книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

теристикой тонкостенности hIR связано разделение оболочек на тонкие и толстые. Оболочка считается тонкой [11, 58, 81], если

hIR < и этой величиной можно пренебречь по сравнению с

единицей. Если это условие не выполняется, то оболочка счи­ тается толстой (конечно, такое деление на тонкие и толстые ус­ ловно).

Тонкостенность оболочки иногда характеризуется также пара­

при — 0,2.

Существует также подход к разделению оболочек на толстые, тонкие и средней толщины, основанный на физических соображе­

ниях [15]. Оболочка считается тонкой, если^- < ер, средней тол­

щины, если ер< ^ - < у гер> толстой, если — > ]/ер. Здесь L —

характерный линейный размер (радиус кривизны R или наимень­ ший линейный размер а), ер — относительное удлинение, равное пределу пропорциональности для данного материала оболочки [15].

По характеру напряженного состояния, вызванного деформа­ цией, различают три класса пластин: жесткие; гибкие; абсолютно гибкие (мембраны). Под жесткой пластиной понимается такая пластина, при деформации которой преобладающими являются изгибные напряжения, и тангенциальные напряжения можно не учитывать. Под гибкими пластинами будем понимать такие пластины, при деформации которых тангенциальные напряжения срединной поверхности сравнимы с изгибными напряжениями. Если изгибные напряжения пренебрежимо малы по сравнению с танген­ циальными, то пластина называется абсолютно гибкой (мембраной). Приведенная классификация является условной, так как в зависи­ мости от допускаемой погрешности при решении задачи пластина может быть отнесена к тому или иному классу. С другой стороны, тип напряженного состояния пластины обусловлен степенью нагруженности, видом граничных условий и ее формой.

Иногда гибкость пластины связывают с величиной у , где

абсолютно гибкой, если ^ > 5.

Одна и та же пластина, находящаяся под действием возра­ стающей поперечной нагрузки, может последовательно рассматри­ ваться как жесткая, гибкая или абсолютно гибкая.

Если независимо от величины поперечной нагрузки пластина подвергается действию значительных усилий в срединной поверх­ ности, то эти условия должны быть учтены при любых значениях прогиба. При малых прогибах усилия в срединной поверхности можно рассматривать как заданные и независящие от деформации пластины. В случае пластин малого прогиба обычно напряженное состояние считают чисто изгибным. Это допущение справедливо лишь для достаточно тонких пластин и при определенных видах нагружения. Для других случаев деформацию пластины следует рассматривать по теории толстыхплит. Все изложенное относит­ ся и к оболочкам.

При деформации оболочки различают слабый, средний и силь­

ный изгиб [15]. Изгиб оболочки называется слабым, если углы по­ ворота а),- всюду малы по сравнению с единицей: ш/< 1. Средний

изгиб характеризуется неравенствами ^- > 1, ^ - < 1. Если^-С^--—1,

то изгиб называется сильным.

Очевидно, что в случае жестких оболочек (слабый изгиб) можно пользоваться уравнениями линейной теории оболочек, в других случаях — теми или иными вариантами геометрически не­ линейных уравнений теории оболочек. Ниже приведем некоторые из таких уравнений.

Оболочку как трехмерное тело в недеформированном состоя­

ность оболочки. Срединная поверхность оболочки может быть также -задана декартовыми координатами х , у, г. Будем в даль­ нейшем предполагать, что связь между декартовыми и криволи­ нейными координатами на срединной поверхности задается в ви­ де непрерывных, однозначных, необходимое число раз дифферен­ цируемых функций

положительное направление совпадает с направлением в сторону

ной формы поверхности [64], являющиеся масштабными коэффи­ циентами, связывающими приращения дуг координатных линий

В 2^

Отсюда видно, что в криволинейной системе координат орты нельзя считать постоянными величинами. Для них установлены правила дифференцирования — формулы Гаусса—Вейнгартена [81]:

формулы (1.46) несколько упрощаются. В выбранной системе ко­

Координаты а, (3 называются главными координатами, а радиусы кривизны Ri и R2 — главными радиусами кривизны. Подставляя

Яу(/ = 1, 2, 3) из (1.47) в (1.12) и полагая ? — О, получаем со­ отношения Кодацци — Гаусса (в главных координатах):

В произвольных ортогональных координатах соотношения Кодац­ ци—Гаусса имеют вид:

Из теории поверхностей известно 164], что если поверхность за­

дана в виде р = р (а, (3), то коэффициенты ац первой и Ьц второй квадратичных форм определяются формулами:

Кривизны нормальных сечений в направлении координатных ли­ ний и параметр кручения равны соответственно:

В последней формуле радиус кривизны ечитается положительным,

если единичный вектор ез и главная нормаль п сечения вдоль координатной линии однонаправлены.

Главные кривизны k\ и k2 (величины, обратные главным ра­ диусам кривизны) находятся из решения квадратного уравнения

k2 + 2Kk -f- Г = О,

где средняя и гауссова кривизны поверхности равны соответственно:

состоянии будем определять тоже гауссовыми координатами а, р

где U— («J. uv *4) — вектор перемещения точки М; р — радиусвектор точки М в недеформированном состоянии.

Так как нормальный до деформации элемент остается норма­ льным и после деформации согласно гипотезе Кирхгофа—Лява, то естественно предположить, что перемещения щ по толщине обо­ лочки распределяются по линейному закону:

Введенные величины (1.52) соответствуют в линейной теории оболочек [58, 81] деформациям и углам поворота срединной по­ верхности. Разрешив линейную систему уравнений (1.51) относи­ тельно 0, ф, х» найдем

Как видно, правые части' нелинейно зависят от величин е/, Ь{

и(/ = 1,2). Поэтому предпринимались различные способы упро­

Предположив, что параметры ец и поворот о)3 элемента обо­ лочки относительно нормали у к срединной поверхности явля­ ются малыми величинами более высокого порядка, чем повороты toi и а>2 относительно осей а и (3, и отбросив малые величины в формулах (1.14), из первых трех соотношений (1.44) с учетом (1.50) (о точностью до слагаемых второго порядка) найдем:

Перемещения в этом случае соответствуют линейному закону от­ носительно перемещений срединной поверхности и ничем не от­ личаются от соответствующих перемещений линейной теории [58, 81]. В общем случае перемещения щ распределяются по толщине оболочки относительно и, щ w нелинейно. Отбрасывая в (1.54) те или иные нелинейные члены, получим различные варианты геометрически нелинейной теории тонких оболочек в квадратич­ ном приближении.

Деформации оболочки для случая (1.56). Рассмотрим вариант нелинейной теории, когда функции 0, ф, х удовлетворяют усло­ вию (1.56). Найдем для этого варианта квадратичной теории де­ формации ец, 622 и е,2. Подставив перемещения (1.50) о учетом (1.56) в соотношения (1.15) и приняв во внимание (1.47), получаем:

Здесь, кроме ранее введенных обозначений в (1.52), появились

ei2- 1ггадат^1|_,&Ь’+‘1’Ч1г+*))]п+

4. (ei + 7*1) (®2 + ÏX2) + (e2 + Т*г) W 4*T^i) I + ô'ft2î (1.59)

Оставаясь в рамках точности тонких оболочек, отбросим в (1.59) величины у!Ri по сравнению с единицей. Получим:

Пренебрегая в полученных выражениях квадратами деформа­ ций по сравнению Q их первыми степенями и квадратами вели­ чин у, придем к следующим соотношениям

В выражениях (Р.64) возможны дальнейшие упрощения. Так, исходя из геометрического смысла величин ш°, х/ и 9/ в линейной

теории оболочек, можем заключить, что а>/ являются малыми величинами по сравнению с другими факторами. Поэтому можно принять:

Учитывая, что согласно (1.14), (1.50), (1.52) и (1.55)

= — $2, ü)2 — 6l

будем останавливаться на вопросе, которое из соотношений более

мации связаны некоторыми соотношениями, называемыми уравне­ ниями совместности или неразрывности деформаций. Выполне­ ние этих соотношений указывает на то, что при деформации произвольные мысленно выделяемые элементарные объемы обо­ лочек располагаются друг по отношению к другу без зазоров (пустот), т. е. деформированное тело остается после деформации сплошным. Существуют различные способы вывода уравнений неразрывности деформаций в теории оболочек 111, 15, 17, 58, 81). Ниже укажем один из возможных способов получения урав­ нений совместности геометрически нелинейных оболочек для слу­ чая, когда выполняются условия (1.56).

Предположим, что в деформированном состоянии OGH а, р

Используем это выражение для вывода уравнений неразрывности деформаций. Продифференцировав вектор

( / т= и\е\ + «гаг + uses

зо