(k). |
(1.4.26) |
В случае отсутствия наблюдений при k>k* рекуррентное урав нение для экстраполированной оценки аналогично уравнении (1.4.11), т.е.
х8(к) = ф(к,к - 1)хэ(к -1) + в(к - l)u(k - 1), |
(1.4.26) |
с начальным условием хэ(к - 1) = x(ktj при (k-l^kj). Уравнени
для дисперсии ошибки экстраполяции для к>кг имеет вид
Ц(к) = Ф(к,к- 1)вэ(к- 1)Фт(к,к-1) +Dx(k-1), D8(k-l)=D(k!),
(1.4.27
при k-l=kj.
Пример 1. В задачах радиолокационных измерений в качеств дискретной модели фильтруемого процесса часто используют щи цесс второго порядка
*i(k) = хх(к - 1)+ Tdx2(k -1),
(1.4.28)
х2(к) = х2(к -1) + ^ (к -1 ),
который получается из (1.4.17) при Ф = 1 Td , где Td - шаг ди< 0 1
кретизации. При наблюдениях 30