книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

Пусть

оболочка

собрана из

п слоев

переменной

толщины

(ркс.

1.7)

и ее

координатная

поверхность,

выбранная из каких-

либо

соображений, отнесена

к поверхности f = const в

принятой

системе криволинейных координат а,

(3, у. Считаем, что плоскость упругой

симметрии в каждой точке оболочки

касается

координатной

поверхности

или

поверхности, ей эквидистантной.

Принятие гипотезы прямой неде-

формируемой нормали для всего

па­

кета

предполагает, что все слои мно­

гослойных оболочек

деформируются

без скольжения

и отрыва, а также,

что компоненты

напряжений на пло­

щадках,

касательных к

поверхности

контакта,

не имеют разрывов: В этом

случае выполняются условия

контак­

та для перемещений:

U1 =

« '+ •,

& =

Wl =

Wi+l.

(1.141)

o!,(l + J-)dT;

ЛГ,2 = £

j

£=1 Ti-1

n

71

n

Tt

4 ' ” S

i

»•» f1 + i - j

M' =

S

I

"fi (> +

i ü Tdr>o-i42)

»'=1 7f-l

1 Tf—1

n

fi

=

- Ц

М

- ^ Т .

(I. 2).

£=1 T£—1

2

При этом

предполагается,

что слои оболочки

отсчитываются

от внутреннего слоя. Для

оболочки

переменной толщины условия

контакта для

напряжений

при 7 = Т£ записываются

в виде

= F ‘ у =

1, 2,

3),

(1.143)

Z7! = 013» z y = 023* ^3 = 033.

(1,144)

Как указывалось выше, уравнения равновесия,

выражения

ЛГ] — Сц£I 4 - С1262 +•

К \\* 1 +

К 12*2 4 - C i6« + 2/Ci6x -— N \ T ,’

N 12 — Сбб«> 4

* Коб*с +

"щ(КббО) 4 *ZWt) 4 "

Mi = D \ \ Y.\ 4- D12X2 4- Kiiei +

K12S2 4“ Ki6«> 4 - 2>D\Qt — M ir;- (1.145)

M12 — КббЧ) 4 - 2D66t 4 - Ki6Sj 4 *-^2652 4 - D\&-\

4- £*26*2 — Hr,

( 1. 2),

где Cij, Dih Кц зависят от механических

характеристик слоев:

п

1 (

п

Ti

Стр —

J Bntpdy’,

Ктр — 2

J

Bmpydy,

‘=1 Tt—1

t=i If—1

Dmp —

Ë

î B mPyl 2dy;

(1.146)

i=l T,

ni

I I

I I

1

l

À

v2*

а п = Ц '

a22= i | ’

Û66 =

^ ’

a,2 =

“

i f = -

i î ;

_t

tIl2.1

«A

t

_

i

,12

‘*312.1

^2,12.

ûl6==ir

G{2 ’

#26

F1

Q\12

?

т/

Л 4г=

Ц

I

(Bu«ir + В\20.\т) Tdy;

■'=1

11—I

«

\

M \T = ^

J

(Bnair -f- В\2а{т) Tydy\

1=1 V i

( 1, 2),

n

Ъ

S T =

S

I

{B\№IT + B21№2T) Tdy',

i = 1 T/-i

n

^

H T =

S

S

(Biea{r 4- B26&2T) Tydy,

(1.148)

анизотропии каждого

слоя

совпадают

с линиями главных кри­

визн, то

жесткости

G,6 = 0,

/С/в =

0, Djв = 0

(/ =

1, 2).

(1,149)

В случае несовпадения

осей

анизотропии

ортотропных

слоев с

линиями

главных кривизн (координатными) линиями, жесткостные

г>

-----1

1Л ^

<

/- .

= 1 - - - - - Т

Т

»2 =

МV 2 C

_

= V 1 C 2 2 * ,

<-11 =

Г Г — ;

- 2 2

1 1

1—vlv2

1

—vlv2

<

Е h^

Е h?

*

D" = 12(1 —

;

=

TFfl- v T^y

D

l 2 =

,2° "

“

V|° 22' <1Л50>

0 I 2 = B i e e4 i- B 2 4 ~ В б б « )4 - T ( B 6*i i 4 -

B 2 6 * 24 - 2 В б б х ) —

— (Bi6aliг 4- B21№2T) T .

(Ы 51)

А = ^ j% dy = v (b) — v (— b)'

(2.3)

Д = V (Ь) — V(—Ь) = 0.

(2.4)

Отсюда

DN

= С,

где С — постоянная интегрирования.

собой про­

Левая часть последнего выражения представляет

дольное усилие N 2. В этом нетрудно

убедиться,

если во

второе

выражение (1.87) подставить

вместо деформаций их значения через

перемещения. Итак, имеем

(2.5)

Отметим, что второе

уравнение системы уравнений

равнове­

сия (1.120) для случая рассматриваемой пластины в

декартовой

dN2

л

„

системе координат имеет вид -щ- = 0. Проинтегрировав его и ис­

пользовав соотношения

упругости,

приходим к

равенству

(2.5).

Физически это означает,

что

в любом сечении у = const

усилие

N 2 постоянно.

Положив

V = р - W 2 > 0),

(2. 6)

им

второе уравнение системы .(2. 1) перепишем в виде

d4w

. 9 d2w

q

(2.7)

dy4 ~

Общее решение этого дифференциального уравнения

с

постоян-

ными коэффициентами

ш = Ci -{- С%у

Сз sh \у -f- С4ch \у —

-2-

(2 .8)

С ,= q(bh2 - 2)

С2 — С3

= О,

С4 =

1

ch Х6*

2DM\<

’

Подставив полученные значения

постоянных в выражение (2.8)»

прогиб запишем в виде

w —

(2.9,

20МХ4'

=

Р = { . с = т - ч = т - p = ê £ h ’

<2|0>

получим уравнение для определения безразмерного

параметра р,

и выражение для безразмерного прогиба С:

(—1 < 7 ] < 1 ) .

(2.11)

Уравнения (2.11) представляют

собой

две

зависимости

F1(р,

Р) =■ 0, F2 (С,

и-,

Р) = 0. Первое

уравнение

является

трансцен­

дентным и не

может

быть

решено аналитически. Поэтому на

практике сначала из первого уравнения

численно

находят

зави­

симость Р — Р (}а).

Далее

из

второго

уравнения,

перебирая [а

и учитывая связь P = P (JA), получают зависимость

С=

С(Р,).

Выше мы определили

пять постоянных

интегрирования

Ci,

С2, С3, С4, N 2 =*=С.

Шестая

постоянная

интегрирования

полу­

чается при

интегрировании

уравнения

(2.5)

и удовлетворении

одного из

условий v(±b) = 0. Однако этой

постоянной

в теории

пластин,

как

правило,

не интересуются.

Заметим лишь,

что

перемещение

£ =

~ , найденное из (2.5),

имеет вид

п

_

Л

_р? /

sh 2{хт)

2ch' - + ^ 3 -

!ÿ

- 2^ h M ) + Cs

-

12

|х6(;

ch2 (х

Отсюда

в идно, что при

удовлетворении

условию Д = 0 по

фор­

муле (2.4) постоянная С$ пропадает, и

получаем связь

между р,

и Р.

(1.102),

Напряжения в пластине определяются согласно

(1.87),

(2.9):

12МЧ

022 =

N о

+ Т '

Вводя безразмерное напряжение

02

462о22

(2.12)

-DJT'

найдем

'))

(2.13)

На лицевых сторонах пластины (у = +h/2 )

„± _ L 2 4- g р ft*1»*1)

А

02 - т ± %» [ * 7

1)-

Экстремальные значения напряжений в сечениях т]=0:

0? = 0 2М ± 0 2„

1),

д =

(2.15)

C i - î é , ( 1 _ « d h 4

c , " a “ 0>

с 4=

qb

1

DMl 3 sh b\

и находим решение для прогиба

W =

ЯЪ2

2

2 (ch \у — ch Щ

- Z -----5

+

Ib sh lb

2DM \ 2

или в безразмерном виде

С

2 _j_ 2 (ch pg — ch {х)

(2.16)

pshp

Уравнение для

определения безразмерного

параметра р,

как

и в предыдущем случае,

находим из

третьего

условия (2.15),

из

^- прг(нЬ -

+ ? +т)

0- .

« 2 ,7 ,

1

1 • 4 ' 5 '

Л _ v -2

4 х £ L £ h R _ i\

(2.18)

02 ~"З

4 h

shp

'

7

Экстремальные напряжения на лицевых поверхностях будут

.2

р

eï"!î ±2ïH^_1)'

(2.19)

Зависимости

между

безразмер­

6t

ными напряжениями

в

средин­

ной

плоскости

02ль

нагрузкой

SO

тf

Р и прогибом С при шарнирном

опирании

краев

представлены

6toJ

на

рис.

2.1

Изменения

безраз­

40

мерных

изгибных

напряжений

02И при

изменении С

представ­

20

лены

на

рис. 2.2.

При

этом а?»

и 02Иозначают

напряжения из­

гиба

при

жестком защемлении

2

краев,

вычисленные

в

точках

Рис. 2.2

XI =

0 и xi —

1

соответственно;

о2и — напряжения

изгиба

при

шарнирном закреплении краев в сечении

у — 0.

по цилиндри­

Впервые задача об изгибе удлиненной

пластины

ческой поверхности решена

в 1909 г

И.

Г. Бубновым

[9J. Им

были решены и табулированы решения

трансцендентных

уравне­

ний для

определения р. при

заданных

Р,

а

также

получены

не-