книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

b

t m l = Vo|32 J ClmCl/dÉ;

a

Таким образом, получена линейная система 2N обыкновенных

Коши, решаемой методом Рунге—Кутта. Решение по переменной '<31 отыскивается по 20 точкам.

Результаты численных расчетов о целью определения влияния величины ступени нагружения на величину прогиба Со в .центре

и верхней критической нагрузки рь для шарнирно подвижно опертых по контуру пластин и сферических оболочек под дейст­ вием равномерно распределенной нагрузки р — 49,6 приведены в табл. 7.5 и 7.6 соответственно. Величина приращения нагрузки за­ давалась одинаковой на всех ступенях нагружения. Она находи­ лась из решения первого нелинейного этапа, при заданном прогибе ь центре пластины.

Из табл. 7.5 видно, что величина ступени нагружения незна­ чительно влияет на значение прогиба СоЧисло этапов нагруже­

Высшие приближения. Результаты численного исследования сходимости метода Власова—Канторовича в высших приближениях для пластинок, сферических и цилиндрических оболочек при раз­ личных граничных условиях под действием равномерно распре­ деленной нагрузки приведены в [49].

Полученное приближение считалось практически точным", если последующее приближение не улучшало искомых функций и их производных. В качестве аппроксимирующих функций выбиралась система {sinm^î-}. Эта система удовлетворяет условиям шар­ нирного опирания, скользящего защемления, жесткого защем­ ления и свободного опирания. В силу ортогональности системы функций на [0, 1] искомая система уравнений может быть разре­ шена относительно старших производных. Последнее значительно упрощает численное решение задачи. Анализ численных резуль­ татов показывает [49], что метод Власова—Канторовича сходится равномерно и устойчив до Со < 6. Практически точные результаты

находится поддействием поперечнрй нагрузки qv Положим в урав­ нениях (1.124):

DN — const;. DM= const; гт— *r = 0; h — const.

Вводя безразмерные величины:

Задаем функции cpu(S), хп(£)» фиф» удовлетворяющие усло­ виям (7.53). Умножив далее уравнения (7.51) соответственно на функции <pi*0i), x**(S). (0 и проинтегрировав по £ в пределах [О, 1], придем к системе нелинейных обыкновенных дифференци-

альных уравнений. Решаем эту систему уравнений методом ко­ нечных разностей. В результате замены производных конечными разностями получим систему нелинейных алгебраических уравне­ ний. Решаем последнюю методом Ньютона по алгоритму, описан­ ному в [48]. Найденные функции 921 fa), Х21 fa), ф21fa) используем теперь в качестве заданных и вычисляем уточненные функции с помощью метода Власова — Канторовича по переменной ig на отрез­ ке [0, 1] и метода конечных разностей по переменной i Процесс таких последовательных приближений продолжаем до тех пор, пока не получим на m-ом приближении определенной точности:

как показали исследования, дает практически достаточную точ­ ность [48].

В табл. 7.8 приведены значения прогибов С при определен­ ных значениях усилий Р при а = 1, |3 = 100 в двух приближе­ ниях. При применении метода конечных разностей отрезок [0, 1]

Рассматривалась [48] также задача при

<7Т= Q s in -- ^ c o s ^ - (s* = 1, 2, 3; sy = 1, 2, 3).

Глава 8

РЕШЕНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Метод конечных разностей (метод' сеток) широко применяется при решении задач математической физики, в. том числе для ре­ шения задач теории упругости и теории оболочек, и является приближенным.

По методу конечных разностей область G, в которой ищется решение, заменяется сеточной областью Gx, граница области Г заменяется границей сеточной области Гх; исходные дифференци­ альные уравнения и граничные условия аппроксимируются (в уз-, лах построенной сетки) конечно-разностными уравнениями, гра­ ничные условия — условиями на границе Гх.

Итак, основная идея метода конечных разностей заключается в том, чтобы задачу теории пластин и оболочек в дифференциаль­ ной форме привести к алгебраической системе уравнений с коли­ чеством уравнений N\ti, где N \ — число узлов, п — число диф­ ференциальных уравнений исходной задачи. Для нелинейных за­ дач теории оболочек система уравнений оказывается нелинейной. Как правило, для получения достаточной точности решения необ­ ходимо область G разбить на большое число, ячеек. При этом получаем систему алгебраических уравнений достаточно высокого порядка. Структура этой системы уравнений имеет некоторые специфические особенности. Матрица коэффициентов линейной

на погрешности R n, получаемой при замене дифференциальных операторов конечно-разностными. Для достижения большей точ­ ности решения необходимо увеличивать количество узлов аппрок­ симации. Однако это приводит, как указывалось выше, к системам алгебраических уравнений слишком большой размерности. Реше­ ние таких систем уравнений на ЭВМ достаточно сложно.

Вёжное значение в решении задач теории пластин и оболочек методом конечных разностей имеет способ замены в исходных уравнениях частных производных аппроксимирующими их много­ членами и оценка точности такой замены [7, 30].

По соображениям, связанным с решением системы на ЭВМ, исходные дифференциальные операторы желательно аппроксими­ ровать во всех узлах области G\ однотипными разностными вы­ ражениями симметричной структуры При этом) в зависимости от порядка старшей производной дифференциального оператора и принятой погрешности аппроксимации Rn, в сеточные уравнения войдут несколько рядов законтурных точек. Например, при за­ мене бигармонического оператора с погрешностью # Я= 0(Х4) в систему равнений входят два ряда законтурных точек. Законтур­ ные точки должны быть исключены с помощью граничных усло­ вий. Заметим, что граничные условия также должны быть ап­ проксимированы с такой же степенью точности.

Выражения производных для наиболее часто встречающихся операторов через левые, центральные и правые разности с раз­

Пусть оболочка цшрнирно оперта по своим сторонам. Усло­ вия шарнирного опирания в безразмерном виде имеют вид

Область G покрываем равномерной прямоугольной сеткой. Пусть X и Xi — шаги сетки соответственно по осям х и у:

вать центральными разностями. Таким образом, имеем следующие аппроксимации:

SIO