книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

J

TEJi (dv

.

,

) ,

£ 2A /

.

de,

,

d«2

.

\

+

^ [ - r ( 5 5

+

“7 +

p ' l sm,"àr +

cos» i r -

s,n'ft')

+

v2JV, —

№ T —v*w i r] (sin ? ^

+

cos г ^

— sin f »)2 +

+ ilf

d \

d2u.

3in

Ефь

TP (sin* W

+cos »W ' ~ sinf m ) + i l r «* rb +

+ v2M , — (M ÎT —

r)](sm ?W

+ cos 9 ^

— sin 9»)j (sin 9^- +

5м,

5 / 1\

4- cos<p-щ -— sin cpvj — ,e

—

61 до *

59,

л диг д /cos<p\

A

5 /sin qA ,

5l

Ж(

+

Si

I Si

, c o s < p / _ ^ \

J * _ ( d* i ,

Kduz \ ,

1

du2

+

* Ы С б б ~ Г '

m>

3г* Л т +

r 5 0 / +

Я2 50

4

9,

/

5мг

,

ди2

.

\1

Г59,

1 5wz

.

S,

+

-

f

( s9i nж +

c o ? » Ж- s m

T » iJ -

2 [ Ж

+

7~ Жs,n* C S

+

«1 !

диг

диг

.

\ ] / .

диг

дия

-

Tr2l s m

» Ж

+cos*Ж

sif°n/ J lsm T Ж + cosf Ж

\ 5

Г[J_

±

\

Д 6б1

/ 1

1 \

2^66 raftl ,

I

du2_

sin <f Ъ

,

— s 'n<P ° ) â ; [ l « r

R2I

r

L a e 4 " г

50

c 66 , +

9,

(

du

диг

.

\ l f

1

/

диг

•

диг

+

^

( 5Ш ^ Ж + С О ^ Ж

“

8Ш ^ Л 1 ^ ( СО8<Р * 5 0 - 5ШС? Ж “

_

\

Щ

.

К

.

« ■ * („

ЗиЛ

h2 (дЬi

7

ae I +

cos 9») - ж -

sin

9

+

—

(о-

ж

) -

щ

-Д-да +

+

^

Ж

+

7

(5,п Ï

Ж

+

cos » Ж

-

sin »t’) ] } +

- ^ - Ш

к < м ' + м - ) + Н

^

+

+ « , 3 9 ^ - ^ 9 ^ - 2 - 0 0 3 9 » , ] - ^ - r J l k tN l+

+

г> —T (S +

-

Р (sin * Ж + cos? Ж —sin f") ]+

+

i

|

( -

5in

_

cos9 » , ) - S , | ( g )

+ £

S. +

*

1

д Г

fo /i3 /

52и

52«

.

5Л -

n^n

l P - ( sin<pâP- + 'rosï W - s m Щ +

^2^66

+ Г2 ae { r ^ ,d l +

21)66 (-Щ— щ}^ [ 4 г

<?«,

sm?

Si +

+ 7 ae

^66

,

[ . du

<?«,

\]|

6/?P (я[ ~

^2) âê[*7 " (âô +

Mr) + V2^ ‘

W 2T

V2^ ‘r) ***

'u

+

* p (s,n*W +

cos<r w ~

sin

.

<32ur

а2ыг

.

5 Л

dMl

cosCf Г

E2hz (

•â T

“

'

l ~

l P l sm f I F + cos f I P

“

sm ? âej +

Eh?

1

+ Qi —

-b -jl^-cosy&i — (1 —V2) M\ —(Мгг — V2/Wir)

4 d Гп

1 (à*x

i

диг

3,

\

D66ô, /

£«,

r a0[^6e ' r ^ao

+

r ao

sin<? c66)^

\sinŸ ao

+ c°s «Pж

—sin ?и]J—*(wi + i ^ J b' -

T* (sm ? Ж

+

du,

\1

/

Mi \ л

S,

(

du,

3u,

\

2DS6 / 1

1 \Гз»,

i

d«_

.

5t

+ cos¥ ^ ~ sinH

+ ~

f e ~ ^ ) [ ^

+ 7

^ “

sin? c^ +

» , / .

a «

a «a

\ 1 /

a «

du,

.

\

+ ^ l5in » Ж

+

cos » Ж -

sin И ] (sin f ж

+ cos ? 1» _

sm''T

^ = 0, ~$2—

7 Р>

= ^l^Pi ^2

Дг = 0| ds — â f■ (7.21)

f =

+

+ 4 ^ (ж)

“ T ^ r —v2tfir)-<7f,

,S

1 i f —

( - - ] - « W —

f ^ - V +

V2^,—

â T = — 7 ÔO[ Г

(,au + M] +

2r2

\ao /

+

2 1

— (Л^2Т — V2^v1T)

~

7 5 '

aQi

1л

A Г

Л/

11

ôSi

,

/ j M

2 ,

- ^ - = - < 7 f - 7 Ql_&1 [” T ^ l ~ 7 - 'ô r + 1 7 U û J +

£ ^ L ^

_j_ Mj — y (N2T— V2^Vir)— <7lj +

+

M IT ) +

dMi _

i [ _

£ 2 ^ ! ^

+

£ £ ! » , -

(1 - V2) M , — (M 2r — V2A4IT ) ] -

“

г [

i2 r2' do2

l2r

J

-< 3 1-

7 l h

7

( ï +

dw

T f ) ] - W>&' - T ~W

2

г2

f3

. =

-£-• t = l Ь

T „ = — 3 Nr. r , 2=

- ^ S i ;

Ti„ =

-j-i,Q il

p

V

" £^3 '

а д

--

Гг

2

^0

TiT“ I ^ N‘T’

Н ~ в Л Н'

MiT

Е^ М‘Г’

(ГО

r0V2

• -

$

2

er = ( x

e,;

eesssT C / e2î

Югввh r

»*

rto

fn

n

4

rg

2

'l

r 4

r0

=

ft7 r ’

p t =

J0n0Я * 5

~ £0/t0’

0/1

P.^3

(* — 1,

2, 6).

(7.23)

Вводя величины (7.23)

в уравнения

(7.22),

получим:

+

2Р3 W

<

Г ”

- ' * Г ' г ) -

Р,:

Щ 0 - Т

о т »

1 a p

2'

/вц

Л

,

М

+

ар

р ао [

р

\ао

/

2р2

+

пТ\\ —(Т2т- 2vr i r ) ] —

ITu —Р2;

дм

=

—

л?1 + 7,]Я— ~ щ [^66 j

( i + у m)}+

~др

£ ti

^

— 1

— (М 2Т — V2^1 /•)] —

— 7 r 112 5iï;

* т

12р

аг

“арjs . . p t -

i r t a + } [ - 5 - , +

¥

6 I + 8 ) + <7-24)

В случае изотропных пластин

E \Z=Z E 2 ~ E \

G =

2(1 _ j _

vj>

Л/2

ft/2

a;

. г - « Л - 1 | /2И т:

* r=

ah~3J ,/2‘rydï'

<7!5)

Если модуль упругости не зависит от координат, т о удобно

принять EQ— Е. Система уравнений при этом примет

as

1— • ' т

v /f ti,

Л ___+

/ . . . . 1 9

(1 -М )е^

ар

г

r il — T lâ ô +

V

2pa W

2

g _ ? f i ^ Tlf + ! ( ,_ S ) + ±S;

g - - *

+

- * )

+

(! +

•) *r.

ати

1 - у

аР

Р

1' » - 7 Ж + ^ ( я

+ е) + ^ ( я )! - Т ег Рл

аг

ÿ —7»И'+а)]-^!иа’1-

у

дТп

р

ао — ~Ti2 — ^2 +

j - |j - ( М ’>

îg!— Л- 7 !■,.+{ г.,5 — ^-(î+ s ) |f -

1

а2

р2

00-

+ т [ т ( ' + S ) + ? { ! ) ' - " ' - н + Г " 1 “ ? * и ; +

+ (1 + V) *г] — 2^4 (§) ^

+ ^

( ^

1

2

+

РР2) ж

+ ' 7 "а02'

ам,

^

+

Г -

-

5

0

Т

5 ? Я

[ ' ®

+

7 ^ ) ]

“âp"

+ 7

( 7 - 2

в )

ï ~ { * . ч. С» Тп,* Tu, Т1п, Ш}т.

О-27)

dN

. (

:fi dN_

d^N

d3N

д4ы \

(7.28)

др

- h \ 9 f

dû *

ô02 «

00з »

~ ^ r j

B iN \?=h= bï, B2N |p=Pj = b2,

(7.29)

нений, является

метод, прямых. Предполагается, что степень изме­

няемости основных факторов напряженно-деформированного состо­

яния оболочки,

описываемого полученными выше уравнениями,

в окружном направлении меньше, чем в меридиональном. Допус­

тим также, что коэффициенты системы разрешающих

уравнений

и разрешающие функции достаточно гладкие функции

окружной

координаты.

а/

2л

»

ао “

Погрешность этой

аппроксимации, как

указывалось выше,

Я п = 0 (Х2). Заметим,

что при формировании систем уравнений

при i ==; 1, 2, я — 1, я

необходимо учитывать осевую симметрию

пластины в смысле индекса i. Так, при i=

1 в силу осевой сим­

метрии имеем: t + 2 = 3, i — 1 = я, i — 2 =

п — 1.

Ум

V 1)*+*—ц*-1

V /Cf+1 — С<-1\2

dp Р *

Р

21

2р2 \ 2Х /

Ç 1

-- I

+ ^

+ щ

^

Г12 + ^

dp

_

_

2k

dt‘

dr

Cf+1 — 2Ç*-K*

4

dp

P"

dTl i ^ - l L t i

, У

/r^+1 _ ^ - l\2

dp

"2 U ^ 2 ~

+ Ы

-

21

■T

!p

‘ Л

P'

P’

'

2p

,

l - v

r i

tUT

—

r

T" ------- I E T 2 —

- p - p f ;

dI h .

dp

p2 âf

I„г

Я

~ âV fF ~ a ^

i_

V+1—2ц* + ц*-*___1_dt* /ç*+i __ ►{—1\2

v Tft1-

rfr*

P2

^*2

2pap3 до— V"\

2X )I

" TP

2k.

.i

. - 1 i i

« . . .

ZK

ZA

,

a

9.

■

_

__ t. Cf+1 —V~ ]

ci+1 — 2Ç‘ -f C^1

f3

a

----------p --------- ~

7 | ( * r ) - 7

r ! 2- P i ;

^

=

fr1)3

a;'lc<+i _ t'-1

,

dp

L

P

2F4(I + v ) i r J -----2X

b

+

- T (4- 4

f((‘V — 1_____&33

1 Ç'+< — 2t* +

Ç*-*

,

P4U ao

f

ao J

б(Пр7 ) |------ j2------- f*

или свободного края

Т\\ =

Т \2 — Tm = Mi = 0 при р =

1

(7.33)

преобразуются соответственно к виду:

С* = £* = -г)1' =

= 0; Тп — Т\2 — T u = "М\ = 0

(р=1).

(7.34)

■щ- = Ах -f- В -+- Ф (р, х),

(7.35)

где А х— линейная часть, Ф(р, х) — нелинейная

часть уравнений

Ctx (pi) + Li (pt) + Wi [x (pf)] = 0

(i = 1, .2).

(7.36)

Здесь Ci — прямоугольная матрица размерности Ап х 8/г;

L;—

вектор-столбец размерности 4л; W — вектор-функция

размернос­

ти Ап.

4). Пусть

Метод линеаризации состоит в следующем (см. гл.

х*— точное решение задачи (7.35), (7.36).

Приближенное

реше-

вить-в

виде

-*k

X* = Хк +

А**,

(7.37)

в (7.35)

и в

(7.37\'

где Дх

— малая величина. Подставим

(7.33).

Находим:

- = Ах* -f В +

Ф (р,

х*) = Ах* +

В +

Ф (р, хк + А**);

(7.38)

CÜ* (р,) +

U ( ?i)

+ Wi [x* (Pf)l =

= Сех* ( P t ) + Li (pi) - f

% (xk (pi) +

Д х * ( P

i ) ] .

—►

—►