Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

При X= 0 краевая задача (5.18), (5.19) сводится к задаче Коши, решение которой может быть найдено численным методом. При X= 1 приходим к исходной краевой задаче (5.1), (5.2).

Построим систему дифференциальных уравнений для отыска

ния функции х = *(Х).			соотношения				(5.18),	(5.19)	по X и учтем
Продифференцируем
при этом,	что x = x(t,		X),	лго= л:о(Х),			xi — х/(Х). Тогда получим:
				х>;	Ж = т>^
[(1 — X) Е 4- ХГо (ЛГО,		Xi)] Uo+		ХГ/ (лго,		х{) = Xo—g(x0, xi) + do-				(5.20)
Здесь приняты обозначения (5.15).							параметром		X (5.3),	(5.4)
Третий способ. Краевую задачу с
можно записать таким			образом:
^jj- = A { t) x + b ( f) + \{f(t,						*) — A{t)x — b(t)];				(5.21)
—V	-+	—► —V		1—►	—►		—►	—V	►
Вхо + Cxi +		X[g (XQ,		xi) — Вхо — Cxi — do] = — do-
При X= 0:
	=	A (t)x +		b (t);	Вхо +		Cxi =	— dc.		(5.22)
Решение линейной краевой задачи (5.22) при заданных матри-
цах A(t),	В, С и векторах b (t), do можно найти численным мето

дом, например методом дискретнойортогонализации (см. п. 2, гл. 4).

При	X— 1 приходим к исходной		нелинейной краевой задаче
(5.1) ,	(5.2).			(5.19) является
Второй способ введения параметра (5.18),
частным случаем третьего,		если В =*Е, С = 0.
Матрицы A(i), В, С		и векторы	&(/), do	выбираются так,

чтобы вектор-функции A(t)x-\-b (t) и Вхо 4- Cxi 4- do аппрокси мировали в каком-нибудь смысле соответственно вектор-функции

•—V —*	*->■	•*>	—►	в окрестности решения	краевой	задачи (5.1),
f(t,x)	и g(xо,		xi)	в окрестности решения	краевой	задачи (5.1),
(6.2)	(0 <	t <	/).	Построение указанных	матриц и	векторов н"е

является простой задачей, так как решение исходной задачи неизвестно. Поэтому удобно применять такой подход к введению параметра в задачах, близких к линейным. Например, у таких задач искомая вектор-функция может иметь главную линейную

часть и малую нелинейную		добавку:
	J(t, х) = A(t)x + b (t) 4- sifi (t , x),		(5.23)
где ei— малая	величина;	вектор-функция g(xo, xi)	имеет подоб
ную структуру,	т. е.

g(xo, xi) = Bxо -f Cxi -f- do 4- £2gi (xo»				xi),	(5.24^
где e2 — малая	величина.
Если можно определить небольшую область, в которой на
ходится решение исходной краевой задачи (5.1),				(5.2)	при каждом
фиксированном	/, то матрицы А (/), В,		С и	векторы b (/),		do
можно построить с помощью метода наименьших квадратов.						С,
Обозначим	через щи (/)* Ь»/ с» элементы матриц А (/), В,
а через &<(*),	do; — компоненты	векторов b (t),		do.	Выберем	в
указанной области т точек х ^ (/)		(/ = 1,	2, ... ,	/я;	/я > я -Ь 1)

для фиксированного значения t. Тогда по методу наименьших квадратов величины aik(t), bt(t) можно найти из условий обра щения в минимум следующих функций:

Pi I'flu> Ц;2» •

- 2

к=\

(< = 1, 2,

л).

(5.26)

Для этого необходимо найти решения я систем линейных алгебраических* уравнений с я + 1 неизвестным. Откуда находим коэффициенты а;*(/), bi (i) для фиксированного значения t. Для различных t необходимо решить ряд таких систем для значений / из интервала 0 < / < I.

Выберем теперь

пар

точек

х{о \

х\п

(/ =

... ,

/я;

т >

> 2я -f 1) из областей, в

которых находятся

значения

решения

краевой задачи

(5.1),

(5.2),

принадлежащие

концам

интервала

[0, /]. После этого коэффициенты btk,

cik,

dot

можно

определить

из условий минимума

функций

Qi {bi\f

• • •$

bidy

Oi\y • • •> Cm*

^0i) ~

\Qi {«#01^ j • *

XQnt

x\[\

. •

х$ ) — % bikx<$— £

e r f

— do/P

(5-26)

*=1

k=\

(ï — 1,

ф..,

я).

Итак, необходимо решить я систем линейных алгебраических

'Уравнений с 2я -f 1

неизвестными.

Построим ypiaBHeHHH для отыскания функции

х(Х).

Продиф-

ференцируем

соотношения

(5.21),

рассматривая

х,

хо,

как

функции X. Применяя ранее принятые обозначения, получим:

.. , ч

—►

fly J	— ► ■ +	“ *■	—*■	* +
it = 1(1 - X) Л (0 + xr, (/,)]« + /(/, ) -			Л (0 *-	* (0;
[(1 — X) B'+XToOCo,	Z)]Ио +	[(1— Х)С +	ХГ,(0, */)]«/ =
= BXQ+	Cxi + do— g (лго, ЛГ/).			(5.27)

Таким образом, необходимо проинтегрировать систему обык новенных дифференциальных уравнений, правая часть которой определяется из решения некоторой линейной краевой задачи.

Рассмотрим теперь методы решения полученных задач. Для решения задачи (5.16), (5.17) применим метод Эйлера, вычисли тельную схему которого запишем в виде:

—*■		Коши	(5.5);
х<°)(/) — решение задачи		Коши	(5.5);
т	г =	г,(/. ?	V	6>;
г» Ci*1.	W	+ Г, (Хр , ~хр) ~ир = -			3.;
* №+1) (/)	= х<»	(0 + (X*+i -		h ) u<‘> (0	(5.28)
	(k =	0, 1, 2, ...).
Линейную краевую	задачу,^ входящую в состав вычислитель

ной схемы (5.28), можно решить методом дискретной ортогонализации (см. п. 2, гл. 4).

В случае неустойчивости счета по схеме (5.28) можно при менить другой метод, не требующий интегрирования системы дифференциальных уравнений и состоящий в следующем. Интер


вал изменения		параметра Х[0,			1] разбиваем точками		0 = Хо<
< Xi < Хг <	. . . <		Xm = 1	на т достаточно малых частей. Пусть
()(/) — решение			краевой	задачи (5.10), (5.11) приХ = Х*. При
X= Хо =* 0 решение краевой задачи известно и равно						х	(/) как
решение задачи		(5.8).
При X=	Xi	находим		хП) (/)	как решение краевой	задачи
	7 T		= h t .		г(о.«) = ( 1 - Л \|) .		(5.29)

Решение этой задачи может быть найдено методом линеари зации (см. п. 1, гл. 4), где в качестве начального приближения итерационного процесса принимается решение краевой задачи

при X= Хо, т. е. х{0) (t). Таким же образом находим решения для

всех последующих значений Xt- (i — 2, 3, ...» k — 1).

—►

Если при X==	X_t найдено решение краевой задачи х(-1)(0»
то xW (t) при X=	Xft находится из решения краевой	задачи
	= / ( ( , х т у,- g & c, * ) = (1 - X » ) d o ,	(5.30)

где в качестве начального приближения принимается

(().

Продолжая этот процесс до k = т при X= Хто = 1 получаем

решение xm(t), которое является решением исходной краевой задачи (5.1), (5.2).

При такой реализации метода продолжения решения по па

раметру счет является устойчивым		[83]. При этом следует отме
тить, что	такой подход к решению задачи Коши для функции
лг = х(Х)	требует большого объема	вычислений по сравнению с

методом Эйлера, но зато здесь не возникает вопросов, связанных с неустойчивостью счета.

Далее рассмотрим подходы к решению задачи для третьего способа введения параметра (второй способ является частным

случаем третьего). Применим		метод Эйлера для		решения задачи
(5.27). Вычислительная схема		имеет вид:
= A (0 7 0) +	Ь(/); Вх(о0) +		с 2 0) = — d0;
Т Г - К 1 -Х)Л(0+Х1>«,			х(* > )]> - Ь
+ /(/, <>) — А (/)<>— 6(0;
[(1 -Xk)B + Х*Г0	7ik))] и\к)+ [(1 - X) С+ ХГ/ (70k);
= в7ок>+ с 7 ^ + d o - g i x p ,				х П
> + ” (0 = >		(0 + (Хй+, -	х*)	(0
(^ =		1,2, ...).		(5.31)

При этом на каждом шаге итерационного процесса (5.31) не обходимо решать одну линейную краевую задачу. Метод Эйлера применим при устойчивом счете. В противном случае следует воспользоваться другим методом, основанным на разбиении всего интервала для X на ряд малых интервалов и последовательном решении в отдельных точках Х*(&=0, 1, . . tri) нелинейной краевой задачи:

Т Р = А (/) *<*> + Ь (I) + X* [/ (/, *'*>> — Л (/) л <*> — 6 (/)].

ВЙ*’ + &	+ A* [J	-	В ~Л к) -	&	— do] = — do
	(k = 0,	1, 2,	m),		(5.32)
где в качестве	начального	приближения		для	x<k) выбирается

л-(/г-1); ^(0) считается известным при Х=Хо —0. Такой npoUecG всегда сходится.

Пример 1. Найдем решение задачи о деформации жестко закрепленной по внешнему контуру кольцевой пластины постоянной толщины ft0 под дей

ствием	приложенного на внутреннем контуре		перерезывающего усилия Q0
(см- п.	4,	гл. 3).
Граничные		условия:
при х = х0			Q0;
		u = vr = 0, Qr =	Q0;

При X = Xf

и = w — vr = 0.

Используем первый способ введения параметра (см. п. 2). В качестве началь


ного вектора при	решении задачи Коши выбираем					вектор (0;	0;	0; 0; 20; 0}.
Задача решалась		при	следующих		значениях	исходных	данных: Л0 = 1;
х0 = 0,2; * i = l ;	Qn =	20.	В табл. 5.1		приведены значения прогиба w*, усилия
N* и моменты Мг в зависимости от				изменения параметра X.
Полученные	значения		функций	при X = 1 для четвертого				приближения

полностью совпадают с решением задачи методом линеаризации с интерполяцией с помощью сплайнов (см. п. 3, гл. 4).

Т а б л и ц а 5.1

о.о

0,2

0,4

0,6

0,8

Ï.0

Прибли-	W4	К	м*	о*
хсеиия		К	г
0	0,0000	0,0000	0,0000	20
0	0,0000	0,0000	0,0000	20
1	—0,3174	— 1,3022	—0,1358	20
2	—0,1726	—1,2711	0,1295	20
3	—0,1793	— 1,2929	0,1132	20
4	-0,1793	— 1,2928	0,1132	20
0	0,1793	— 1,2928	0,1132	20
1	—0,3272	—2,5005	0,3110	20
2	—0,2022	—2,6862	0,5743	20
3	—0,1977	2,7089	0,5862	20
4	—0,1977	—2,7090	0,5863	20
0	—0,1977	—2,7090	0,5863	20
1	—0,0296	—3,8415	1,5542	20
2	0,2012	—4,2117	2,2000	20
3	0,2469	-4,2286	2,3359	20
4	0,2477'	—4,2271	2.3379	20
0	0,2477	—4,2271	2,3379	20
1	1,7881	—3,7655	7,0018	20
2	1,0643	—3,9235	5,0280	20
3	1,0963	2,0893	4,6454	20
4	1,0985	—1,9745	4,6701	20
5	1,0980	-1,9749	4,6689	20
0	1,0980	—1,9749	4,6689	20
1	0,9179	1,0957	4,1562	20
2	0,8982	1,4446	4,1518	20
3	0,8979	1,4463	4,1509	20
4	0,8979	1,4463	4,1509	20

Как видно из таблицы, при промежуточных значениях X (0,2; 0,4; 0,6; 0,8) полученное решение существенно отличается от точного решения, однако это

Рис. 5.1

не влияет на сходимость итерационного процесса. Численные эксперименты с помощью метода про

должения по параметру показывают, что варьируя шаг

	ДХ и	начальное приближение					N0, при		определенных
	затратах машинного времени						можно всегда			получить
	решение задачи.					задачу		о напряженно-дефор
	Пример 2.			Рассмотрим
	мированном		состоянии		половины			замкнутой		круговой
	тороидальной оболочки постоянной толщины, жестко
	защемленной			по двум контурным окружностям						рис. 5.1
	[82]. Оболочка			находится под			действием		равномерного
	внешнего давления q.										пара
	Геометрию			тороидальной оболочки описываем
	метрически так:
		г s= d +	R cos 0;		z = R sin 0			(—• я <	0 <	я),	(5.33)

»	где R — радиус			окружности		в	диаметральном			сечении
г	тора;	0 — центральный угол; d — расстояние от оси									вра

щения до центра тора. Граничные условия:

и = w —9S = 0 при 0 = — я, 0.

(5,34)

Задача решалась методом продолжения по параметру.

Решение задачи выполнено при различных значениях исходных данных.

R	d
Результаты решения задачи приведены для	= 100, 200, 300 при о = -^ =•

tss 1,5; 2; 2,5; 3; 4; 5.

На рис. 5.2 приведена зависимость безразмерного давления Р

от относительного прогиба в вершине

тора

для

^ = 100,

а = 2,5.. На

рис. 5.3 показана последовательность де формированных форм вершины тора, соот ветствующая пронумерованным на кривой рис. 5.2 точкам.

Зависимость давления Р от прогиба

при	= 200, для а = 1,5; 2; 2,5 3;4; 5 дана

на рис. 5.4. На рис. 5.5 приведены значения критических давлений Р кр, соответствующие

(и>0\

~R I

в зависимости от параметра а для различ-

(1 — v*)R9q

Eh3

ных	В вершине тора с ростом давления

постепенно развивается вмятина. Процесс образования вмятины в окрест* ности показан на рис. 5.6 для ^- = 100, а = 1,5, где приведены кривые нор*

мального прогиба -g для последовательно возрастающих давлений. Предельное значение давления Ркр для этого случая равно 2,52.

Глава 6

ВАРИАЦИОННЫЕ И АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

1.ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА

Внелинейной теории пластин и оболочек широко применя ются численные методы, основанные на вариационных постанов ках задач математической физики [13, 14, 38, 65, 66]. К ним относятся метод Ритца, метод Бубнова— Галеркина, вариационно разностные методы и другие. Использование вариационных по становок задач теории оболочек и пластин позволяет получить решения для широкого класса задач, так как выражения, стоящие

виспользуемых функционалах, имеют более низкий порядок

производных, чем в разрешающих дифференциальных уравнениях. Этим самым расширяется также класс допустимых функций, необходимых для построения приближенных решений.

Из теории оболочек известно [81], что полная энергия дефор мации оболочки записывается в виде

и = 1) — А*,

(6.1)

где U — потенциальная энергия деформации (1.88);

А* = Лк '+ Ап—

сумма работ внешних сил;

А и = j (№ ,и, + s!u / + Q°*w - f M vA) dsf,

(6.2)

Л„ = И fai# + ê f,ü + QT®) ABdadp.

й2

Здесь AK— работа обобщенных граничных величин, приложен ных на контуре оболочки; Л„— работа поверхностных сил; G — область, занятая срединной (координатной) поверхностью обо

лочки; g-— контур области G, st —дуга контура g; v, t, n —

орты, связанные с	линией	g ; v — нормаль,	i — касательная,
п — бинормаль; А/°, 5°, Q,,		М°» — заданные обобщенные гранич
ные усилия и момент;	«„ щ — перемещения по		нормали и каса
тельной к контуру g.

Доказано [81], что среди геометрически возможных переме щений действительно имеющие место в нагруженной оболочке

обеспечивают выражению полной энергии					минимальное значение.
Поэтому, одновременно с истинными				перемещениями и,		v, w рас
смотрим близкие	к ним — геометрически				возможные:
и" = и + Ъи; v* = v + Su; о»* = ш -f- 8а»,						(6.3)
где 8и, ои,^ 8а»	означают		геометрически		возможные	вариации
перемещений, которые		обращаются		в нуль на тех участках гра
ницы, где заданы	перемещения.
Так как истинные перемещения доставляют полной энергии
минимальное значение,		то	вариация ее имеет стационарное зна
чение, т. е.
где		8П =	8 ((/ — Л*) = 0,			(6.4)

8Л* = [(tf?8«v + S°Mt + Qv°8o> + MSV80v) dst -f

+JJ (çibu -f Çibv + <7T8O») ABdadfr, a

8(/;= ff(iV|8ei+ ^ 28e2+ S8Ü) -fAl^xi-H М28х^+ 2Hbx)ABdadр. (6.5)

Поскольку	варьируются перемещения и, v,	w, то в выражении
W из (6.5)	вместо деформаций необходимо	подставить их значе

ния через перемещения согласно (1.65), (1.58).

Равенство (6.4) является интегральным тождеством, которое выполняется при любых Вм, By, Вдо, принадлежащих к классу геометрически возможных вариаций перемещений и, v, w. Оно представляет начало возможных (виртуальных) перемещений обо лочек и называется вариационным уравнением Лагранжа.

В курсах теории оболочек показано [11,81], что из вариацион


ного уравнения Лагранжа следуют уравнения				равновесия, стати
ческие граничные	условия,	и условия	упругого сопряжения
(в выражениях (6.5) последние члены не			учтены).
Таким образом,	задача	интегрирования		дифференциальных

уравнений теории оболочек при заданных граничных условиях равносильна задаче о нахождении минимума полной энергии деформации (6.1). В практике применяют различные варианты уравнений Лагранжа. Некоторые из них будут использованы в настоящей главе.

Идея нахождения стационарного значения полной энергии де формации (6.4) применяется в прямых методах математической физики. Прямыми методами называют методы, сводящие задачи в дифференциальной форме к решению алгебраических систем

уравнений. Наиболее				распространенные в теории оболочек пря
мые методы — Ритца			и	Бубнова — Галеркина.
2. МЕТОД	РИТДА
Рассматриваемый метод для простейших задач теории упру
гости предложен		Ритцем			и развит в работах С. П. Тимошенко
и других	ученых	[13,		38].			этого метода	зададим пере
В соответствии о основной идеей
мещения срединной поверхности						оболочки в виде:
					Р ) + k=l2		0 \| И « (* . Р);
		О-оС («,			w +	Ê »*>“ >(«, Ю;
						fc=J
		ГО“	и>°(«>		Р) +	N		(6.0
						У CkWW(«» Р),
						k=l
где «W,	(t		0,	N) — некоторые известные				координатные
функции; cik, bk,		Ck— не зависящие					от координат коэффициенты.

Функции «t°>, о<°>, щ(°) удовлетворяют геометрическим граничным условиям задачи, «(*), »(*>, ш<*>, £ = 1, 2, ...» W — однородным граничным условиям.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 2913 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги