Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 294 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

по а и р соответственно о учетом					формул Гaycca — Вейнгартена
(1.46) в главных координатах,				получим:
=	А [(е\ +	7*1) е\ +	(<oi +		yxi) е2— ^1 +	%rj V 3J»
Щ - =	&[(®2 +	7*2) е2 +	(«иг +		утг) е\ — ^1 +	^rj Ь2е2J*
Продифференцировав эти выражения по р и а соответственно
и использовав равенство (1.67),				после некоторых преобразований
придем к уравнениям:

дАе\ . дА\ ,			1 двЩ2 , дВ °»12				Л В С ^ О ,	(1,68)
ар	+ ар е*+		2 ~TtI		Г да	2

где
Ci	1	аа	, &2.	г	1	ар	А .
	л		"h/?2’	42	в		« I е
		SЯ						(1.69)
Соотношения	(1.68)	после исключения из них величин Ci и Сг
по форме напоминают		уравнения неразрывности линейной теории
оболочек [81]. Однако		величины		е/,	он2» */, т		в нелинейной тео

рии оболочек являются лишь вспомогательными величинами. Исключив их о помощью соотношений (1.63), придем к уравне ниям неразрывности нелинейной теории оболочек, которые уже нелинейны. Если же вместо (1.63) использовать выражения (1.64)

или (1.65),		то получим		упрощенные		варианты уравнений нераз
рывности	деформаций.
Введем обозначения:
		U(X,	У, Z ) = ^			d B v	,	1	д А Ч ш
					"да*			А	ар	’

		М * .		Z) = ^ r		дА у		1	dB2Z
			У,			ар Л +		В	да	•	(1.70)
Тогда,	исключив		из	(1.68) величины Ci				и (2		и	подставив в
полученные		выражения		соотношения			(1.66),		после		нёкоторых

преобразований придем к следующим уравнениям совместности деформаций [1Ô] (случай (1.55)):

В работе [15] приведены другие варианты уравнения совмест ности деформаций.

Ниже уравнения (1.71) будут использованы для некоторых частных случаев оболочек.

Уравнения равновесия. С целью приведения трехмерной за дачи к двумерной, что уже имеет место для деформаций и пере мещений, в теории оболочек вместо напряжений вводятся их

интегральные характеристики — усилия и			моменты:
—ft/2 \	К2/	—ft/2	\

(1.72)

где N\ — нормальное тангенциальное		усилие; N u —'сдвигающее
усилие, Q\— поперечное усилие;	М\,	М ц — соответственно изги
бающий и крутящий моменты-в сечении а = const; Ni, N 2 1,
М2, M21 — аналогичные факторы	в сечении (3 = const (рис. 1.6);

указанные усилия и моменты отнесены к единице длины дуги сечения оболочки. Положительные направления силовых факто

ров приведены на		рис. 1.6.
Уравнения равновесия теории гибких оболочек и статически
граничные	условия	для варианта. (1.56),		т. е. когда х —О»			п0*
лучим из	начала	возможных	перемещений		(принципа	Лагран
жа). Согласно этому принципу,			работа	ЬА	внутренних	сил	на

вариациях перемещений равна работе 8L внешних сил на тех же вариациях:

			ЬА = 8L,	(1.73)
где, согласно	(1.36),	(1.38),	(1.44), (1.47):
8Л =	28С / =	( Л/2	(a ii8 s j 1 + 0128512 -f- <1228522)	X
8Л =	28С / =	J N f	(a ii8 s j 1 + 0128512 -f- <1228522)	X
		G l—A/2

x (* + ^î) (* +	dT)ABdad$>
h/2 _	dT} a*+ g {F ■sûr (1 + Л.)x
8 L = f î ‘ ■Wi (1 + i )
— h/2	Ь 0 * г { 1 +щ){1+sir)} x
x (‘ +*)“r}ABd^ +Ц{ ^
X A B d d ?+ я ( Г : Г • г у - 4'(12— т к г )(1 — £ ) } Л В Д \| .

