книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ
..pdfПервая часть этой функции отвечает решению, полученному
разложением в ряд |
по степеням х~п основного решения; за осно |
||||
ву берется решение |
для мембраны. Найденное решение может |
||||
быть |
применено |
к |
средней части |
пластины и |
не подходит для. |
краев |
пластины. |
Функция G(x, х) |
представляет |
собой поправку* |
|
которая учитывает граничные условия (6.140). Эта' поправка важ на только для областей, близких к границе, для так называемого пограничного слоя. Ширина пограничного слоя не должна стре миться к нулю при х —*■оо. Введем переменную
Р = х (1 — * )= |
ту, 0 < р < х . |
(6.142) |
||
Тогда выражение (6.141) можно записать в виде |
|
|||
С(х, у) = тСо (1 - (3/т) + |
Ci (1 - |
р/х) + |
x->Ç2 (1 - |3/х) + ... + |
|
+ Go(P) + x - ^ i (P) + x“ 2G2(P) -f |
(6.143) |
|||
Аналогично: |
|
|
|
|
/V1 = х2$о(1 — р/х) + |
TÊI (1 — р/т) |
Ç2(l — Р/х) + |
... + |
|
+ хЯ0(Р) + |
Я 1(Р) + х -‘Я2(р) + |
|
||
Я2— X2TJO (1 —■р/х) + -Х101 (1 — Р/х) |
TJ2(1 — Р/х) + . . . + |
|||
+ х/о(Р) + |
I\ (Р) Ч -х-1/ 2(Р) + |
(6.144) |
||
Здесь Hi (Р), //(Р) — функции, |
достаточно быстро |
затухающие |
||
при удалении от границы, другими словами, когда р становится
сколь угодно большой, эти функции стремятся к нулю. |
Переходя |
||||||
Подставим (6.143) |
и (6.144) |
в уравнение (6.114). |
|||||
далее к пределу- |
при |
х -><»,. найдем уравнения нулевого при |
|||||
ближения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2G0 |
|
|
0; |
|
|
|
|
+ 3 ( l - O S o ( l ) ^ |
|
|||
|
|
|
~df |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(6.145) |
Граничные условия |
примут вид: |
|
|
|
|
||
Go (0) = 0; |
— С?2(0) — h(c) = 0; /о (0) = 0, |
G'0(оо) |
0; |
||||
|
|
|
Я о (оо) = 0. |
|
|
(6.146) |
|
Из (6.145) с учетом |
(6.146) находим: |
|
|
|
|||
|
= |
—h(с) ег-Ч; |
О, => i f |
(e-W - |
1 ); |
|
|
|
|
|
Яо(Р)=*0; |
/о (P) = |
0, |
|
(6.147) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J - O |
- v V f e ) . |
|
|
|
1п
Первое приближение дает также уравнение и граничные условия ♦(при х->- оо):
|
d2H, |
, , dQ0 |
i fdGÀ2 |
|
|
|
|
|
+ |
( ж ) |
|
“ 0; |
|
d?G |
|
|
|
|
= 0; |
|
w + |
T |
) + 3 ( 1 - |
* [ 5° O ж +El о |
ж |
||
|
||||||
|
|
/ , _ |
_2 — • |
|
(6.149) |
|
|
|
71 — |
L ^ ’ |
|
|
Ci (0) s= 0, |
—G,'(0) + 2c5/i(c)=0, |
Й(оо), |
Я ,(о э)= |
0; |
|||||||
/i (0) + [(1 - |
v)/i (c) + |
2c/; (c)] B = 0. |
(6.150) |
||||||||
Проинтегрировав уравнения (6.149) c граничными условиями |
|||||||||||
(6.150), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.ft - - |
(1 - |
tr*V)p |
4 |
eft4(c) Y (C)/i (c) + |
4 h(c)] - |
|
|||||
— [ y eft4 (c) y (c)fl (c) — J |
A (c)] Y |
|
T h (c) P2e~xp; |
||||||||
#, = |
^ |
e- xP - ^ |
e |
- 2^, |
|
T (c) Л2 (c). |
|
||||
|
/ , —2 ^ ^ e*”xP__ —- |
^ e~2Xp» |
|
|
|||||||
|
11 ■" ^ 1 2 ^ |
|
|
|
2 |
X |
|
|
|
||
|
Y (c) = |
[(1 + |
v)/, (c) 4* 2c/i (^T*- |
|
(6.151) |
||||||
Прогиб и мембранные |
усилия: |
|
|
|
|
|
|
||||
С(х, t) = т [g (c)— xg(ex)] — j t ( c ) h 2 (c)№ (cx) — & (c)ï + |
|||||||||||
|
+ Ш (е-И1-*> — 1) -f O |
|
|
|
|||||||
|
|
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7?,= T2 f i / ( « ) + |
*/'(«<>] + |
|
|
|||||||
+ ' { - S T WA’W & I И |
+ |
|
|
+ |
|
||||||
+ ;* ! Мс- м |
м |
_ |
|
5 ÿ e-a.(i-*>} + |
° (^ ) . |
|
|||||
W2 = |
£ |
f(cx)- * | |
T(c)h?(«) + |
/■ И |
+ ° ( ,0>- |
(6.152) |
|||||
|
|||||||||||
Прогиб в центре пластины |
|
|
|
|
|
|
|||||
C(0) = |
xg{c) -\’ ^ f( c ) h i (c)gi (c)-*- |
+ |
° ( v l)* |
(6,153) |
|||||||
|
|||||||||||
Этот прогиб легко подсчитать: пользуясь зависимостью v |
от с, |
||||
находим для заданного v величину с, а далее находим |
функции |
||||
g (с), gi{c), h (с). |
соотношение (6.153) относительно |
t и |
|||
Разрешив |
последнее |
||||
использовав |
обозначение |
для |
т из (6.104), для случая |
v = 0,3 |
|
получим |
|
|
|
|
|
|
0,611С3(0) + |
0,01850С2(0) + 0[С(0)]. |
(6.154) |
||
Аналогично могут быть по формулам (6.152) и (1.101) подсчита ны тангенциальные и изгибные напряжения:
ô,M (0)= 1,O10C2(O)-O,454Ç(O) + O[Ç(O)1;
о,м |
(1) - |
0.780С2 (0) - |
0,735С (0) + |
О[С (0)1; |
|
ô,„ |
(0)= |
1,264С2 (0)— 0,606С(0) -h О[С (0)]; |
|
||
Ô,H (1) = |
3,680С2(0) + |
1.987С(0) + |
О[С(0>]. |
(6.155) |
|
Полученные данные хорошо согласуются с экспериментальными
данными Макферсона и других авторов.
Как известно [74], линейная теория для данной задачи дает
Ш = 64£^<'-,- в2)2' |
(6-,56) |
Переходя здесь к безразмерным координатам, для г = 0 (лг = 0) находим
1 р = С ( 0). |
(6.157) |
Мембранная теория, как нетрудно проверить, дает выражение
i p = = 0,611Ç3(0). |
(6.158) |
Глава 7
МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧ
КОДНОМЕРНЫМ
1.ИДЕЯ МЕТОДА ПРЯМЫХ
Метод прямых является одним из методов, которые позволяют привести двумерную задачу теории оболочек к одномерной путем замены производных по одной из координат конечными разностями. Метод применяется, как правило, .для областейпрямоугольной формы.
Идея метода заключается в следующем. Выбираются восемь неизвестных разрешающих функций (в соответствии с порядком основной системы уравнений), относительно которых можно сфор-
мулировать различные граничные условия. Такими переменными в теории пластин и оболочек являются перемещения и, v, ш, угол
поворота Ь\, нормальное Ni, обобщенное перерезывающее Qi, обоб
щенное сдвигающее Si усилия и изгибающий момент М\. Систему исходных уравнений и соотношений теории оболочек: уравнения равновесия, уравнения совместности деформаций, соотношения упругости — приводят к нормальной по одной из независимых переменных форме. Затем частные производные по другой пере менной заменяются с помощью формул численного дифференци рования. В Зависимости от способа замены производных получают те или иные системы нелинейных обыкновенных дифференциаль ных уравнений метода прямых. Далее эта система решается одним из известных методов (см гл. 3 — 5), чаще всего применяют метод квазилинеаризации. Линеаризованные уравнения на каждом этапе решают методом Дискретной ортогонализации Годунова [16, 30].
Ниже изложим метод прямых для определения напряженнодеформированного состояния оболочек вращения с переменной в двух направлениях жесткостью.
2. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МЕТОДА ПРЯМЫХ ДЛЯ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
Рассмотрим деформацию тонкой ортотропной оболочки с коор динатной поверхностью в виде поверхности вращения с перемен ной в двух направлениях жесткостью, предположим; что оболочка находится под действием неравномерных поверхностных и краевых нагрузок и неравномерного температурного. поля..
Уравнение срединной поверхности в декартовой системе коор динат, ось oz которой совпадает с осью вращения оболочки, имеет вид
х = |
r(s) cos 0, г/ = |
г (s)sin0, z = z(s), |
(7.1) |
где г (s) — радиус |
параллельного |
круга; z (s) — расстояние |
по оси |
вращения от начальной плоскости; s — длина дуги меридиана, 8 — центральный угол в параллельном круге.
Приращения дуг координатных линий (меридиана и параллели)
в этом случае |
будут: |
|
|
|
|
ds = Rid<?’, |
dl = |
sin çdô = rdb, |
(7.2) |
где <р— угол |
между осью |
вращения и нормалью к оболочке; Ri |
||
и #2 — главные радиусы кривизны, причем Ri = Ri (s), R 2 — Rz(s)- ^ Однако длины координатных линий, как известно [58], связаны
соотношениями:
ds = Ada, dl — Bdp. |
(7.3) |
»
Исходя из (7.2) и (7.3), положим:
a = s; (3 = 6; А — 1; B = # 2 sincp = r. |
(7.4) |
Для вывода основных уравнений метода прямых в качестве исходных примем уравнения (1.83), полученные при х — 0.
Соотношения Кодацци в этом "случае запишутся в виде
4 - = coscp. |
(7.5) |
С учетом (1.70), (7.4), (7.5) уравнения |
равновесия (1.83) при* |
|||||
мут вид: |
|
as |
|
|
|
|
drNx |
|
|
1 |
дН |
= —rqi; |
|
“5Г |
+ '3Ô— |
cos 9^2 + |
дО |
|||
. |
1 |
dr2S |
+ |
ds9 (sin<ptf) + |
l0Sf |
H + - J Ç = —W |
ав |
т |
ds |
||||
|
Ni |
N2 |
i l arQ, |
dQ2\ _ |
||
|
|
Л, + R2 |
r \ à s + d0 y Qv |
|||
|
|
drM. |
|
ян |
|
_* |
|
|
ds |
|
---- cos <pM2 — rQi = 0; |
||
|
|
|
|
|
|
|
dM |
JL. 1 |
dr*H |
—1 |
|
|
ae |
' r ds |
|
Q; = Q , _
rQl = 0;
+ (т|г + - ^ ) я ] |«
<3, = Q i — (jVa + |
» i — ( s + ( - i - + - ^ -jw ]9 r , |
(7-в) |
Соотношения для деформаций (1.65) запишутся следующим об разом:
|
диг |
. |
duz |
1 |
п2. |
е, = cos(p-^---- sm cp-^-4-т |
|
»ь |
|||
62 = |
( * |
+ |
* ) + |
* |
* |
|
|||||
Ш= г
л |
1 f |
диг |
|
(7.7) |
8г= — H sintp-«- ~р |
Y ' |
|||
где «2, ит— осевое и радиальное смещения. |
|
|||
Последние связаны с перемещениями и, v зависимостями |
|
|||
|
ur = |
cos<pu -f- sin<po>; |
|
|
|
Uz — —sin (pH + |
COSсрW. |
(7 .8) |
|
Иногда составляющие вектора перемещений иг, иг более пред* почтительны.
Соотношения упругости ортотропных оболочек, согласно (1.145) и (1.150), имеют вид:
N\ = С\\ (б) + |
V2Ê2) — N \ T \ |
N2 = |
(?22 (®2 + v I 6 l) — |
N 2Т\ |
|||
|
|
|
S = С66<|>; |
|
VlX|) — М 2Т] |
||
М \ —D П (*1 + |
V2*2) — М\т\ |
М 2= |
D22 («2 + |
||||
где |
|
|
Н = 2£>ббх, |
|
|
(7.9) |
|
|
ft/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NI T = |
jl |
5ц (ajr + V2a2r) Tdf] |
|
|
|||
|
|
—h/2. |
|
|
|
|
|
|
|
h/2 |
|
|
|
|
|
M \T = |
J |
B\ \ (air + |
|
|
|
||
|
|
-h/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 , |
2); |
|
|
(7.10) |
Su = — |
|
> B22 = |
|
= G; |
|
||
CU= |
Bah, |
Djj = |
|
(/ = 1, 2, |
6,); |
(7.И) |
|
ai г, агт — коэффициенты линейного теплового расширения в нап равлении координатных'линий; Т — температура оболочки.
В качестве основных разрешающих функций выбираем функ
ции: иг, v, |
иг, |
d], |
N 1, |
Si, |
QI, MI, где |
|
|
|
|
|
|
|
Si = S - f |
2Я |
|
|
|
|
|
|
R 2‘, |
|
|
й |
- |
в |
н - |
^ |
- д а |
+ г ^ - с о . ^ , ] . |
(7.,2) |
Именно через эти функции могут быть сформулированы раз личные граничные условия на крае s = const.
Из. уравнений равновесия получаем следующие уравнения:
WV1 |
COS<p . . . |
дт ч I aS, . |
2sm <р |
дН |
|
|
+ |
г2 |
00 ~ |
+ W (N‘ + "Sr) + Р1+ (яг ~ ^ ) Я ] 4 —
dSl |
1 dNz |
^2 , sin«p ЭЯ |
, |
2cosy ц |
2cos<p ?, |
ds “ — |
“S ---- -R7 + -T " |
+ |
'R, |
— S' - K |
|
* -* « * )+ * + £ -‘ +*[(*'+тЬ+ |
|
ds |
|
+ s * + ( - в ;— Й » * • ] + ^ К * 1 + " т ) * 1 + S A |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
2 dH |
|
|
dM1 = - ^ ( М , - М 2) - т ж + < ? .- |
|
||||||||
ds |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- [ ( W' + T r ) 8 i + S '82+ |
|
|
|
|
|||||
<s - <ь - |
(-v *+ ж |
) 92 ' |
s ,e ' “ (*г • - * ) т |
|
|||||
|
|
1 |
дМг |
1 dr2H |
|
(7.13) |
|||
|
|
«* = 7 " Г |
+ ?2 |
|
ds |
’ |
|||
|
|
|
|
||||||
Соотношения |
упругости |
(7.9) |
разрешим относительно е„ », |
||||||
*1, N2, М2, Н. Получим: |
|
|
|
|
|
|
|
||
6i = |
|
|
|
|
'• |
“ = c«i(Si— 2 R2); |
|
||
|
(Ni -b N IT)-" V262» |
|
|
|
|
||||
« .“ BTTW + |
A J i r ) - ^ ; |
|
N> = E M |
+ |
' N , - ( N n - n N u ) \ |
||||
М г = Щ . XJ + |
|
n M, - (MÎT - |
ъМхт); |
|
|||||
|
|
H = 2Dt t ( .!, + |
^ |
) ' |
|
<7I4> |
|||
где |
|
|
i |
a», |
|
i |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
(7.15) |
||||
|
|
X2I = 7 |
|
+ 7Г |
dO' |
|
|||
Из второго |
соотношения |
(7.14) с учетом (7.7) имеем |
|
||||||
|
|
" 12= c b '(S l“ |
2 ^ ) |
— 0,“2' |
|
||||
С помощью |
|
шестого равенства (7.14) из последнего находим: |
|||||||
(>+- щ ) н “ 2£>и(«2i- |
^ 8,92+ w |
|
|||||||
, _*1\ |
1 о JL » 2 1 — »1»2- |
<7-'в) |
|
('1 + l H r i2 = c n s ' - W |
21 |
|
|
Оставаясь в рамках тонких оболочек, пренебрегаем величиной
по сравнению с единицей. Получим:
ш,2 = |
Si |
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
или, G учетом (7.15): |
|
|
|
|
( 1 5ul |
, |
_L £Ü |
||
Я = 2Я66\ r |
as |
^ |
r2 |
ao |
S, |
h2 |
(-L ÏL + |
||
0012 = ~п----- |
1 |
|||
'66 |
Qï со |
Vг ao |
^ |
|
|
MC |
|
|
|
(7.17)
Si |
«2 j |
^2^*66 |
|
1 ди г \ |
-Ü 1O2; |
r2 50 У |
du . |
du , |
дг !— T (sincP“ôTÎI |
(7.18) |
+ costP' ÔO -Sincpü')• |
Из уравнений (7.13) и (7.14) исключим функции Q2, Л4г, N 2, величины 62, «г, О2 заменим их -значениями через перемещения, а функции Н и 0)12— их выражениями (7.18).
Окончательно находим:
% |
=C0S,f[c7;(w' + |
л,'1 - ) - - г ( з г + |
|
|
^ ( sinT |
^ |
+ |
||||||
|
|
|
du, |
|
\ 2 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
4- cos <р-щ---- sintpüj J —sin cp&! —•2 cos <pdf; |
|
|
|
|||||||||
¥ |
:---- sin 'f [c ^ (JV| + |
Wlr) ~ "Г (ж |
+ |
|
~ |
-p : (sin f -Ж- + |
|||||||
|
|
|
du |
|
\ 2 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
+ |
C0s 'p‘ ô6---- s in t P°J J — |
c.oscpdi + |
ysincp&i; |
|
|
|
||||||
dv |
I |
c°s ? |
! .. |
dur |
f l |
d»i |
- |
1 |
диг |
|
|
|
|
w |
<66 |
r |
г |
dû |
SR, |
[ r |
ao |
"i" rz ao . |
1 |
5и„ |
|||
|
|
, | |
J . |
|
du |
|
du , |
|
|
\ |
|
|
|
|
|
+ T |
lsin * "âT + cos ? ~âô— |
|
sin ?®)î |
|
|
|
|||||
Ô»! |
Dil (M\ + |
M IT) + |
-Д- ^siri cp |
|
-f cos tp |
d \ , |
|
|
э*Л |
||||
HT |
|
|
|
||||||||||
|
aa2 |
sin{P - â ô j- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
------ cos |
|
|
|
|
|
|
|
(7.19) |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
dNx |
(1 |
v2) cosy jy |
1 âSj |
^1 1 |
|
C0S(P17 U ( |
dv |
. |
\ . |
||||
ds
Ri + ~ ^ ~ E2hydiï + Ur]~^
+ |
T |
- x ( !to * |
T + C0Sf^ - S i H |
+ |
+ |
ж |
( г ж |
+ - 7 % )]'+ *7 iN ' + |
T?r) |
^1
S, Д / . du,
rK{ \R { |
K2 / \ r |
u» |
^ j ( |
sm ? T r + |
||
диг |
диг |
|||||
duz |
|
\ |
2D66 |
|||
|
|
Ж |
||||
+ COS <P “ô T - |
Sin cpoj - |
R 2 f2 ^ |
|
|||
—sincpo^ — (N2T
£ |
- - |
Т |
ы |
[ |
Щ+ “ ') +% « * ' - C.V.r-i*W,r» + |
|||
|
Eoh |
l |
диг |
диг |
J \2] |
2cos ? j, |
||
+ |
- 5 r ( sin<Pâ5- + |
COSÏe Ô ~ 5m‘p0) J |
T |
S ' ~ |
||||
|
_1_ |
A Г |
£ 9й 3 ( |
д \ |
д \ . |
ô ü \ . |
||
|
I |
|||||||
|
/■ £0 |
|
|
|
+ '“ " « ‘ “ “ “ ' И Г |
|||
|
E h 3 cos ?ih + V2M 1 — (Mvr — V2-^Wir)1I— 92— |
|||||||
1 |
[EJi/dv |
. |
\ , |
E2h ! . ди |
|
диг |
. \ 2 |
|
Щ i“ |
Ы |
+ |
7 + |
^Ь (&Ш^ ao- + |
cos ŸЖ ~ |
sin **7 + |
||
" |
/,r |
I / |
дм, |
4 |
|
||
+ УйЛ^! — (#2T — V2# |
IT )] (sin <p ■ |
||
я2
5zu, r E2hz ( . d\ , ^ 4 ^ ( s m , - 2 + c o sc p ^
|
диг |
. |
i |
+coscp ^ |
—sm ?^ |
||
|
|
|
")* |
. |
\ |
E2h? |
|
sm<?vJ + |
-jfyrCOS<i>' |
||
rR? |
i ^ |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
i l |
|
|
dur |
. диг |
. |
\ |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
||||
+ V2M i — (M 2T |
vaAlir)1/(siny вг + |
С05’’ж |
- * **> ]+ * |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
ft2 |
A |
, |
|
|
|
|
|
|
|
•w ;Sl + |
||
|
|
2Dftfi |
/ |
5Mu, |
|
ÔM,du, |
sin ©Ü]]; |
|
|
|
+ T*2 0, |
(sin9-55 |
+ COS?ж |
|
|||||
|
|
6PA. I c |
m -- - |
L r>r»0«>-- 2 |
|
|
|
||
5$i |
ЛГ, |
|
|
(1—v2)cos? |
Af,\ |
|
|
||
|
|
|
|
i ( |
Mi |
|
|
||
|
% |
|
|
|
|
\ N' + - i |
|
|
|
J79
_ i 2 |ï - S I (sin t Щ + cos <P — sin T») —
. |
U - |
- |
щ ! (sin f + cos <p) |
+ |
T 1 |
S - |
||||
(sin <p ^ |
+ |
co s< p '^ - |
Sin ï» )] (sin Г i r + |
cos » Ж |
||||||
+ ^ (sin ï То + |
cos<p' ^ |
~ |
Sin *")] (Sin т Ж |
+ |
cos т Ж |
|||||
+ № |
*. |
/~ |
* |
\ |
% |
E*u ! |
да_ |
|
p_ |
_ |
$ |
+ |
) + |
; (•*» |
+ |
c°s ^ |
- |
||||
•N2 L -
“J ' Sl +
-sin f v) + ~ sin *”) +
. \ 2 |
+ |
smTt,j |
|
sm , 0) |
+ |
+ |
V2W ,-(JV ST-V2WI,) ] + |
|
JVI9I | ( ^ ) - ^ | ( ^ - ^ |
) 9 |
IS . + |
|||||||||||||
+ |
V2N 1---{NîT" |
■---•-/j |
• |
|
|
■ • |
osy']/ |
6K2 \*4 |
|
|
|
|||||||
|
+ 9, |
|
^ |
* |
— H |
r |
+ |
|
^ |
|
® |
+ |
“') + |
|||||
|
|
|
- |
|
7 |
Т Г + т * * * © |
|
|
|
|||||||||
|
+ |
- ¥ - ^ ( s i n |
^ + c o s |
|
-s in < p o ) + |
|
|
|||||||||||
|
|
^ |
(sin » ^ |
|
+ |
COS |
1 t^ |
- |
sin va) |
|
|
|
||||||
|
4-- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ Щ * ê [ ° “ в| (sin • p w + c o s r w |
~ |
sin <pt')]- |
|
||||||||||||||
|
- ^ |
; ( sin'p^ r + c o s,’^ |
_ sin ? ,’) - , , '} + |
[^ri |
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
d2u |
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
V |
|
|
M V I / |
|
(Af-i 4- M IT) 4* •^•(sin T'-- g |
r |
+ |
|
co s ? - 3 g |
sincpuj |
|
|
|
||||||||||
r |
M - < |
‘ |
|
|
E2hz ( . |
|
d |
|
\ |
|
d |
\ |
sin |
|||||
|
|
i 2, |
\ sm 9 ~ W + C0S(?W |
|
||||||||||||||
+ * F |
|
|
|
l ^ |
|
|
|
|
||||||||||
E2hz |
|
|
|
|
"' |
|
$S,i / |
|
|
да., |
|
cos |
диг |
|
||||
+ T 2 TCOSÏ»!5çdi — {MÎT — v2M 1Tr)) |
— r |
|
|
|
^ ■90’ |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
”\S111sin? 00- + |
COS(pao* |
|
||||||
|
|
|
|
1 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ж |
|
|
du. |
|
Ml |
I ( |
|
|
|
- |
|
|
?ar + |
д Г^2£ 2 ^ fdv |
|
|||||
4 - cosf^PôT-2—- s msin ÿO4v)]}\) -+ - 2{2cosf5 j + |
|
ge[T |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ц т Ч з в |
|
||
|
|
|
|
|
£•„/1 |
/ . |
|
du, |
|
|
|
5U2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ZT2/i |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4- V2NI — (Л^2т<W<>T — voWi rl -J— |
|
|
Isin ф |
|
4“ cos cp -яг - |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
V2^ |
I r) 4- - p (sin ? w |
|
+ cos ? Ж |
|
|
|
|||||||||
+ ± 1)Г |
/7 |
1*3 |
|
|
52а3/ . |
|
|||
^ /?2д0 |
|
uZ1 |
|
|
l£r~ \ |
P |
|||
z ~~L |
||||
* Г Т |
^ Г 1* |
|||
да2Ч,\.
<7UI P +
**
д \ |
s i n ^t/i |
COS? 1P |
|
0" * |
|
4 * - f ô r cosip «fy-f. V2A1J— {M ÎT — V2M 1T — sin «p<!