книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

прерывности перемещений или усилий — моментов. Для опреде ления неизвестных величин в узлах области применяется один из вариационных принципов: принцип минимума потенциальной энергии (Лагранжа), принцип минимума дополнительной энергии* (Кастилиано), принципы минимума полной энергии (Рейснера или Ху-Вашицу). В результате получается нелинейная алгебраическая система уравнений для определения узловых величин. Решение ее и определяет напряженно-деформированное состояние в задан­ ной области. Возможны и другие подходы к получению алгебра­ ических систем уравнений: например, можно использовать методы Ритца или Бубнова — Галёркина.

Если используется принцип минимума потенциальной энергии, то в качестве неизвестных функций (функций формы) должны за­ даваться перемещения; при использовании принципа Кастилиано— напряжения, при использовании принципов Рейснера или ХуВашицу — напряжения и перемещения. Систематизация схем МКЭ в теории упругости на основе вариационных принципов дана

вработе [Ь6].

'Одним из критериев достоверности получаемых результатов является сопоставление этих результатов с точными для модель­ ных задач или сопоставление результатов при увеличении числа узлов, т. е. применение принципа Рунге. Для простейших задач теории пластин и оболочек доказана сходимость МКЭ [60, 69].

Наиболее широкое применение для получения алгебраической системы уравнений находит принцип возможных перемещений Лагранжа. Поэтому МКЭ является вариационно-сеточным методом

ичасто трактуется как метод Ритца. Действительно, в методе Ритца (см. гл. 6) записывается выражение полной энергии в пе­ ремещениях и предполагается, что перемещения зависят от ко­ нечного числа неизвестных параметров. Система алгебраических

ненную, а не ленточную структуру. В МКЭ перемещения зада­ ются поэлементно, в остальной части области они равны нулю. Каждый узловой параметр связан только с примыкающими к этому узлу элементами, в результате для алгебраических уравнений по^ лучается частично заполненная, обычно ленточной структуры, матрица коэффициентов. Метод Ритца применяется для достаточно простых областей. В МКЭ простую структуру должны иметь только элементы. Поэтому МКЭ в принципе применим к иссле­ дованию пластин и оболочек произвольной геометрической формы при любых граничных условиях.

По виду задания функций формы МКЭ. близок к методам теории сплайн-функций.

Типы конечных элементов. Простейшим конечным элементом является одномерный элемент (рис. 9.3). Площадь поперечного

угольнику. Зто приводит к более точным результатам, чем при разбиении на треугольники с сильно различающимися размерами сторон. Кроме того, предпочтительным является разбиение, по­ казанное на рис. 9.7, а, по сравнению с разбиением, показанным на рис. 9.7, б.

Нумерация узлов. Использование МКЭ, как указывалось выше, приводит к системе алгебраических уравнений, большое число коэффициентов которой равно нулю. При рассмотрении нелиней­ ных задач теории оболочек все ненулевые и некоторые нуле­ вые коэффициенты линейной части членов уравнений находятся между двумя линиями, параллельными главной диагонали. Рас­ стояние между этими линиями называется шириной полосы матри­ цы, которая вычисляется по формуле

степеней свободы в каждом узле. Минимизация В связана с ми­ нимизацией R. Последнее может быть осуществлено последова­

в качестве функций формы элементов используются полиномы. Порядок полинома зависит от числа используемых в каждом узле элемента данных о непрерывной функции. В соответствии с по­

рядком полиномов, применяемых в функциях формы, может быть проведена классификация конечных элементов. Рассматривают [37] три группы элементов: симплекс-, комплекс-, мультиплексэлементы. Симплексным элементам соответствуют полиномы, со­ держащие постоянную и линейные члены. Для двумерного тре­ угольного элемента он выражается функцией вида

© = 0.1 -}- CL2Х + tt3t/.

Число коэффициентов в симплекс-элементе на единицу больше размерности пространства.

Комплекс-элемент соответствует полиномам, которые содержат постоянную, линейные члены и члены второго, третьего и более высокого порядков, если это необходимо. Форма комплекс-эле­ мента такая же, как и симплекс-элемента, но они имеют допол­ нительные узлы, могут иметь и внутренние узлы (например, в центре тяжести элемента). Число узлов в комплекс-элементе больше числа размерности координатного пространства на единицу. Для двумерного координатного пространства интерполяционный поли­

ном комплекс-элемента имеет вид

<р = a J а2х + аъу + а\х2+ о-ьху 4- а6у2.

Рассматриваемый элемент должен иметь шесть узлов.

Для мультиплекс-элемента также используются полиномы вы­ сокого порядка, но границы элементов должны быть параллельны координатным осям, что необходимо для достижения непрерыв­ ности при переходе от одного элемента к другому. Прямоугольник со сторонами, параллельными осям координат, является приме­ ром мультиплекс-элемента.

Потенциальная энергия. Запишем потенциальную энергию (1.88) в матричном виде. Для этого введем векторы-столбцы:'

(1)12 “Ь ^1^2

Тогда

= (A^IÊI + # 2e2-[-So>+'M i*i +Л12Х2 + 2Яг)ЛШ а^Р =

ù G

= ittle iflT lA B d a d ? = i î î (МГ + l»f)iT]ABdadp. (9.3)

Кроме исходных данных, определяемых формулами (9.2), вве­ дем еще следующие векторы-столбцы: ‘

(верхний индекс «T» означает везде транспонированную величину). Тогда величины ВL и ЬА[. из (9.3) запишутся в матричном виде

Ы = H [W \T [Q] ABdad? + î [bVv]T [Qrl dsh

G Г

М л = Я ([be)T [N] -f [8x]г [Л4]) ABdadp =*

G

Матричная запись 8Лнл имеет более сложную структуру, при­ чем элементы некоторых матриц будут зависеть от векторастолбца [е].

2. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ПЛАСТИН

Рассмотрим слоистую ортотропную гибкую пластину перемен­

которой точке; а\, Ь\ — характерные линейные размеры пластины