Здесь через Г обозначена граница области срединной поверх


ности G,	W — вектор		перемещений	оболочки	как трехмерного
тела. Первый интеграл в 8L представляет собой работу поверх
ностных сил,		приложенных к боковой		(ограничивающей) поверх
ности оболочки, второй — работу объемных сил,						третий и четвер
тый — работу		поверхностных сил, приложенных				к верхней (7 =
= hi2 ) и	нижней (7 = — h/2 ) лицевым поверхностям оболочки.
Величина	~	является	нормальной кривизной		срединной поверх

ности в направлении касательной к кривой							Г, dst — элемент
длины	дуги	контура Г.		связанные с			контуром Г, вво
Векторы, усилий и			моментов,	связанные с			контуром Г, вво
дятся	так:
		T, = TwV +	T 4tt -f Tmn =		J	o J l +	df,
	—*	—►	— ^/2	—*	• —*	/	y \

M v = = jW yv/ — M V< v = £ [tl X a v]^1 - f J - j

0 *74)

где Tv,, 7\/, .Тш —.соответственно нормальное, сдвигающее и перерезывающее' усилия; М * — изгибающий и скручивающий

—► —>	...
моменты; v, t, п — орты нормали,	касательной и бинормали к

кконтуру Г.

Всоответствии с (1.50) и (1.56) вектор перемещений W мож но записать в виде:

W — U -f [2 x Y«] (в области G);

W = U 4- [2< x Y«] (на контуре Г),

где U = {и, v, w) — вектор перемещений точе,к срединной поверх

ности, 2 , 2/ — векторы углов поворотов					[81],	причем
—>■	—►	—*•	—►	—>	—►	—►
2 = — 0гб1 4* ®I £2 4" 2 п^з,				2/ = — О/v 4~		4-
2 ши— углы	поворота вокруг нормали				п (ез = п);
	0	_ 1	(дВи	дАи\
	^ п ~ М В \ ~ д 7 ~ д? р
	dw	\|	«v в	«	dw \|	uv	(

При этом заметим, что если известен угол 0 между ортами е\ и

7 , то все граничные деформационные величины по известным фор мулам [81] выражаются через основные деформационные величины.

Подставляя перемещения W в 8L и произведя интегрирова

ние по Y, придем с	учетом. (1.74) к	выражению
bL = С[Tv • &£/ 4- M v • 82/} dsi 4-		“H m *82} ABd<xd$,
Г	G

где [81]

Выражение для Ы можно записать также в развернутом виде

Ы = f (Т * М V+	+ 7\«8оу+ М * Ж 4- Л1,/80<) dst +
Г
4- Я (Р\Ъ и +	P 2S0 4- Я 38ш 4- miôfti 4- m ïbb2) A'Bdadfi.

Поскольку вариации обобщенных смещений 80], 8дг, и 80 являются зависимыми, то подставив их значения в 81 и проин-, тегрировав по частям с использованием формулы Остроградского, окончательно придем к выражению [81]

8L =	J (Nfbtiv 4" S 4but 4" Qfiw 4* A1VM80v) dst 4"
	г
	4- Я (ÿi8«+ <7280 4- д-,Щ ABdadfi,									(1.75)
где				га,
				га,	<72 =	Pi +		щ*
		Çl — P i + -^r»			<72 =	Pi +		щ*
			_	,1	(dBm,x		дАт2\2
		Ъ = Рз + Тв \~дГ +					" I T / ;
	N V— Т 14			мЛЬ.	А			м ч<		(1.76)
	N V— Т 14			Rvt ’ * ' - * ' *				Rl ’		(1.76)
			Qv =	r vn '	dMvf		m„.
			Qv =	r vn '	ds,		m„.
					ds,
Величины Nv,		Sv, Qv называют обобщенными граничными									уси
лиями. При	получении выражения для 8L предполагалось,										что
скручивающий момент на				контуре не терпит разрывов						[81].
Преобразуем теперь выражение Для 84. Для									этого внесем в
правую часть выражения 84 вместо						деформаций ец,				егг, ei2 их
выражения:
_	_ ei		7х1 ,	1 о2_	£22=	e2+ f2 , 1 2.
ец — г г . / и 4--ô~gi;					£22=	1	_i_^/p— h ?® 2.
	i + 7/*i					1	+ I	/RQ
С учетом (1.72)		работу		84 представим				в виде
			84 = 84л 4~ 84нл»							(1.77)
где 84л и 84нл— соответственно работа							линейных		и нелинейных
частей деформаций,
8 4 л = Я			(AfiSai 4- Nzbe? 4 * N 1280)? + N218012 4*
	G
4- MiSxi +			Мгйхг 4- Ali2&T] 4“ ^ 21^x2) ABdtxdft]
M“ = T Ш (№ + яг)89Î+ (N-+ S									891 +
			G
,4"	i2 4 *^21 4 - ~jjr				4 *

Методом, изложенным в работе [811» выражение 8Лл приводится к виду

[Z'l(/Vl’ Ыь 5) + "кГ + ^(^г) + ^ 1 г я ] 8“" '

- [ м ^ . AT* S) + ^ + |( j ^ ) + ^ -gtf]to +

+[Ав(if■+Щ- тг ■-Щ ш

+№**+

Subtil -{- Qy8t£> -J- M„^®v)

"4* Qn$W(f

( 1.78)

г д е L\ ( . . . )

(Z»2

(

. . . )

и м е ю т в и1д. 70);(.

Q i =

L i

( M

l ,

M H);2,

Q2 =

j g ^ 2{M [t M 2,

# ) *

(79i .)

IV, = cosWi + sin 20S + sin20#2 +

sin 20

H —

— y s i n 2 e ^ ~ ^ j ^ sin 20 (M2 — Щ -bcos20#j;

5, = y sin 20 №

—Ni) + cos205 +

cos20

sin20

!# +

[

sin 26 (" 2 -

■M ,)+

cosWH}

sinO 3

cosO

Q, = COS 0Q| + sin 0Q2 +

"T" da

ар/ *

| y

s in20 {Mi —

M l)

60S20#

J- b m »;

Q ^ = ^

J y s i20n ( M 2 — M i ) + c o20s # 1S= S£S

( 1.80)

m* =

COS0/721 +

s i n

0/rt2»

M o,

M ,

(1 .81)

s = W i2— i ç =

- -Щ-'' H = M 2<= M i2

Преобразуем теперь выражение 8Л Нл*

И м е е м

6k „ =

f('{(w, +

(ль + ^ ) * s№» +

[5 +

# J(d l»2 +

*****>} А в ш $-

Выразив далее зависимые вариации и S&2 через вариации перемещений и проинтегрировав некоторые выражения по частям с использованием формулы Остроградского, придем к выражению

Мял =Я {[(‘v‘ + т$ ®l + (s+ (sr+ r ) H) 82]sf8t

++ -R7)82+ (s + [T , + щ ) H ) 8|]sfb v +

	Г в в (", + ^ ) » ,			a e ( + ( £	+ * r)« )»		+
	I	да	"Г		âS	'	+
dA>( N2 +		R ; ) h				1	dadp —
*	ap			ap			dadp —
*	ap			ap
— J( C0S®(M 1 "b ~Щ~)				“b S*n ®	2+	$2 +
	ï		1			2
+	[*5 +	+	-щ! 7/J (cos 0^2 + sin 0&i)j 8wdst.				(1.82)

Подставив полученные выражения (1.75), (1.78) и (1.82) в равенство (1.73) и приравняв коэффициенты при независимых

вариациях, придем к	уравнениям равновесия:
		a /Ai				ABQ\
		ap ^ ,					- =г — ABq\\
		ap ^ ,
		a 1B1				АВ&		„ о
		да ^
(Ni , М		A B -	dBQ\	dAQl		= АВдх;
V«i+ * ./			да	ap		-
<’ - « ■ - (	+	£ ) * . +		[ s +	^	+	± )w ]» 2;
Q l= « * _ ( # ,	+	£ ) * , +		[S +	( £	+	H ]h.	(1.83)

и статическим	граничным условиям:
Л* Л	/ . ,	МЛ	{	МЛ
Q» = Q— cos0ГЛ71 4 -щ- m			— sin G/ Л^2 4*
—	^ +	щ! н J(cos 0&2 4* sin O&i) =а Q°;

М„ = л С (Qt = Qn == 0).

Если срединная линия граничного элемента совпадает с ко ординатной линией а = const, то 0 = 0. На граничном контуре р = const, 0 = тс/2.

Исключая из	системы уравнений (1 83)	и Ql, а вместо Q\
и Qs подставляя	их значения из (1.79), окончательно получим
три уравнения равновесия относительно усилий и моментов.
В работе 115]	показано, что в первых двух уравнениях равно
весия (1.83) для	многих задач можно принять	Qi* = Qi, Ql = Q2.

Для случая * = — у (&? + ^2) вывод основных уравнений гео

метрически нелинейной теории оболочек дан в работе [84]. Эти

уравнения	получаются из		(1.83), если	в Qi	и ф	положить	вме-
МJ	М2		М2	Af,	принять Н = 0
сто -5- и	-П-	соответственно---- 5- , ---- ^ и			принять Н = 0
«1	К2-		К2	*4
В нелинейной теории оболочек иногда вводят обобщенные
усилия и моменты, связанные с величинами					s,y	из ( 1.22} — обоб
щенными	напряжениями		на деформированной поверхности.				Не
которые варианты faKHX уравнений приведены в монографии							[15].

Соотношения	упругости. Под соотношениями упругости в
теории оболочек	понимают	уравнения, связывающие	статические
и геометрические факторы,		т. е. внутренние усилия	и моменты

и компоненты полной деформации. Соотношения упругости в теории оболочек являются аналогом закона Гука в теории уп ругости.

Для получения соотношений упругости разрешим равенства закона Гука (1.3.1) относительно напряжений, а затем, используя

(1.72) и (1.62), после интегрирования по 7 от				— у до у	с уче
том нулевой и первой степени 7		получаем:
Ni = D N [S 1 + VE2 — (1 -f- v )er];		N 2 = A v [ e 2 - f		vei — (1 -f-	v) sy 1;
= D t f -Ц г ^ й ) "I"	N i \ = D N—y - ^ w - f				(1.84)
Mi = D M [K I — v/Сг — (1	+ v) xrl;	М 2 — D M [K 2— v/Ci— (1			+ v) %T]\
М 21 — M \2 — y D M (1 — v) /С12.
Здесь D N и D M — тангенциальная			и изгибная	жесткости	соответ
ственно:
	E h		E \ t3		( 1. 85)
Dw	1- v 2* D	M	— 12 (1 — v2) '		( 1. 85)
Dw	1- v 2* D	M	— 12 (1 — v2) '

Величины er и xj являются интегральными характеристиками

температурного		поля Т:
I	1/2	12	п/,/
&Т = Т	I	тТ(а,р, 7 ) dyt т = тз	j о-тТ ( а , р , 7 ) 7 ^ 7 . (1,8 6 )

— Л/2

П —ь”

Учитывая (1.79). соотношения упругости (1.84)					можно запи
сать в	виде:
Ni =	Av[e 1 +	V32 — (1 + v.) ег];	N2 — Ау(ег +	vej — (1 + v) sг];
		5 =	ш;
Mi = DM [Ki + 4K.2— (1 -f- v) xr];			М 2— DM [K2 +	vKi — (1 4- v) *r]-
		H = ^ D M(1 — v) /Ci2.			(1.87)
Соотношения		упругости в виде (1.87) свободны			от формаль

ных противоречий, вследствие чего выполняются основные теоре мы теории упругости. Существуют и другие варианты соотно шений упругости нелинейной теории оболочек [11,3].

Потенциальная энергия деформации срединной поверхности оболочки. Принимая во внимание сделанные допущения в соот ветствии с гипотезой Кирхгофа — Дява, из выражения потенци альной энергии для упругого тела (1.36) с учетом (1.44) и (1.45) имеем

£ (<зцец + 022622 + <Ji2Si2) |l -f-^-j^l A - d^ABdadfi.

После интегрирования по у, приняв во внимание (1.72), по лучаем

^ = -i- (Т (Л71s1 4- N2Si ~Ь 5ш. + М\К\ 4- М 2К2 4- НК12) ABdid,3.

^ G

			(1.88)
Подставляя в (1.88) выражения усилий и моментов через де
формации	из (1.87)	при ет — *т — 0,	находим
U =	^ Я [ ( е ,	+ е2)2 - 2(1 - v)	ABdadfl +
+	+ « 2)2 — 2(1 — v)(Ki/C2 — /С!г)1 ABdadf. (1.89)

Выражение потенциальной энергии оболочки состоит из двух слагаемых: первое слагаемое представляет собой потенциальную энергию, обусловленную силами, действующими в тангенциаль

ной	плоскости,	а	второе — потенциальную	энергию, обусловлен
ную	изгибными		факторами.	произволов, содержа
Граничные		условия. Для определения

щихся в общем решении системы уравнений, описывающей на- пряженно-де.формированиое состояние оболочки, должны быть заданы граничные, условия на контурах, ограничивающих обо лочку. На каждом контуре оболочки должны быть заданы четыре граничных условия.

>•

Статические граничные				условия		могут быть сформулированы
с помощью линейных		комбинаций				величин:
на контуре а ==const
, ,	\,	р		с , 2Н		_* .	1 дН		(1.90)
N\, М	\,	5i =		5 +	р - ,	Qi = Qt -f- p-âô*î			(1.90)
							В dp
на контуре \|3 =	const
I t	ДТ	52 =	П	5 +	C l	^	Л 1 дН Л	■	(1.91)
N2. N	2,	52 =		5 +	-^-,	Q2 = Q2-\- — — .			(1.91)

Вряде случаев можно принять, что Qt = Q t ( t= 1, 2). Граничные условия могут быть заданы в деформациях через

величины:

на контуре а = const

62, *2,

1 dta

(1.92)

Т — /Г»

ч2

25 Тр*

на

контуре

р =

const

61,

*1,

„

1 ÔU)

(1.93)

^2 — ^

Ci — Cl — 2 ^ ^ '-

Граничные условия также можно сформулировать в переме

щениях с помощью величин:

на

контуре

а = const

и,

w , $1,

(1.94)

на

контуре

р =

const

и,

w, &2.

(1.95)

Кроме то*0, граничные условия можно задавать

в смешанном

виде,

т. е.

виде

линейной

комбинации

усилий,

моментов,

де

формаций и перемещений.

Л „

имеют

определенный физический

Величины Si,

Qi,

S 2

смысл:

А Л

усилия,

Лф

Л*

Si,

S 2 — приведенные сдвигающие

Qi,

Q2— при

веденные поперечные

усилия.

Физический смысл

величин

Ci следующий:

t|, Ç2,

*2,

ti,

граничного

элемента,

Ci,

А Л

*2— скручивания

С2 — искривления

граничного элемента

тангенциальной

плоскости.

Варианты

граничных

условий

при а = const.

Свободный

ненагруженный

контур

N 1= 0, /И) =	0,	<Si=0, Qi = 0 .	(1.96)
2. Шарнирно закрепленный	кочтур
M i — 0, и =	0,	о = 0, w = 0.	(1.97)

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 294 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги