Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 297 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

4 , " ' + ^ ) + f ( $ 2= o .

Таким образом, приходим к следующей системе уравнений отно сительно Ni, N 2 и w:

n d Г 1	d	(	doA]	.. dw		2ü.
0 " л -[т * \ г * 1 } - м ' ф = 2 ’
d(A/j +		/V2)	Eh(dw\ 2		Л	(2.28)
r	d,	-	+ T	[3F )	- ° -	(2.28)

Преобразуем эту систему уравнений к безразмерной форме. Для этого введем обозначения:

6', =	Hi	да*	t = J__	(2.29)
6', =	Eh’	Eh"	* ’

Вводя безразмерные величины, систему уравнений (2.28) преобра зуем к виду:

ÆS,

S 2 = 0;

~dT

(2.30)

, d ( S , + S 2) , V ( d C \ 2	= 0.
Ê-----3g---- + 2 Й

При формулировке граничных условий рассмотрим случай, когда сплошная пластина жестко защемлена по контуру так, что на контуре г =*а выполняются условия:

w = О, а = 0, 0i = ^ = 0.

			dr
Так как пластина	сплошная, то		в центре пластины при	Ê= 0
,(г = 0) должны быть удовлетворены условия регулярности.
Использовав обозначения (2.29) и соотношения (2.24) и (2.25),
для граничных условий		имеем
	С= 0» =		5г— vSi = 0 .	(2.31)
Решение разрешающей		системы	уравнений (2.30) будем	искать
в виде степенных	рядов.	Положим

Si = Во + В2&+ В4$4 + ..

I =

(С, Е+ Сзр + C5ÇS + • • •)•

(2.32)

S2== Во -f* ЗВгЕ^ ~Ь 5В4^4-}-	(2.33)
Интегрируя второе соотношение (2.32), получаем

С =	8 (с, -g Н- Сз	+	С5 ~ +	.. .j.			(2.34)
Таким образом,	формулы (2.32)— (2.34)			дают	все	три	неиз
вестные величины Si, Sj и С, выраженные в виде					рядов		по	Ç с
неопределенными коэффициентами		С, и В/. Для определения						за
висимостей между	ними используем		второе и третье			уравнения
(2.30). Подставив Si, S 2 и Ç во второе и третье уравнения							(2.30)
и приравняв члены при одинаковых степенях				£ (система должна
выполняться при всех значениях		£)	приходим к		соотношениям:

С„ =

—

ДцСц-S-m.

т = 0 ,

2, 4,...

(k = 5,

...);

Bk =

k—i

ft (é +

2) m==x<

CmCk—w

(k = 2, 4, 6, . . .).

(2.35)

Из выражений (2.35) видно, что всепостоянные С*. и Bk будут

вычислены,

если

заданы

Во

и Cj. Далее можем

вычислить

Si,

S2, С,

Если постоянным Во и Ci

давать

определенные

значе

ния, то это

означает,

что

центре

пластины

(£ =

задаются,

согласно

(2.32)

(2.22),

значения

усилия

безразмерной

кривизны

xi.

Итак,

для вычисления

всех

искомых

величин

необходимо

за

дать P, V, Во и С\.

Величины Во и Ci должны подбираться

так,

чтобы удовлетворялось

первое

граничное

условие С

= 0. Для

удовлетворения этого

условия

при

заданных

Р и

необходимо

проделать достаточно

большое

количество

численных

экспери

ментов. Для. всех таких

результатов подсчитываем

на

контуре

S i, S2 И

■û (S2

vS1) [г«=а*

условия (2.31) в силу произволь

Второе и третье

граничные

ного выбора

Во

и Ci

вообще

не

выполняются.

Интерполяция

дает возможность

получить ’все необходимые данные для

пластины

таким образом,

чтобы выполнялись

оба

указанные

условия.

Ре

зультаты этих

вычислений

безразмерных

прогибов

завися

мости от нагрузки Р представлены на рис. 2.3. Там же нанесе ны прямые, соответствующие линейной теории. В линейной тео рии, как известно [74], пренебрегают влиянием растяжения — сжатия срединной плоскости пластины на изгиб. Из рисундз видно, что погрешность линейной теории возрастает по мере

возрасгания

нагрузки

(а,

значит,

и увеличения прогиба).

На рис. 2.4 приведены зависимости радиальные напряжение-

прогиб в центре

(V =

0) и на краю пластины (г —а),

причем без

размерные

мембранные

и изгиб-

ные

напряжения

вводились

по

формулам:

Nta2 1

Шла2

М ----

ъ »

&1%И

--------- д

(i =

2).

(2.36)

Прямыми линиями

показаны

на»

пряжения, вычисленные по линей

ной

теории.

Складывая

о„-Ьвм,

получаем максимальные напряже

ния в центре и на

контуре плас

тины.

вычисления

прогиба

Для

центре

Со,

напряжений

сре-

динной

плоскости

ci, м

напря

жений изгиба в крайних волокнах

о». и

при V= 0, 3

можно

пользо-

ваться

следующими

приближен

ными зависимостями:

С<>+

Л Со = B P ;

at м

щЕ а

а и =

ос%

(» 1=, 2).

Коэффициенты Л, В, а*, (Зг приведены в табл. 2.1. Положитель ные напряжения изгиба предполагаются для растянутых волокон.

						Т а б л и ц а 2.1
А	В	центре г =* 0			На контуре г = а
	а,	= а2	Р, = Р*	«i		ft	Pt

0,471 1 0,171	0,976 1		2,86 \|	0,476	0,143	—4,40	-1,32

Аналогичная задача может быть решена и для случая шарнир ного опирания.

8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДЕФОРМАЦИИ ДЛИННОЙ ПОЛОГОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ ПОСТОЯННОЙ ЖЕСТКОСТИ

Рассмотрим бесконечно длинную пологую цилиндрическую

панель радиуса R (рис. 2.5),		срединная поверхность которой от
несена к	системе координат	хоу [18, 47,	21].	В	общем случае
считаем,	что тангенциальные	и изгибные жесткости D N и D M из
		меняются	по	направляющей,
		т. е. D^ = Df,j(y)t			DM = DM (у)-

7,5	V"
	\
М	------N.. s s	/ \
М
45	0,75
	0,75
3,0	sÇv-
<5	>	0
	>	0

\ш .

ю/ /

Г V A Ç &

■—	>
а У Ч	Т У
	\
\	1
/	) /
/	/

Л Z7-----

/		м
Рис.	2.5
dNo	dAU
dy = 0,	dy	^ 2’

Пусть ’оболочка находится под влиянием силовых <7Т= q и температурных Т воздействий. Деформации и напряжения при однородном закреплении про дольных краев в каждом сече нии, нормальном оси ох, будут одинаковыми, а все искомые ве личины будут зависеть только от координаты у.

Положив в (1.116), (1.117)

Яг = R (y)t а также

приравняв производные по х нулю, получим:

уравнения равновесия

dQ2
dy — N 2 + If) = ~Q>	(2.38)

выражения для деформаций

л		dv .	1 ( dw \ 2 -	w		«
e , = ° ,	e2 = _ + _ ^ _ ) + _ ,				ю = 0 ,
	n		d2w	x' =	0;	(2.39)
*1 = ü,		Y.2 ---------—T		x' =	0;	(2.39)
			dy
соотношения упругости
N i = Dtf[v£2— (1 -+■ v) sy],			N 2 — DN [S2 — (1 4*v) sr]î
M \ — D M b *2 —	(1 +	V) X T ],	М 2 = D M \*2 —			( l - b v ) x r l . (2.40)

На основании (2.118) — (2.119) приходим к системе разрешаю щих уравнений

X [d y2 (D M*T) + D N £T ( 1R —

(2.41)

Как видно, разрешающая система (2.41) имеет шестой порядок. Она должна удовлетворять граничным условиям: по три на каж дом крае, одному для тангенциальных факторов и двум изгибным.

Первое уравнение (2.41) перепишем в виде

^ { Dn[ ^ + % + T {W )					— (! +		v)er ]} =	0.
Отсюда
Ч	£	+	т	+ т ( £ ) ' - <		‘ + ’> * ] - с -		<*•«>
где С — постоянная		интегрирования.				ег из	(2.39) получаем
Подставив в Лг2 из				(2.40) значения
N * = DN				+ т г + j ( w ) “ (1 + v) * 4				<2-43>
Таким образом,		из (2.42) и (2.43) следует
				N 2 = С.				(2.44)
Этот результат	следует также из первого уравнения (2.38). Второе
уравнение (2.41) с учетом (2.43) перепишем в виде
DM - ^			+ 2 ^ м d3w		,	d2PM	d2w
	dy4			dy3		■dy2	dy2

или

£ _

dy2

+	Q+	(1 + v)	d2DMxT
			dy2	*
i-	42ш	+ Я~Ь (1 4 -v)		й*Рмхт	(2.45)
	dy2			dy2	(2.45)
	dy2			dy2

Итак, задача о деформации гибкой бесконечно длинной ци линдрической панели описывается системой уравнений (2.42) и (2.45). Уравнение (2.45) можно проинтегрировать два раза при любом законе изменения жесткости Аи и радиуса кривизны R:

D^ ~ N2W ~ S 4У J (Q—-ff)dy 4- (1 + v) A n*H -C i-f с2у. (2.46)

Полученное уравнение второго порядка с переменными в об щем случае коэффициентами интегрируется одним из известных методов. Далее рассмотрим случай, когда жесткости оболочки Av

и D M постоянные и температура		Т равна
%т = t T =	0. Предположим, что нагрузка
изменения	радиуса кривизны R	задается

нулю. Тогда h = const, q постоянна, а закон при помощи формулы

R =	го^1 + тг\|г)	•	<2-47>
где го — радиус кривизны	в вершине	(ÿ = 0);	? — постоянная.
Пусть продольные края	пластины шарнирно оперты и не до

пускают сближения кромок. Граничные условия при этом запишем в виде (см. п. 1):

2	h
W — О, - ^ 7 = 0 при у — ± b ;	Д = \| l % d y = 0- (2.48)

Так как представляет интерес случай, когда на оболочку дей ствует нагрузка G выпуклой стороны, что приводит к сжатому сос1гоянию оболочки, то в дальнейшем примем, что N 2 < 0.

Для - удобства дальнейших вычислений введем безразмерные величины:

		N,					(2.49)
		DM					(2.49)
		DM
р *= X£>, P						P = SÈL
р *= X£>, P						DMh. (2.50)
Тогда уравнения (2.45) и (2.46) при принятых предположениях
примут вид
				*Р32>+ Р;			(2,51)
+ р2С = 4" & + ^ 2) Ч2+ -^г">34+ Ащ + Аъ							(2.52)
					С	Сур
В последнем уравнении вместо постоянных -гт-г»						т г т введены но*
					и мп	и мп
вые А\ и А 2* Общее решение уравнений о					постоянными коэффи*
циентами (2.51) или (2.52)		запишется		в виде*
С — А%sin pig +		А 4 cos pig —			А2
С — А%sin pig +		А 4 cos pig —			.v-24
					.v-24
— ф- [ ï^ + \ (P +	п2 —		—V ~4		+ J	(Р 4* Лр2)].	(2.53)
Удовлетворив решение (2.53) пёрвым двум условиям (2.48), ко
торые в безразмерных величинах примут вид
С —0,	Д= 0		при	13=	±1,		(2.64)
	*Г

получим постоянные интегрирования:

< 4 \|-(4 +	\|» * ) 0 - # ( j £	+	l);	Д4' = - - т ± 2 ^
	\ ^		/	(AÇOStJl
	Д2= 0;	Л з~ 0;-
	2 = ^ [ TA'+.-J		(P +	V ) )	(2.55)
Прогиб
с - ^	(i ■ - + #	■	f l -	v ) + « 1 - л	(2.5в)
ИЛИ

+ • & № - ! ) ( 5 - и*)].

(2.57)

Перейдем теперь ко второму разрешающему уравнению (2.42). С учетом (2.44), (2.47), (2.49) и (2.50) из этого уравнения получаем

- ^ + A : ( l + Tig2)C + - j ( - ^ ) ------

J2-

(2.58)

Третье граничное условие (2.48) примет вид

(2.59)

Внося в это условие значение -щ-, найденное из (2.58), получим

I [* (1 + П г) с + 4 (Ц - ) ‘ + -Й ] ^ = О-

(2.60)

Производная от прогиба

flfC	2z-j-y&	sin (хтг]	Т -Ч 3- 2 г ч .	(2.61)
<Ь] “	(JL	COS (А	Т -Ч 3- 2 г ч .	(2.61)

Подставив в. (2.60) выражения (2.56) и (2.61) и произведя интег рирование, придем к трансцендентному уравнению [21J

_	1 -	i	f	(З‘е21* ■ --т	01 + V +	is) -
_ 4 ( ^ ±	М	- , - т) ( з *Ш 1-112 _ з) ( 1 +				т) +
	+ 8 ( l		+	^ 'l f ) w 2 +	' ^ ‘ = 0 -	(2.62)

Выражение (2.62) при заданных т и k дает зависимость между величинами Р и ц, т. е. между безразмерными нагрузкой и уси лием в срединной поверхности оболочки. Совместно с (2.57) оно дает параметрическое задание прогиба С. Как было изложено

в п. 1, сначала из (2.61) получаем численно зависимость Р —Р (ц).

Далее из (2.57), перебирая все jx, с					учетом P = P (JJ.)				находим
зависимость С от			Р, т. е. С = С(Р).			выражение для про
Положив в (2.62) и (2.57) 7 = 0, найдем
гиба	и трансцендентное уравнение, связывающее Р с \|х для случая
круговой цилиндрической панели [47,					13]:
		с —	‘ ( - т г - О Н г * 1—		т +	^ г	1),
			\ P *	/ V * cos р		*	!
		( ^ - 1)S(3tgV_15'!T +v+,5)_
		- 4 ( ^ - 1 ) ( i T t - ^ - 3) + ^ = 0-							(2.63)

На рис.		2.5 и 2.6 приведены зависимости [21] Р — [х0 и Р — С
прй двух значениях параметра кривизны						6 = 0,75;		1,5	и трех
значениях		параметра 7. Сплошная, штриховая и					штрих-пунктир
ная	линии	построены		соответственно	для	7 = —0,5;		0;	0,5. Из

рисунков видно, что с увеличением параметра кривизны оболочки

возрастает верхнее и убывает нижнее	критические значения			на
грузки Р. Здесь принято обозначение	Со =	го (0)	Описанным	вы
		h

ше способом можно решить задачу для жестко защемленных краев.

Из

уравнений

(2.63)

можно

получить прогиб С и трансцен

да

дентное уравнение

Р — jx

для

пластины. В этом

случае имеет

место

ее

растяжение,

и X2 из

(2.49)

будет

отрицательным.

i, *•/

Поэтому

вместо

|х

необходимо

да

ч'.*

брать

îfx,

где

i — мнимая

еди

ница.

Умножим

второе соотно

да

(

шение

(2.63)

на

62 и

перейдем

пределу

при

k -»• 0.

Учиты

да

///

$ 2

вая, что

tg ip = i th (x,

придем

к выражениям (2. 11).

Из

тех же

соображений из

шж/С-0,75

______

(2.63)

0.6

0,9

1,2

трансцендентное

уравнение

1,5

Рис.

2.6

Р — jx

для

случая,

когда на

оболочку

действует

внутреннее

давление q. В этом случае усилие

N 2 будтг положительным. Заменив,

(2.63)

(х

на

и использо

вав

равенство tgip, =

ith[x,

получим

эти

уравнения

для

Л /г> 0.

В этих

формулах

необходимо принимать jx =

\b,

X2=

Л/2.

Исследуем теперь влияние температурного поля на деформацию

гибкой цилиндрической панели. Пусть температурное воздействие задается в виде следующих интегральных характеристик:

ет=	атТо [1 + ф (у)1, %т—0,				(2.65)
где То— характерная	температура.		Из	(1.86) и (2.65)	следует,
что температур^ Т — четная функция			поперечной координаты.
Поскольку хт — О, то		уравнение	для	определения прогиба С
будет иметь вид (2.51)	и	(2.52). Поэтому		и решение для	С, удов


летворяющее граничнь1м условиям	(2.54),	будет задано формулой
(2.57). Уравнение (2.42) с учетом	(2.44)	и (2.49) запишется так:
Ж + т Ш 2+ ^ = — Й + Г* 1‘ + - H W			<2М)

где р, Т* — безразмерные радиус кривизны и температура:

	T* =	(l + v)aTT0p2,	tf = ropfo).	(2.67)
	Положим:
	Ф(У) =	Ф(Ьз) = Ti^î	Р = (1 + ТПЭ2)” 1»	(2-68)
где	у, Tfi — некоторые		ИТ	(2.66) с уче
где	у, Tfi — некоторые	постоянные. Подставив -щ- из		(2.66) с уче
том	(2.56) и (2.61) в условие (2.59),		после интегрирования придем
к следующему трансцендентному уравнению 122]:

(Р|лГ*-1-т) (atgV -is-^+V+is)-

— I*2 — 3) ( ! + Т) +
+ 8 ( \| + ж т ) т ^ + ^ -
— 4 (3 + Tl) ~ = 0. (2.69)
Задаваясь значениями у, -р,	/.5 ?о
k и Т*, из последнего уравнения	/.5 ?о
находим зависимость между наг	Рнс. гл
рузкой Р и параметром р.. Учи-	Рнс. гл

'тывая эту зависимость, находим связь Р — С.

На рис. 2.7 в виде графиков приведены результаты расчетов для круговой цилиндрической панели (7 = 0) в равномерном тем

пературном поле (у\ — 0) при	различных значениях температуры
Т* и при £ = 1,5. Из'рисунка	видно, что с увеличением темпера

туры возрастает верхнее и убывает нижнее критические значения нагрузки.


На рис. 2.8	и 2.9 даны зависимости прогиб		Со — нагрузка Р
при различных	значениях кривизны т(т = —0,5; 0; 0,5) соответст
венно для равномерного		(?i — 0) и неравномерного (yi = 3)		рас
пределения температуры		по направляющей. При	расчетах	пара
метр кривизны k — 1,5,		параметр температуры —	Т* = 0,09.	В за

ключение сделаем следующее замечание: функция P — Р (|х) явля ется неоднозначной (см. рис. 2.5), что приводит к необходимости вычислять эту зависимость с мелким шагом по jx.

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ДЕФОРМАЦИИ ДЛИННОЙ

ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПАНЕЛИ ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТИ

Рассмотрим задачу о геометрически нелинейной деформации пологой бесконечно длинной цилиндрической панели произволь ного сечения переменной жесткости под действием нагрузки q [23]. В качестве исходных примем уравнения (2.45), (2.43), (2.44) при Т = 0, т.е. уравнения:

DM * £ + 2 iD»		d3w	d DJA	d2w	~ H r
dy*	dy	dyz 4~	dy2	dy2	~ H r

М2 = С — co n st.

d2w

dy2

(2.70)

Как и в	предыдущих параграфах, для всех величин, входящих
в уравнение (2.70), удобно ввести		безразмерные		параметры. По
лагаем:
„ =	£ ; Ç= i ; 5 = ^ :	=	Е =	£„£* (г,);

DM = D°ME*t3; D„ = DÎ£«7; D \ -

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 297 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги