книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

Yn — положительная постоянная, которая определяется из теоре­

тических соображений [3:, 36]; gk — компоненты правой части

(8.42) для и\ — [ср, С]т = [щ, и2]т.

Алгоритм реализации метода (8.42), следуя [35], можно за­

меняется метод переменных направлений с нулевым начальным

приближением 2° == 0;

3) trik-ые итерации в методе переменных направлений совпа­

дают с вектором Uk+] — Uk (6 = 1 , 2). По методу переменных направлений

где s — номер внутренней итерации в методе переменных нап­

а£?х; Л*, х = ЛУД + А{2\ ; Л<Д, Л^х — одномерные разностные

операторы, действующие по £ и -g соответственно:

Спектры A{, x £ [Xp, Xp] ( /= 1 , 2), где

X(t2>= Х(Д|); Я^-»Х(АЭ;

# > « A**X {*DÏ

W = k \ ( à Х(22) = а (дЭ;

X{Да), X (д|) — наименьшее и наибольшее собственное число опе-

ратора Д* при соответствующих граничных условиях.

Алгоритм реализации аналогичен изложенному выше. Спектр одномерных операторов Л*Д и Aj£\ принадлежит отрезкам

5. ПРИМЕРЫ

Пример 1. Рассмотрим деформированное состояние защемленной цилиндри­ ческой панели, квадратной в плане, под действием равномерно распределенной нагрузки q [35].

Для решения задачи используем уравнения в смешанном виде (2.16) и (2.20).

Шаги сетки в направлении осей Ç и выбираем равными X = Xj = Р аспи-

сываем уравнения (2.16) и (2.20) в конечных разностях. С помощью граничных условий (2.19) исключаем .контурные и законтурные точки. Приходим к нели­ нейной системе уравнений вида'(7.21), которую решаем методом,. описанным в п.4. При этом погрешность решения вычисляем по формуле

где п — число итераций внешнего цикла. Положим е = 0,5; *(„ = 0,4. Нулевые

приближения будем вычислять по формуле

tsfixr — решения,полученные для значений интенсивности нагрузки qr Послед­

няя формула является наиболее предпочтительной [35]. В табл. 8.1 приведены результаты вычислений максимального прогиба (прогиба в центре) пластины

= — = oj, а также |j Rn || с указанием числа п при заданных безразмер­

ных нагрузках Ру для двух значений N = 8 и N — 16.

Как видно из таблицы, значения прогибов, полученные по двум различ­ ным аппроксимациям, отличаются незначительно, причем это отличие сказыва­ ется при больших значениях нагрузки, так как в этом случае большую роль играют нелинейные члены.

Втабл. 8.3 приведены значения прогибов при различных значениях цагрузки

ипараметра кривизны 1/р2. Здесь указано также количество итераций п для

достижения заданной (е = 0,5) точности и значение параметра f n, при котором итерационный процесс сходился. С увеличением параметра 1/р2 число, итераций

В табл.8.4 приведены значения наибольших прогибов Ç= £тах для плас-

ТИИЫ (Р7 1 = Pi-1 — О)» полученные при двух, значениях точности е = 0,5 и с = 0,1 при N= 16, 7л = 0,4. Увеличение точности не приводит к существен­ ному изменению прогибов. Время счета также изменяется незначительно.

Пример 2. Пусть квадратная в плане цилиндрическая панель с защемлен­ ными краями находится под действием равномерно распределенной нагрузки [35].

Для решения задачи используем систему уравнений в перемещениях (8.25), граничные условия (8.26) и двухступенчатый итерационный процесс (8.39).

In = 0,7.

Параметр ?л при “ “ О слабо зависит от величины — при — < 60. По-

видимому, это объясняется тем, что оператор внутреннего цикла построен так,

В работе [35] указано на высокую эффективность двухступенчатого метода при решении больших систем нелинейных разностных уравнений, возникающих

и контурные значения неизвестных функций исключаем согласно п. 3. Систему уравнений вида (8.34) удобно представить следующим образом:

24

X1aik H = ^i(£ï» £а* • • •* Cie)

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

СПОМОЩЬЮ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

1.ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Классический подход к изучению поведения элементов конст­ рукций состоит в получении уравнений равновесия (движения) бесконечно малого элемента рассматриваемого тела, установлении соотношения между средними значениями определенных величин этого элемента, получении дифференциальных (или интегральных) уравнений путем устремления к нулю размеров элемента (при не­ ограниченном возрастании количества таких элементов), описыва­ ющих равновесие элемента, и в разыскании решения этих уравнений.

Как указывалось выше, в нелинейной теории пластин и обо­ лочек в аналитическом виде найдено решение ограниченного числа задач. Чаще для получения решений в нелинейной механике при­ бегают к численным методам. Если для получения результатов привлекаются численные методы, то сплошная среда фактически аппроксимируется в процессе решения некоторой дискретной мо­ делью.

В противоположность этому примеру по методу конечных эле­ ментов (МКЭ) сплошную среду с самого начала представляют в виде дискретной модели, т. е. определенного конечного числа некоторых элементов, взаимодействующих между собой. Далее изучаются свойства' этих элементов. При установлении свойствэлемента используются уравнения и соотношения для сплошных сред или иные вариационные 'принципы. Таким образом, сплошная среда с бесконечным числом степеней свободы заменяется дискретной моделью с конечным числом степеней свободы: конечные элементы определяются несколькими величинами в определенных точках.

Заметим, что идея замены непрерывной среды дискретной встречалась ранее в методе конечных разностей (сеток). Поэтому иногда МКЭ называют одним из сеточных методоз решения за­ дач [69].

МКЭ разработан сравнительно недавно (сороковые — пятидеся­ тые годы), хотя идея представления некоторой сплошной среды в виде системы элементов конечных размеров восходит еще к Пу­ ассону (1829 г.). Особенно большое число задач механики сплош­ ной среды решено с помощью МКЭ в последние два десятилетия. По МКЭ написано много исследований, обзорных статей и моно­ графий [37, 54, 60, 63, 69, 70, 71].

Идея МКЭ весьма проста. Исходная область G разбивается на малые непересекающиеся части — конечные элементы (рис. 9. 1), структура которых должна быть удобна для хранения и распоз­ навания с помощью ЭВМ. Наиболее часто для аппроксимации

двумерной области в качестве таких элементов применяются плос­ кие треугольники или прямоугольники. При исследовании оболо­ чек вращения применяются конические или криволинейные коль­ цевые элементы (рис. 9.2). Вершины конечных элементов называют узловыми точками или узлами, в случае кольцевых элементов — узловыми линиями. В узлах в виде неопределенных параметров задают искомые величины: перемещения, углы поворота или уси­ лия-моменты. Затем внутри каждого элемента задаются из ка­ ких-либо соображений в наиболее простом виде искомые функции,

тождественно равные нулю везде, кроме области рассматриваемого элемента. Эти функции в дальнейшем будем называть функциями формы. Последние позволяют определить искомые величины ъ области элемента по их значениям в узлах. Обычно используе­ мой функциональной формой интерполяционных функций явля­ ются полиномы как наиболее простые и удобные в использовании при вычислениях. Как правило, в качестве таких полиномов ис­ пользуются полиномы первой, второй и третьей степеней относи­ тельно какой-либо переменной. Заметим, что в общем случае интерполяционные функции не обязательно должны быть полино­ мами. В качестве их могут быть приняты любые функции с не­ обходимым числом производных в узлах.

Выбор функций формы связан с тем, чтобы удовлетворить уравнениям равновесия и условиям совместности деформаций вну­ три каждого элемента и чтобы при этом отсутствовали разрывы в компонентах напряженно-деформированного состояния вдоль линий стыковки смежных элементов. Так как число степеней сво­ боды конечно, то удовлетворить всем указанным выше условиям во всех точках элемента невозможно. Получаемое таким образом решение будет приближенным.

Связь конечных элементов осуществляется в узлах, в которых полностью удовлетворяются уравнения равновесия и условия не-