книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

Для получения дифференциального уравнения, описывающего эту задачу Коши, продифференцируем (3.10) по параметру X. По­ лучаем

где Г (у, X) — матрица Якоби век-тор-функции ф(#, X). Задача Коши

для вектор-функции у = у\}) определяется дифференциальным урав­ нением (3.11) и начальным условием

произвольно вектор у0 и вычислим значение вектор-функции <р (t/°) =* = 9°. Вектор-функцию t|>(у, X) строим в следующем виде:

Легко проверить выполнение необходимых требований. При X = 0:

Î {У> °) = С?(У) — 9°. 9 (у) = 9°* У = У9-

При Х= 1:

И у > 1) = 9 (у ), <?(у) = 0> ~У=~У*-

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений (3. 11) для вектор-функции (3.13) принимает вид

равно

Матрицу D и вектор р можно задать на основе различных со-

ображений. В частности, вектор-функцию Dy — р — можно аппрок-

—►«-►

симировать вектор-функцией .<р(у) в окрестности решения системы

ср (у) = 0. Для этого можно использовать метод наименьших квад­

ратов [7]. Выбираем т произвольных значений у1(i — 1, 2, . . т>

терполяционными полиномами. Из условия (3.16) получаем п линейных систем с n + 1 неизвестным, каждая для определения п (л +1) коэффициентов wy, pi. '

Рассмотрим частный случай выбора точек у<С), а именно, когда

ур) = t/o + Ае/ (£ = 1,2, ... , л), где i/o — заданная точка; h — поло­

жительное число; ес t-й координатный орт.

следующие системы:

D{yо -f het) — V — <р(?о -f het);

Вектор р определяем по формуле (3.18).

Следует отметить, что вектор-функция Dÿ — р с матрицей (3.19) во многих случаях более точно аппроксимирует вектор-функцию

у (у), чем с матрицей (3.17). Но при этом для построения матрицы (3.19) необходимо почти в два раза больше вычислений, чем для

построения матрицы (3.17). При стремлении величины h к нулю

—►

в (3.17) и (3.19) матрица D стремится к матрице Якоби Г (у0).

^- — ►

Для вектор-функции ф (у, X), определяемой выражением (3.15), задача Коши формулируется для уравнения

решение задачи Коши для уравнения (3.14) или (3.20). За исклю­ чением случаев, когда удается найти аналитическое решение урав­ нений (3.14) или (3.20), для их решения можно применить числен­

известным и равным г/°. Далее находится решение уравнения ф (у, Xi) =;0, при этом в качестве начального приближения принимается

уравнения <]>(//, Хот) = 0 с начальным приближением у(кт-\)- В ре-

зультате получаем искомое решение у(1) = у*. Для каждого фик­ сированного X/ система нелинейных уравнений решается методом Ньютона. Метод комбинирования итерационного процесса Ньюто­ на с продолжением по параметру всегда устойчив [831При этом во многих случаях счет можно вести с достаточно крупным шагом по X. Естественно, что этот метод требует увеличения вычислений, но это компенсируется его безотказностью.

начального вектора хо». которые понадобятся при дальнейшем на­ ложении.

Рассмотрим решение задачи Коши для системы (3.21) при на-

чальноМ векторе н (0 )= п 0 и фиксированном значении ^ [83, 1.0» 7,71

переменных — компонент вектора хо и нелинейно зависит от ий. После подстановки выражения (3.25) в граничные условия (3.22)

получаем

Обозначая g [Jo. 1(/, *о)} = Я(*о)» равенство (3.26) запишем в ви^е

В случае граничных условий (3.23) имеем

Система (3.27), или (3.28), представляет собой систему нелиней­ ных алгебраических или трансцендентных уравнений относительно

вектора По­ следовательно, решение нелинейной краевой задачи (3.21), (3.22)

эквивалентно решению системы нелинейных уравнений (3.27) относи­

тельно хо и задаче Коши для системы (3.21) при начальном условии —►

х(0) — поПри этом следует отметить, что система (3.27) в явном виде не задана и онределена лишь алгоритмически, т. е. может быть

указан алгоритм, по которому вычисляется вектор q (и) по задан-

ному X.

Используя отмеченную эквивалентность, укажем численный метод решения краевой задачи (3.21), (3.22). Для решения системы нелинейных уравнений (3.27) применим дискретный вариант метода. Ньютона, так как невозможно точно найти производные от функции,

Матрица

где через ук обозначено k-e приближение для вектора у. Сокращенно '

Для обеспечения квадратичной сходимости итерационного про­ цесса (3.29) должно удовлетворяться следующее неравенство [83]:

Построим алгоритм для вычисления элементов матрицы Гhk(ÿ k )-

Вычислим векторы q (yk -f- hkei) (t = 0, Г, . . n). Полагаем, что

ео — 0. Имеем

Вектор-функция z(l, ук + hke() является решением задачи Коши

для системы (3.21) в точке t = / при начальном значении ук +

-f- hkei. Обозначим решение этой задачи Коши через х<(>кК Тогда задачу Коши запишем в виде

Выражение (3.32) теперь можно представить следующим образом:

патрицы Тьк (Ук) требуется решить п + 1 задачу Коши вида (3.33).

венно р и п —р, а остальные две матрицы прямоугольные.

Матрица Г 1,й0(|/о) = Е, где Е — единичная матрица, а матрица

Поскольку р первых компонент вектора g (хо°'0), xj0,0)) равны нулю, то решение системы

.что все векторы yk (k = 0, 1, 2, ...) обладают таким же свойством.

Поэтому матрицы Г],^ (yk), Г3>Ал (ук) не представляют интерес. Так как эти матрицы строятся по решениям задач Коши

то, следовательно, решение этих задач можно исключить из вы­ числительной схемы (3.35.).

Обозначим векторы Ауь g (x ii,k\ x\i,k)) в виде

Ранее было показано, что Aj/i(ft = 0. Запишем теперь вычис­ лительную схему решения краевой задачи (3.21), (3.22) для функ­

U J

решаются задачи Коши

dt = / (Л *(U))> *(<’ft)(0) = J/Л + k&h

(î = 0, р + 1, /7 + 2, ...» ri),

hk< шах I g2i $ M), 7?'k)|;

Аналогично можно поступить, если заданы р компонент век-

тора xi.

4.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДЛЯ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН

Будем рассматривать класс задач о напряженно-деформирован­ ном состоянии круглых пластин переменной в радиальном направ­ лении толщины под действием нормальных осесимметричных на­ грузок. Исходим из основных соотношений, приведенных в п. 2 и п. 4 гл. 1.