книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

Рассмотрим вопросы применения метода линеаризации к ре­ шению нелинейных краевых задач для гибких оболочек вращения G произвольной формой меридиана при осесимметричных (силовых и тепловых) воздействиях и бесконечно длинных цилиндрических оболочек произвольного поперечного сечения при нагрузках, равномерно распределенных по образующей. Напряженно-дефор­ мированное состояние таких оболочек описывается системой не­ линейных обыкновенных дифференциальных уравнений вида' [24]

Здесь в качестве основных неизвестных Nt (i = 1, 2, ...» 6)

А

выбраны статические Ni, Qi, М\ и кинематические и, w, 0 фак­ торы (рис. 4.2 а, б); а£[ао, ai] — независимая переменная, изме­ няющаяся вдоль меридиана для оболочек вращения и по направ­ ляющей для цилиндрических оболочек; s —длина координатной линии по переменной a: а^ = а//(а), bqk = Ьф (а) — функции, за­ висящие от жесткостных и геометрических параметров оболочки

fi — Uip) характеризуют дейст­ вующие на оболочку силовые и температурные поля; ненулевые коэффициенты Ьцн имеют вид:

б

Начальное приближение выбирается автоматически как реше­ ние исходной задачи (4.58), (4.59) с отброшенными нелинейными членами. В каждом k-м приближении краевая задача (4.60), (4.61) решается методом дискретной ортогонализации (см. п. 2 настоя­

щей главы). Значения функций Nk~l между узлами интегрирова­ ния вычислялись с помощью линейной интерполяции, что воз­ можно при достаточном количестве узлов.

Важным является определение области сходимости последова­ тельных приближений (4.60), (4.61) в зависимости от величины нагрузки q. Здесь имеется в виду практическая сходимость метода, как наиболее показательная в прикладных задачах. Для выясне­ ния этого вопроса проводилось сопоставление результатов, полу­ ченных по методу ,линеаризации, с результатами решения двух типов модельных задач: либо имеющих точное аналитическое или численное решение, либо решенных приближенным методом, отли­ чающихся в принципе от метода линеаризации. Первые охватывают бесконечно длинные пологие цилиндрические панели кругового и некругового (18, 21, 47] сечения, ко вторым относятся пологие сферические купола при различных видах поверхностной нагрузки, для расчета которых применялся конечно-разностный метод повы­ шенной точности [45].

Пример 4. Бесконечно длинная круговая цилиндрическая панель постоян­ ной толщины h находится под действием равномерно распределенной нагрузки д, направленной к ценгру кривизны (п. 3, гл. 2). На прямолинейных краях оболочки заданы условия жесткого шарнира:

и = w — Mi —0 при а — ± Ь.

В табл. 4.4 приведены результаты решения этой задачи для безразмерных

ведены значения погрешности ч линейной теории при определении наибольшего прогиба оболочки и число итераций к, при котором результаты последующего приближения по максимальным значениям совпадают с результатами предыду­ щего не менее, чем с четырьмя значащими цифрами.

Пример 5. Рассмотрим большие прогибы оболочки вращения в виде сфери­ ческого сегмента, жестко защемленного по контуру [46]. Результаты решения

Анализ полученных результатов, приведенных в табл. 4.4 и 4.5, показы­ вает, что для рассмотренных модельных задач решения, полученные методом линеаризации, практически совпадают с аналитическими, точным численным

и конечно-разностным решениями при значениях параметра q, меньших, чем верхняя критическая нагрузка qb. Такое же совпадение наблюдается и для

аналогичных задач в более общей постановке, когда кривизна и жесткостные характеристики изменяются вдоль направляющей [23].

Таким образом, сочетание методов линеаризации и дискретной ортогонали-

вацчи позволяет получить в докритической области полное решение сформули­ рованного выше класса нелинейных задач (4.58), (4.59).

Пример 6. Конструкция, составленная из соосных двух цилиндрических, тороидальной и конической оболочек вращения, находится под действием сжи­

внешней (+ ) и внутренней (—) поверхностях для первых двух участков обо­ лочки, где факторы напряженно-деформированного состояния являются наиболее существенными.

Пример 7. Рассматривается оболочка, образованная вращением цепной

линии у — ach — вокруг оси ох, срединная поверхность которой представляет

осбой поверхность вращения переменной отрицательной гауссовой кривизны

а

ki —— гг. Контур оболочки х — 0 свободен, а контур х = хп жестко

У

.закреплен. Оболочка деформируется

5. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ЛИНЕАРИЗАЦИИ В ЗАКРИТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

При решении задач теории гибких оболочек возникают значи­ тельные трудности, связанные, с прохождением через критическую точку для нагрузки. Они связаны с тем обстоятельством, что некоторые компоненты искомого решения являются неоднознач­ ными функдиями нагрузки. Ниже излагается подход к решению нелинейных краевых задач для гибких оболочек во всей области изменения нагрузки, включая ее критические значения, с помощью метода линеаризации.

Исходную нелинейную краевую задачу, описывающую дефор­ мацию гибких оболочек, запишем в векторной форме

где Х*т= {х[, xi, • • -, х„}; В] и Вг — матрицы соответственно раз­

мерности k x n и (п — 1г)хп, Ь\, Ь\ —векторы соответственно раз­ мерности k и n — k\ q — некоторый механический параметр.

Преобразуем краевую задачу (4.62), (4.63) следующим образом. Дспэлним систему (4.62) уравнением

Тогда (4.62) можно представить в виде следующей однородной системы:

Так как порядоксистемы (4.65) увеличился на единицу, то для корректной постановки краевой задачи необходимо сформу­ лировать еще одно краевое условие; тогда краевые условия при­ мут вид:

метода линеаризации строим итерационную вычислительную схему

дится к последовательности линейных краевых задач. Для каж­ дого номера приближения т линейная краевая задача (4.67), (4.68) решается с помощью устойчивого численного метода диск­ ретной ортогонализации.

При формулировке краевых условий (4.66) следует ^учитывать,

функции <7, то в качестве дополнительного краевого условия следует выбрать условие

и решить одну краевую задачу (4.65), (4.66) по схеме (4.67), (4.(Г) при фиксированном значении параметра qo-

В этом случае приходим к обычному использованию метода линеаризации для нахождения решения задачи при фиксированном значении параметра q.

Если же некоторые компоненты xi (i = 1, 2, ... , п) являются неоднозначными функциями хп+\ = q, то определяем ту сущест­ венную компоненту решения из числа не заданных при t — to, для которой обратная функция является однозначной. Пусть, не умаляя общности,

Тогда в качестве дополнительного краевого условия выбираем

При этом необходимо не нарушить корректность краевых ус­ ловий (4.66) при t — to.

Процесс решения задачи (4.65), (4.66) начинаем с фиксирован­ ного значения х\ (£о), которое выбираем из физических соображе­ ний. В качестве нулевого приближения в итерационной схеме (4.67), (4.68) принимаем решение соответствующей линейной за­

дачи. Затем изменяем значение xi на величину Ах\, т. е. изменяем дополнительное граничное условие (4.71),.и решаем задачу (4.65), (4.66) при

по той же схеме (4.67), (4.68), но в качестве нулевого приближе­ ния используем решение предыдущей краевой задачи.

Решаем последовательность краевых задач (4.65), (4.66) при следующих фиксированных значениях х\ (to):

xi, xi + Axi, x° + 2Axi, ... , x° + iAx..........

и получаем зависимость между компонентой х\ (t) и параметром q.

lie

Для обоснования предлагаемого подхода решалась задача о деформации бесконечно длинной круговой цилиндрической па­ нели постоянной толщины под действием нормальной поверхност­

изменения нагрузки, включая верхнее и нижнее критические значения.

Пример 8. Рассмотрим задачу о деформации усеченной эллипсоидальной оболочки вращения постоянной толщины ft под действием внешнего нормаль­ ного давления gT = q0— const, внешний контур которой жестко защемлен, а внут­ ренний — свободный.

В качестве исходных принимались соотношения нелинейной теории тонких оболочек при осесимметричной деформации (см. гл. 1).

Уравнение меридиана оболочки имеет вид

г* 2а .

да+ £3 = 1 (го < г < 2i)>

При интегрировании разрешающей системы уравнений в качестве незави­ симой переменной взята координата г, что предусматривается разработанным

линией обозначены результаты, полученные по нелинейной теории, штриховой — по линейной.

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА ПРОДОЛЖЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

ДЛЯ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

При решении нелинейных краевых задач для систем обыкно­ венных дифференциальных уравнений с помощью метода сведения к системам алгебраических или трансцендентных уравнений и за­ даче Коши (см. гл 3) и метода линеаризации (см. гл. 4) возни­ кают трудности, связанные с выбором начального приближения, обеспечивающего сходимость итерационного процесса в указанных случаях. В связи с этим, как и при численном решении недиффе­ ренциальных систем (см. гл. 3), одним из путей преодоления отмеченных трудностей является применение метода продолжения решения по параметру непосредственно к дифференциальным си­

При применении метода продолжения решения по параметру вместо краевой задачи (5.1), (5.2) рассматривают следующую крае­ вую задачу, содержащую параметр X:

можно было определить сравнительно просто, а при X^ 1 выпол­ нялись равенства:

Тогда искомую вектор-функцию х можно рассматривать как

краевой задачи (5.5), (5.6); *(1) — искомое решение исходной кра­ евой задачи (5.1), (5.2).

2.СПОСОБЫ ВВЕДЕНИЯ ПАРАМЕТРА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ

Всоответствии с требованиями, изложенными в п. 1, рассмот­ рим некоторые способы введения параметра и получения краевой задачи (5.3), (5.4) [83].

Находим каким-либо численным методом, например методом

Рунге — Кутта, решение задачи Коши (5.8) х(0) (0*

Используя полученное решение х(0)(0> определяем

Сформулируем краевую задачу (5.3), (5.4), содержащую пара­ метр, следующим образом:

Проверим выполнение требуемых условий» при X= 0 получаем краевую задачу

%=HU~x), ê (Я */) = ?».

решение которой в силу (5.9) совпадает с решением задачи Коши