Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

В полярной системе координат а = г, (3 = 0, Â — 1, В —г. Основ ные уравнения и соотношения принимают вид:

уравнения равновесия

Ш ) - N, = О,

(гМг) —

rQr = 0;

(3.38)

выражения для деформаций

	d*w	J	dw		(3.39)
%т~	dr' 9 “	г	dr	’

соотношения упругости
Nr — DN (ег -f- vee),			N о =	-f* vsr),
Mr = DM(xr + vice),			Me = DM (xe + vxr),		(3.40)
DN =	Eh .		-E№	h = h (r).
	1— v2’	DM = 12(1 — v2)’
Здесь Nr, N o,	Qr, Mr,	Mo — усилия и		моменты;	en ee, *r,
«e — тангенциальные и изгйбные			деформации; и, w — радиальное
и нормальное перемещения.

Добавляя к уравнениям (3.38) — (3.40) граничные условия, мож

но сформулировать краевую				задачу.		После		некоторых		преобра
зований из уравнений			(3.38) — (3.40)				получаем		разрешающую
систему уравнений в виде [31]
		dNr				( ! - * 2)Р*и;
		dr				( ! - * 2)Р*и;
		dr					Г*
		du	1	„	V		I »
		dr	= DN Nr — г ц — 2
= — jQr — ~— J					N~ubr — fj - NrMr + q4\					(3.41)
dM.				r			'M
dM.				1—V Mr +			(1 — v2) D M		$é’>
dr	-	= —	Qr-	1—V Mr +			(1 — v2) D M		$é’>
dr		~	4 ' ---------r					Г*
	dw _		о .	d^r		I	.,	v
		dT------*"			i		■'	v
		dT------*"		Ч Г ^ Ж^AfГ ^ ' — Г '
			(b < r < a)
Введем следующие безразмерные величины:
		г		ft	„*	з (1—v2) а2

		3(l —v2) а
	и* =		Т -1— и, ш* = К3(Д — v2)-]^-;
.		V [3(l — v2)]3 à'3 л,			л*	K l 3 ( l - v 2)J3a3			л
МГ**		Ehi		M r,	Qr -- ---------		E h f 1-------(3-42>
		Ehi
^; = j / 3 ( l - v 2) T - 0 r,				=	V"[3 (l — v2)]3 ût4
^; = j / 3 ( l - v 2) T - 0 r,				=		Ыо	<7т» Х€ — т р
						Ыо
Тогда разрешающая система уравнений (3.41) запишется в
виде
		dNr		1 — v	дг ,	А .
		~ З Р ~ ------ j - N r + T K
		du	1— *						(3.43)
		dx							(3.43)
		dx
		~ d t ~ ~ ü Qr— -4 ‘Ubr~ - jfr N rMr + q f
		dM _	Цг	1 - v M . (1 -v 2) ^ .
		---------------	Цг		Mf _J	> _	xyn
			m,			4x2
Ê L - — b-			m,
Ê L - — b-
dx ~
В этих	уравнениях		в безразмерных			величинах		для	простоты
опущен индекс *.				запишем в векторной				форме
Систему уравнений (3.43)				запишем в векторной				форме
			dN	7/	Тт\				(3.44)
			dx	— ï ( x >

где N = {М} = и, Qr, Mr, w, br} ,f — шестимерный вектор. Граничные условия в общем случае имеют вид:

B\N (*о) = Ъ\,		B2N (1) = b2,		(3.45)
где В\ и В2— заданные	прямоугольные		матрицы	соответственно
		—►	—
порядков k х 6 и (6 — k) х 6 (k < 6); b\,			b2— заданные векторы.
Решение нелинейной	краевой	задачи	проводится методом све

дения к нелинейной системе уравнений и задаче Коши, изложен ным в предыдущем параграфе.

Приведем результаты решения с помощью данного метода не которых примеров [26J.

Пример 1. Рассмотрим задачу о геометрически нелинейной деформации жестко закрепленной по внешнему контуру (х — 1) кольцевой пластины посто янной толщины Л0 под действием приложенного на внутреннем контуре (х = х0) перерезывающего усилия Q0 (рис. 3.1). Граничные условия принимают вид:

при х = х0

и = ^ = 0, Ог = <?0;

и == О, = w = 0.

При решении задачи принималось Л0= 1; *„ = 0,2; ?т = 0; v = 0,3.

В табл. 3.1 приведены результаты решения задачи в точке х — х0 при

		Т а б л и ц а 3.1
При	W*	*		!	^	>
			К
ближения		"г				1
				1
0	1,0360	0,0000	4,7060
					Рис,	3.1
1	0,8732	1,0482	4,1419
2	0,8983	1,4484	4,1516	При решении задачи в качестве
3	0,8979	1,4463	4,1509	начального приближения		использова
4	0,8979	1,4463	4,1509	лось решение линейной		задачи. Из
в третьем	и четвертом			табл. 3.1 видно, что значения функций
		приближениях совпадают до четвертой значащей цифры.

Но с увеличением приложенного усилия задача усложняется в отношении вы бора начального приближения и скорости сходимости.

Пример 2. Исследуем напряженно-деформированное состояние кольцевой пластины с толщиной, изменяющейся по закону

h (х) = Л0(1 — 0,6666 х),

под действием равномерно распределенной нагрузки q0

Граничные условия запишем в виде
при х =	Хд и = w =	=	0;
при х — 1	Nr == Mr =	Qr —0.
При решении задачи принималось Лв =		1;	= ‘0,5;	= ÇQ» V — 0,3

На рис. 3.2 показана зависимость прогиба w* в точке дс= 1 от,величины

qQ. Сплошной линией показано	решение нелинейной	задачи,	штриховой —
линейной. В табл. 3.2 приведены значениядругих факторов в			зависимости от
изменения ^д- Для каждого значения q*Qв первой строке		таблицы дано .началь
ное приближение ( Л=0 ) , а во	второй г-результат последнего		приближения.
С ростом <7д для сходимости	итерационного процесса Ньютона необходимо

выбирать более подходящее начальное, приближение либо применять метод продолжения по параметру.

5. МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА СВЕДЕНИЯ ПРИ РЕШЕНИИ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ ОБОЛОЧЕК В ЗАКРИТИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ

Рассмотрим некоторый подход к решению нелинейных краевых задач для значений нагрузки, превышающих критическое значение, когда обычный метод сведёния или другой метод не могут быть реализованы [25]. Такой подход в ином виде широко использо вался при решении задач теории оболочек в [10].

Пусть имеем нелинейную краевую задачу с параметром д:

=	~х,	д);			(3.46)
g (Хо,	Xi) =	0.			(3.47)
На отрезке [0, /], где ищется решение			краевой	задачи	(3.46),
(3.47) , выберем точку t — tm(0 < tm < I).			В этой	точке	задаем

вектор х (tm) = хт и решаем задачу Коши для дифференциального

уравнения (3.46) с-заданным начальным		вектором	хт. Тогда ре
шение задачи Коши z будет зависеть	от <7 и хпи а		именно
z= 1 {t, хт,	д).		(3.48)
Если вектор хт является решением		краевой	задачи (3.46)

(3.47) в точке t ^rfti то вектор-функция z должна удовлетворять краевым условиям (3.47), т. е. следующей системе уравнений

g[z (0, хт, д),	z(ï,	хт, <7)] =	0,
или
g'(Xm,	д) =	0.	(3.49)

Так как в дифференциальное уравнение (3.46) входит параметр

<д, то все компоненты вектора решения х краевой задачи (3.46), (3.47) являются функциями этого параметра. Если же компоненты Xi = Xi(g) — однозначные функции g на. отрезке [0, /], то будем считать, что в системе уравнений (3.49) неизвестными величинами

являются компоненты вектора хт, а параметр g фиксирован. Если

это не так, то определим ту существенную компоненту вектора решения в точке t — tmy для которой обратная функция является однозначной.

Предположим, не уменьшая общности, что

q = q [х\ (tm)],		(3.50)
a q является однозначной функцией	от х\ (/т). Тогда	в системе
уравнений (3.49) неизвестными величинами будут
Х2 (/от)» Хз (/от)» • ♦	Х/t (/от)» q)	(3.51)

а величина х\ (tm) фиксирована.

Решение задачи начинаем с определения величины, которую необходимо фиксировать. Пусть это будет величина х\ (tm). Система

нелинейных уравнений (3.49) относительно хт или					параметра q
	—*		виде не		определяется
и п — 1 компонент вектора хт в явном
и для ее решения используется дискретный аналог					метода Нью
тона. На	каждой итерации решаем п + 1 задачу Коши на отрезке
[0, /т ] и	п + 1 .задачу Коши на	отрезке	[/«,,	fl.
Принимаем, что х\ (tm) = х\т.		Исходя	из	физических сообра

жений, задаем нулевые приближения величин (3.51) и решаем систему (3.49). В результате получаем искомое значение параметра

q и в точке / = /т компоненты вектора	решения xs, хз, ...»		хя.
Изменим значение компоненты x\ (tm)	на величину	Длп,	т. е.
положим
xi (tm) — Х\т + ЬХ].		(3.52)

В качестве нулевого приближения величин (3.51) выберем их значения, полученные при решении предыдущей задачи, и повто рим процесс решения.

Решение краевой задачи (3.46); (3.47) будем получать после довательно при значениях

х\я, -f AATI, х'ш + 2Д*ь •. -, х\т-Ь ILxu Проиллюстрируем реализацию метода на конкретном примере.

Пример 3. Рассмотрим задачу о деформации бесконечно длинной гибкой пологой цилиндрической панели переменной толщины под действием поперечной нагрузки. Используем основные гипотезы и соотношения упрощенного варианта теории гибких оболочек (п. 3, гл. 1). Из (1.116), (1.117), (1.87) получаем исходные выражения: уравнения равновесия!

« + Ü Ü - U ,

	дх	^ ду	дх	ду
дМх	дН	п	л дН	дМа „
—	+ & ~ QX			(3.53)
—	+ & ~ QX

выражения для деформаций

_ д и , 2_ (dw\2

_ d v

w , 1 (dw\2

x~ F x + 2 \ d ï ) ' У~д'у Та 2 \ д у ] '

				du	dv		âw	&w
			“ = ф +			+ dx		dy
			ô%			d2w			d2w .		(3.54)
	* =		dx2 ’	%t/=		dy2		T =	dxày

соотношения упругости
	Nx — D N (£X +				VEp)»	N y ~		DN (3ff + ve* ) ’
	5		Dn * ,		MX = DM (XX -f- Y».y) ,						(3.55)
	My e		DM (%y +		v x ^ ) ,H =			(I -	v)DMx.
В уравнениях-		(3.53)—(3.55)			срединная			поверхность		оболочки отнесена
к системе координат		ХОУ; параметры				Ляме		А = В — 1,		Nx, Ny, S, Мх Му,
Л — усилия и моменты,			tx> eÿ о), %х ху, т — тангенциальные и изгибные дефор*
«ации; и,	v, w — перемещения,			1	— кривизна.

В случае бесконечно длинной цилиндрической									оболочки все		производные
по х обращаются в нуль. Тогда					из (3.53)—-(3.55) получаем разрешающую
систему обыкновенных дифференциальных							уравнений в виде:
											(3.56)
где w = {v , v', w, w'w”, ш'")т и функции						f t	имеют вид:
и =	f, =		ЧЕ» [	-	» + 1		(•<)«].-,»V .+ ^				\| (1 ) :>.

J _ \ o dDM „,m fi = ~ D M[2- d ï Ww +

Т а б л и ц а

г*

/з =	Wf, /4 = w", fs —
dy2 -^ ) + \| p + 4 w - ^ ] ( i + . ' ) + 4
	(— 6 < y <	&).
3.3	На	продольных краях оболочки заданы
	следующие граничные условия:

при у — ± Ь

W*	точное		численное
	решение		решение
0,153 739	2,31	479	2,31 479
0,318200	2,96 984		2,96985
0,356 751	2,94	354	2,94 356
0,716 800	1,96	752	1,96754
0,878064	2,62 007		2,61 998

k* = 4

v = w — w" = 0.

(3.58)

Решение нелинейной краевой задачи (3.56), (3.58) проводилось описанным чис ленным методом.

Задача решалась при значениях:

,	1	1
Л„ =	const; ^	= const,
—6,v = 0,3;	q = const.
	ft

В табл. 3.3 приведены значения прогиба w* = ~^w (0) и нагрузки q*=*

b2R

= DM 1-

Для фиксированного значения прогиба даны два значения нагрузки, полу* ченные на основании численного и точного решения (п. 3, гл. 1). Величины

второй строки соответствуют	верхнему критическому	значению нагрузки,
а четвертой строки — нижнему.	Из анализа приведенных	результатов следует,

что для рассмотренной модельной задачи решение, полученное данным числен ным методом, практически совпадает с точным на всем интервале изменения нагрузки, включая верхнее и нижнее критические значения, что свидетель ствует о возможностях и высокой точности метода.

Глава 4

РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ЛИНЕАРИЗАЦИИ

1. МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ СИСТЕМЫ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ

Изложенный в гл. 3 метод сведения нелинейной краевой за дачи к системе нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений и задаче Коши для начального вектора в ряде задач теории оболочек, где имеют место сильные краевые или локальные эффекты, может оказаться неустойчивым, так' как задачи Коши для этих уравнений, которые необходимо решать в процессе при менения метода, становятся жесткими. Для их решения необходимо применять специальные методы, связанные с дополнительными вычислительными трудностями.

В этих случаях для решения нелинейных краевых задач более эффективным оказывается применение таких итерационных про цессов, на каждом шаге которого решается линейная краевая задача [5, 31, 41], что позволяет использовать для ее решения какой-либо устойчивый численный метод прогонки [16], когда при его реализации процесс решения задач Коши является устойчи вым, либо задачи Коши решаются на небольших интервалах ин тегрирования.

К указанным методам решения нелинейных краевых задач относится метод линеаризации, основанный на построении итера ционного процесса, на каждом шаге которого решается линейная краевая задача для следующего приближения, использующая ин формацию предыдущего [41, 31, 56].

Рассмотрим частный случай нелинейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка

х"= / ( / , х, х') (0 < t < I)

( 4. 1)

с нелинейными 'краевыми условиями

gl {*0, XÔ) = 0, g2 (Xl, Xi) = 0.

(4.2)

Построим итерационный процесс на основе линеаризации крае вой задачи (4.1), (4.2). Пусть известно какое-то приближение .v* решения задачи.

х* = Xk+	(4.3)
где х * — точное решение.	находим
Подставляя решение (4.3) в (4.1) и (4.2),	находим

(xk+

А**)

= / 1Л

Xk~\~&Xkt

(xk4* &Xk) ].

(4.4)

На основе формулы Лагранжа

( х к +

“

/ (А

х к ,

*а) + fxР» 5а*

5а) (** “

* а) +

4~ fx' V,

£а» £а) [(■£ )

. а]

ÙkÇAXk)-

(4.5)

Так как точка h неизвестна, то полагаем

Çft ^

Х к ,

х *

X k +1 =

X k +

à X k .

Тогда из (4.5) получаем

fxl*t Х к ,

X k +1 =

/ Р , X k , X k )

Х к ) (Х к + \ — Х к)

4" fx' Р»

Хк,

Хк)

Хк),

или

Х к + \

—

f x • { t ,

Х к,

X k ) X k + \ —

f x

(/,

X k,

X k ) X k + \

*/(^1

X k , X k )

fx{t,

X k ,

X k )

fx'

« X k ,

X k ) Xk

.(*0,

*o;

k = 0,

...).

(4.6)

Для граничных условий (4.2) получаем:

£ I [* A (0),

(0)] + g \iX[jtft(0),

X k ( 0 ) ] [ X k + i( 0 ) - X k ( 0 ) ]

g \ . x ' [ x k

(0),

x k (0)] [ x k + i (0) — x'k

(0)] =

g 2 [Xk (l), Xk (/)]

+ g 2,x [xl (0 .

xk (/)] [xk+\ (l) —

xk (/)]

*4" g 2>x' [ x k (0 ,

X k

(/)]

[ x k + \

( l )

—

x'k (/)] =

или

g'i,x' [ x k (0),

x k (0 )] x 'k + i (0)

g\,x [x k (0),

x k

(0)] x k + i

(0)

=* S i

Ы (0),

xk (ô)] +

g\ tX[>* (0),

x'k (0)] ** (0) +

+ g u * L M 0)» ATft(0)]xit(0);

(4.7)

S 2 .X ' [X k ( l ) ,

X k (/)] X k + l (/)

g 2iX

[ x k

(l ),

X k

(/)] X k + l

(/) =*

5=5 ~ g 2 [.Xk (/),

X k

(/)] +

g2,x [ x k

( l ) ,

X k (/)] X k

g2.x’ [ x k

( l ) , Xk

(/)] X k

(l )

(*o(0),

*ô(0), *û(0.

XQ(/);

k = 0,

1, 2,

Таким образом, для каждого k-то приближения приходим к ли нейной краевой задаче (4.6), (4.7) Перебирая /г, получаем итера ционный процесс. При некоторых ограничениях на функции f, gu g2 и их производные для небольших значений I можно доказать единственность и квадратичную сходимость процесса [40].

Пример J. Задача о конечной деформации упругой струны под действием поперечной нагрузки описывается уравнением [5]

— х" = аа(x')a- f - 1, (0 < / < /)	(4.8)
с граничными условиями
х (0) = 0; лг (I) —0.	(4.9)
При a* ss 0,49 и / = 1 точное аналитическое решение имеет вид

С помощью метода линеаризации строим итерационную схему

4+1 + 2fl24 4+1 = — 1+ û2 (4)Л			(4Л1)
**+1<°>“	0» ^ + 1 (0	= °	(4.12)
(аа = 0,49; х0;	k = 0, 1,	2, ... ) .

Результаты численного решения краевой задачи (4.8), (4.9) по итерацион ной схеме (4.11) приведены в табл. 4.1.

				Т а б л и ц а 4.1
t	•MO	MO	x»(0	Точное решение
0,0	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000
0,1	0,000000	0,045000	0,046570	0,046571
0,2	0,000000	0,080000	0,082302	0,082304
0,3	0,000000	0,105000	0,107571	0,107573
0.4	0,000000	0,120000	0,122632	0,12263§
0,5	0,000000	0,125000	0,127636	0,127639
0,6	0,000000	0,120000	0,122632	0,122635
0,7	0,000000	0,105000	0,107571	0,107573
0,8	0,000000	0,080000	0,082302	0,082304
0,9	0,000000	0,045000	0,046570	0,046571
1,0	0,000000	0,000000	0,000000	0,000000

Из таблицы видно, что уже второе приближение совпадает G точным реше нием до пяти значащих цифр.

Рассмотрим теперь применение метода линеаризации к решению нелинейных краевых задач для систем обыкновенных дифферен циальных уравнений вида [83]

£- = Т М ) . ( 0 < i < 0

(4.13)

g(xo, Xi).

(4.14)

Пусть определено приближенное решение краевой задачи (4.13),

(4.14), которое обозначим через хи (t). Тогда точное решение Xk (f) можно записать в виде

	? (О = *И0 +				д**(0-			(4.15)
Подставляя решение		(4.15) в		(4.13), (4.14),		находим
j t Ç k +		àxl) = 7{t,			~хк +	.		(4.16)
С помощью формулы Лагранжа имеем
j t Çck +	àxl)		= fit,	~Xk) + Г (t, h) bx'k,				(4.17)
где
Il S (		9	- (OIK II * S ( 0 11-
Граничные условия (4.14) преобразуются к следующим:
g(xo,A + Д*0.А, Xi,k + дxlk) = g (х0,k, ~Xi,k) +
-f Го (£o.ft, h,k)				Г/($о.а, bi,k) àx't'k,				(4.18)
где
l\|To,ft —'xo.k H< UДхо.й\|\|;				\|\|T/,ft — xi,kU< Il Дxi,k\|\|.
Так как векторы £*, So,ft, S/.ft неизвестны, то заменим их соот
ветственно векторами Хк, xo,k, /.л и положим л: —							Хо.а—дго^+ь
Х1,к ^Х 1,к+]. Тогда из	(4.17), (4.18)				получаем	итерационный		про
цесс:
—*
= г (t,	xk)Xk+1 +			Ht,	Xk) — г a,	xk)xk,		(4.19)
—► —►					—►
Го (Xo,k, Xi,k)Xo,k+\ +				Г/ (Хо,/{, Xi,k)Xl,k+1=
= —g(Xo.k, Xi,k) +		Го (*0.ft,		Xl,k)Xo,k + Ti(Xo,!<t			X['k)Xl.k
(xo ay>			£ =0, 1, 2, . . .).					(4.20)

Ha k-ом приближении решается линейная краевая задача для

Для решения линейной краевой задачи необходимо применить устойчивый численный метод, так как в задачах теории оболочек краевые и локальные эффекты могут приводить к неустойчивости счета. В качестве такового можно использовать метод дискретной ортогонализации Годунова [16, 30].

Вопросы сходимости процесса (4.19), (4.20) рассмотрены в [5],

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 2910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги