Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Решение нелинейных задач теории оболочек на ЭВМ

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

21.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 292 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

параметрами d и TQ. Параметры d и у, значениями которых опре деляются линии, образующие координатную сеть, называются координатами на данной поверхности.

Любая точка поверхности может быть задана также и декар товыми координатами х, у , z. Следовательно, декартовы коорди наты точек параметризованной поверхности представляют собой функции координат на поверхности:

пУ

У - У $ ,

пУ

г ~ г ( & ,

ig),

(1.3)

где функции х, у, г

однозначны и непрерывны относительно па

раметров 5, -g. Будем также

предполагать,

что

функции

(1.3)

имеют непрерывные частные производные по £ и тд

необходимого

порядка. Во многих

случаях

целесообразнее

использовать

орто

гональную систему криволинейных координат d,

тд, т. е.

такую

систему кривых d и

у,

которые

каждой

точке

пересекаются

под прямым углом.

тд,

задана

Пусть на заданной поверхности, кроме линий d

какая-нибудь кривая. Если на этой кривой введен

некоторый па

раметр t, то каждому значению t будет отвечать

некоторая точ

ка поверхности, т. е. некоторые

значения

5 и TJ.

Таким

образом,

вдоль кривой координаты d и т)

являются

функциями

параметра

t, т. е.

Ç— £ (О» ЯЗ— 'Я (О*

Эти уравнения называются уравнениями кривой на

поверхности.

Подставив их в уравнения поверхности

(1.3), получим

парамет

рическое уравнение произвольной кривой на поверхности.

Таким

образом,

полагая

в (1.3)

последовательно

£ = const,

у = const,

получим на поверхности два

семейства

координатных

линий — соответственно 13- и d-линии.

Очевидно, что на заданной поверхности координатную сеть можно выбрать не единственным образом.

В дальнейшем будем рассматривать криволинейные ортого нальные координаты, т. е. такие, для которых все координатные

линии	а, р, у	в	каждой		точке	М	взаимно ортогональны.
Такая	система	носит		название		триортогональной,			или	про
сто ортогональной системы криволинейных координат.									В данной
системе координат квадрат длины линейного								элемента	простран
ства равен
		ds2 «		H \d ^ + Щ dP +			H \d f,			(1.4,
где
Hi — H) (a,		p,	y);	#2 =	H2 (a,	p , y);	H3 =	t f 3 (a, p, y).		(1.5)

Величины H\t H2, #з называются коэффициентами или пара-

метрами Ламе и определяются с помощью следующих формул:

- (ïï+(I)2+©2

"М §Ы |М |)2

<"•«)

Примеромортогональных

криволинейныхкоординат

являют

ся цилиндрические и сферические координаты.

(3 = ср, 7

Для цилиндрических координат

полагаем

а =

р,

= 2.

Формулы связи декартовыхи криволинейных координат

(1.1):

Ar=pcoscp;

f/ = psincp; z

(1.7)

Выражения

для' коэффициентов

Ламе

(1. 6):

Hi =

# 2

р;

# з

= 1.

(1.8)

При а =

г,

р = 0, 7 = 9

приходим

сферическим

координа

там. Имеем зависимости:

х =

г sin 0 cos <р;

£ =

rsin0sincp; z =

rcos0

(1.9)

и выражения для коэффициентов Ламе:

tfi =

# 2 =

# 3

rsin0.

(1.10)

В частности,

в декартовых

прямоугольных

координатах

для

коэффициентов

Ламе

имеем

# 1 = # 2 = # 3 = 1 .

(1.11)

Коэффициенты Ламе не являются независимыми

величинами

н, как следует из дифференциальной геометрии

[59,

64],

они

должны удовлетворять

следующим

шести

дифференциальным со

отношениям:

дНо

да\Н

т н 2 а?

“ Г ^ О ;

1ая2

а /1 ая3>

а /1 ая2\

ая3

ар\я2

+ 7 - 7 7 ^ + 7 7 2 - ^

= 0;

ат\я3 д-( )

Я | да

аа

d_U

дН2\ |

Щ \

J1 ая,

ая,

1я 3 dt } '

da\H i

да }

Я:

ар

дЩ -

ая2ая1

1ая3ая!

ар d f ’

я2

ар

я3

ар’

а^

1 0Я3ая 2

ая! ая2

Э2Я 2 _____________________

а7

а^аа

я3 аа

а?

я1Ж

а2я 3

1 ая,ая3

1ая2ая3

ааар

я2

аа

ар

= 0.

(1Л2)

Деформация упругого тела? Под деформацией тела подразуме вается изменение взаимного положения точек тела. П усть тело, отнесенное к ортогональным криволинейным координатам а, |3, 7,

под действием каких-либо сил претерпевает деформацию. Тогда некоторая точка М, принадлежащая телу с координатами а, р, у, получит перемещение, которое может быть представлено сле дующими тремя проекциями вектора полного перемещения на направления касательных к координатным линиям а, р, у:

Щ — U\ (а, р, у); «2 = «2 (а» Р, у); «з = « з (а 1 Pt у).

(М 3)

Эти компоненты вектора перемещения часто называют просто пе

ремещениями		точки		М. Положительные					направления		перемеще
ний щ,	Ü2,	«з совпадают				с	положительными			направлениями
координатных		линий		а,	р,	у.					состояние
В нелинейной			теории		упругости деформированное
сплошного тела в			окрестности точки М характеризуется шестью
компонентами деформаций					[57,		59]
ец	=	е\\ +	у [б п "Ь ( т е,г					Шз)	("2 613 — а>2) ]»
«12 = е 12+		e\i{^e i2 — <J>3) + 622(-j612 +							*»з) +	(-^Щз— ш2) X
					(1,		2,	3),			0*14)

где цифры (1, 2, 3) означают, что остальные компоненты полу чаем из (1.14) путем циклической перестановки цифровых индек сов, и

1	дих	1	дН\		1	дНх
e i1= 7ГХl à *** ТЦН2W Ü2 +					Щ й W из*
612 — 621 —		н2д /»г\		, н\д (и\\
612 — 621 —			да	^	др	J»
2(0>=	Я р ^ [ д р ( # з « з ) — ^				( #	2«2)]
	(1, 2,	3),	(а, р,	у).		(1.15)

Относительные .удлинения по направлениям а, р, у вычисля ются по формулам

Е\ = / 1 + 2 е ц — 1
(1, 2, 3).	(1.16)

Углы сдвига (точнее, синусы	углов сдвига)	между первоначаль
но ортогональными волокнами определяются		так:
sin?l2 =	е12
sin?l2 =	(1 + Я \|)(1 + £ 2)
(1,	2, 3).	(1.17)
ч

Параметры могут быть отождествлены с углами поворота объемного элемента вокруг координатных осей.

Напряжения. Уравнения равновесия. Пусть на тело действуют поверхностные силы Ft и массовые, или объёмные, силы Pt (рис. 1.3). Те силы, которые действуют на все элементы занимаемого телом объема сплошной среды, называются массовыми, или объемными (например, силы инерции, центробежные силы). Силы, действую щие на элемент поверхности тела, называются поверхностными (внешнее давление, силы контактного взаимодействия и др.).

Вследствие того что действие сил передается от одной части среды другой, материал внутри объема о, ограниченного поверх ностью <3, взаимодействует G материалом вне этого объема.

Рис, 1.3

Рис. 1.4

Выберем в этом элементе v малую площадку As G нормалью

п в точке М. Обозначим через AF главный вектор всех прило женных к этой площадке сил со стороны внешней среды вне эле

мента и. Главный момент при этом равен АМ. Среднее значение

силы, отнесенной к единице площади As, равно ^-.

Напряжением в точке М на площадке As с нормалью п на зывается величина

ап= lim £? = ££.

(1.18)

Ss-*- 0as as _

Главный момент АМ при предельном переходе стремится к нулю, так как плечо в пределе равно нулю.

Если рассмотреть элементарный объемный элемент в системе координат а, (3, у (рис. 1.4), выделенный вокруг заданной точки М, то на гранях этого элемента (до деформации элементарные площадки были ортогональны осям а, (3, у) будут действовать следующие напряжения:

на	грани	а =	const	оц, 021, 031;
на	грани	(3 =	const	022, 012, 032;	(1.19)
на	грани	у ** const		033, 013, 023.

Касательные напряжения обладают свойством парности (взаим ности) [59], т. е. имеют место соотношения

012=021 (1, 2, 3).

(1.20)

С помощью напряжений (1,19), т. е. через их линейные ком бинации и дифференциальные операторы можно полностью опи сать напряженное состояние в данной точке М.

Пусть рассматриваемое сплошное тело под действием прило женных сил находится в равновесии. Тогда условия равновесия элементарного деформированного объемного элемента тела под действием массовых сил и вызванных на его гранях напряжений в произвольно выбранной системе криволинейных ортогональных координат а, р, 7, к которой отнесено тело в недеформированном состоянии, имеют следующий вид:

д		д	д	дН9
faiH ïH zsu)		+ ^р (H\Н3S21) 4- 3^ (H\H2,S3\) — H s-faSw — Я 2Х
X	S33	Hz	si2 4“ Я2"3~si34“ Я1Я2Я3Р1		(1*21)

(1, 2, 3), (a, p, y),

где P I = P I (a, p, 7), P 2= P 2(a, P,Y), P 3 = P3(a, p, 7) — проекции массовой силы на направления касательных к координатным ли ниям a, p, Y;

su =	оц (1 4- su )	4- 0 1 2 ( ^ - 6 1 2— «>з) 4- ° 1з ( у				S13 “Ь Ш2)»
S12 = оц	(Y 612 “Ь шз) 4- °i2 (l		4- S22)) 4- °1з ( у S2 3— o>i);				( 1.2 2)
S21	021 (1 4~ e u)	4- ^ ( ÿ	S12 — “ 3) 4“		°23 ( y	S13 4* <“2),
		(1.	2,	3)
	aü —	— (t, / = 1, 2,			3);		(1.23)
	aü —	14-£/S
—!■= j/~ (1 4“ 2e22) (1 4“ 2езз) — £2з					(1 » 2,	3).
5i

Величины о* называют обобщенными напряжениями; S[— прямо-

угольная элементарная площадка с нормалями е* до деформации, s* — та же площадка (уже криволинейный четырехугольник) после

деформации.

Упрощение основных соотношений. Предположив, что удлине ния Et и сдвиги <ру — малые величины по сравнению с единицей, из выражений (1. 16) и (1. 17) следует:

ZTiæeii, <pi2~ e i 2 (1, 2, 3).

(1.24)

Из (1.23) имеем

sî	v *	,	(1.25)
— ~ 1,	p - ^ l ,	ац^Оц (i, / = 1 , 2 , 3 ) ,	(1.25)

где V и V* — объемы элементарного элемента до и после дефор мации.

Тогда

«и =	он (1 + бц )	012 ( Y	612 — шз) +		01з ( у	^1з +	«г).
512 =	0Ji ("!j-£l2 +	шз) + 012 (1 +		622) +	013	523—	<«l),
521 =	021 (1 Н" 5 ц ) +	022	512 —	Ш з )+	°23 ( - J	513 +	Шг]	(1.26)
		(Ь 2, 3).
Если удлинения и сдвиги,			а также углы поворота малы						по
сравнению с единицей, то малыми				по сравнению с единицей					яв

ляются и параметры ец. При этом они будут отличаться от со ответствующих компонент деформации только на величины поряд

ка квадратов углов поворота.					дальнейшие			упрощения.
В величинах s*,- также возможны					дальнейшие			упрощения.
Приняв
	1 + е,7 ~	1,	ец +	ч)&	± щ ,
получим:
	Su =	О ц ----012 0)3 -f- 013 0)2’,
	512 =	011 0)3 + 012 — 013 0)1 ;
	S21 = 02] — 022 Щ G23 О)?
		(1.	2, 3).						(1.27)
Такому же упрощению должны быть					подвергнуты			и	соотно
шения	деформаций (1.14).	В них, кроме			того,	необходимо также
пренебоечь квадратами величин ец по сравнению							о первыми сте
пенями	этом случае
	6\| I = 5l \| + 7Г (ш2 +		«з);	©12= 512----С01 0)2
		(1,	2, 3).						(1.28)
Дальнейшее упрощение всех уравнений и соотношений теории
упругости возможно при		условии,		что	углы	поворота			порядка
ец, и	ас только малы, что можно отбросить все						члены,		которые
на них умножены, оставив лишь члены,					которые		не содержат их.
Получим
	г,	$ц^*Оц (/,		/ —-	1, 2,	3).			(1.29)

В результате таких упрощений получим уравнения линейной (классической) теории упругости. При этом предполагается, что связь между напряжениями и деформациями (обобщенный закон Гука) также должна быть записана в линейной форме.

Поверхностные силы учитываются путем задания граничных условий на ограничивающих поверхностях тела.

Обобщенный закон Гука. В случае однородного изотропного тела компоненты напряжения связаны с компонентами деформации следующими зависимостями, называемыми обобщенным законом Гука:

ei i= 2г1°и — v	0зз)]; 612 = (f° 12
(1,	2, 3),	(1.30)
	£	— мо'
где Е — модуль Юнга, v — коэффициент Пуассона, G =*271+7)		— мо'

дуль сдвига. Последние определяются из эксперимента.

В случае, если тело находится в неравномерном температур ном поле Т(а, '$, у), в соответствии с гипотезой Дюамеля—Нейма на [44] в теле возникают тепловые напряжения.

Тогда соотношения закона Гука принимают вид:

ец =	[оп — v (<322 +	озз)] +	атТ ,
	£12=^-012 (1.	2, 3),	(1.31)

где в правой части первые члены выражают упругие деформации, вызванные неравномерным нагревом тела, а вторые члены в пер вых трех равенствах — чисто тепловую деформацию тела; ат— коэффициент линейного температурного расширения

В общем случае криволинейной анизотропии соотношения обобщенного закона Гука запишутся в виде [31

6 ц = 0 Ц 0 Ц 4 " 01202* 4 “ 013033 4 “ 014023 4 “	+ O\|fi012*
612= 016011 4“ 026022 4“ 036033 4* 046023 4" 056013 4- 06601?		(1.32)
(ац = ар) , (1,2,3 ., (4, 5,	6)

Коэффициенты а</ можно выразить через технические постоянные [3, 50, 59]. В общем случае число независимых упругих постоян

ных равно 21		частные		случаи		соотношений (1.32)
Рассмотрим некоторые
[3, 50]. Для анизотропного		тела	с	одной		плоскостью упругой
симметрии,	когда координатная линия у				перпендикулярна		этой
плоскости	в каждой точке,	соотношения			(132) принимают		вид
	ец =ацоц 4-01202		4- 0130ч		4 -^ 1601?
		( 1. 2, 3)
	612= 016011 4- 026022 4- 030033 4- 066012*.
	Ê23 = 044023 4- 045013»						(1.33)
	631 = 046023 4- 055013-

Здесь число независимых упругих постоянных понизилось до 13. Если через каждую точку проходят три взаимно перпендику лярные плоскости упругой симметрии; перпендикулярные к ко ординатным линиям а, (3, у, то имеем ортотропное тело со сле

дующими соотношениями обобщенного закона Гука:

611=011011+012022 + ^13033 (1»	2, 3);	(1.34)
612 = Обб012> 623 = O44O23; 631 =	ОБ5031;

Соотношения (1.34) содержат девять независимых упругих постоян

ных.

В случае, когда через каждую точку тела проходит плоскость, перпендикулярная линии у, в которой упругие характеристики материала эквивалентны во всех направлениях, то приходим к трансверсально изотропному телу с соотношениями:

б ц =	а ц О Ц	+ Û12022 +	Û13033 »	623 =	Я44023;	(1.35)
622=	Й12011+ ai 1022 +		ai3033,	$31 =	«44031 ;
езз = a i3 (оц +		022) + аззозз, $12 =		2 (ац — a i2) 012.

Вэтом случае имеем пять независимых упругих постоянных. Потенциальная энергия деформации. Идеально упругое тело

обладает свойством накапливать под действием внешних усилий энергию в обратимой форме: при удалении внешних сил энергия расходуется на восстановление первоначальной формы тела.

Энергию, накапливаемую при деформации в единичном объеме материала, выделенном около данной точки, называют удельной потенциальной энергией, или упругим потенциалом в окрестности рассматриваемой точки. Упругий потенциал

Э = - j (оцец + 022622 + ОЗЗбЗЗ + 023623 + <*31631 +		012612).	'(1.36)
Заметим, что половинное (а не полное) значение суммы в			(1.36)
берется потому, что напряжения	возникают не внезапно, а растут
по мере увеличения деформации	вследствие зависимости от		них,
что характерно для статического процесса.		потенциаль
Для элементарного объема dV — HiHiHïdadfidy
ная энергия
dU =BdV.			(1.37)
Потенциальная энергия, накопленная в упругом теле объема V:
U — l l [ 3 d V .			(1.38)

Если подставить‘в упругий потенциал (1.36) вместо напря жений их значения из закона Гука (1.19), то получим его выра жение через компоненты деформации

Э = p-feii + 622 + езз + -J (e i2 + 623 + 631)] + - ^ (е и + е г г + е з з ) 2, (1.39)

где
		P — G — 2(l+v) ; “ (1 + v) (1—2v)	<I,40)
— константы Ламе.			найден
Подставив		в (1.36) вместо деформаций их значения,	найден
ные из	закона	Гука (1.19), получим упругий потенциал,	выра
женный	через напряжения:
Э = 22?[0 ll 4* с 22 4" °33 + 2 (1 + v) (о?2 4" ®23 4" efl) — 2v (оц022 4*
		4- 022033 4- 03301 l)j.	(1.41)
Из возможности представления удельной энергиидеформации
для тел,	следующих закону Гука, в различных формах вытекают

важные следствия и формулируются разные вариационные принци пы [51, 59, 65].

Иногда удельную энергию деформации удобно представить в виде суммы двух слагаемых: энергии Э0, расходуемой на изменение

объема, и энергии Эф, расходуемой		на искажение	формы,		т. е.
Э =	Э0 4-Эф,				(1.42)
где
Э0 = р. (ей 4" ®22 4“ ,	зз) 4- у (eu 4~ Ё2 2 4-езз)2‘,
Эф = -j (е?2 4- е!з 4-eii).					(1.43)
В случае анизотропии выражения		упругого потенциала в нап
ряжениях или в деформациях имеют более громоздкий вид,					чем
(1.39). (1.41).			рассматри
Формулировка краевых задач. В теории упругости
ваются три типа краевых задач.		заключается в	том,	чтобы
Первая основная краевая задача
при заданных внешних нагрузках, т. е. напряжениях			на	поверх

ности тела, определить напряженно-деформированное состояние тела.

Вторая основная краевая задача формулируется следующим образом: найти упругое равновесие тела, если на его поверхности заданы перемещения.

Также может быть сформулирована смешанная основная крае вая задача, когда на одной части поверхности тела заданы пере

мещения, а на другой — напряжения.	^
При решении первой основной задачи	удобно записать все

уравнения в напряжениях, а при решении второй основной зада


чи— в перемещениях.	На этом основании говорят о двух		спосо
бах решения краевых	задач: решение задач теории упругости в
напряжениях и в перемещениях. Может быть		использован	под
ход к решению задач теории упругости и в		смешанном	виде,

когда в качестве разрешающих функций выбираются напряжения и перемещения.

2. УРАВНЕНИЯ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

Определение и основные сведения о геометрических характерис тиках. Оболочкой или тонкой оболочкой называется тело, огра ниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние меж ду которыми мало по сравнению с другими размерами тела.

Геометрическое место точек, равно удаленных от обеих поверх ностей, называют срединной поверхностью оболочки. При этом подразумевается, что такую по

верхность можно построить. Отрезок перпендикуляра к

срединной поверхности, заклю ченный между ограничивающи ми поверхностями, называют толщиной оболочки и обозна чают через h. Будем считать толщину оболочки переменной величиной, зависящей от кри волинейных координат средин ной поверхности (рис. 1.5).

Если оболочка не имеет гра ниц, кроме указанных выше двух поверхностей, она будет замк

нутой. Если срединная поверхность ограничена каким-либо кон туром, то получаем незамкнутую оболочку. Считаем, что гранич ная поверхность, проведенная вдоль этого контура, перпенди кулярна к срединной.

Геометрия оболочки полностью определена, если заданы ее срединная поверхность и закон изменения толщины.

В теории оболочек трехмерная задача сводится к двумерной [58, 17, 81], т. е. трехмерному упругому телу ставится в соответ ствие срединная поверхность, обладающая в некотором смысле эквивалентными свойствами.

Это достигается путем принятия гипотезы Кирхгофа — Лява (гипотезы недеформируемых нормалей), согласно которой: 1) пря молинейный нормальный к срединной поверхности элемент обо лочки остается прямолинейным и нормальным к деформированной срединной поверхности, сохраняя при этом свою длину; 2) нормаль ными напряжениями на площадках, параллельных срединной по

верхности, можно пренебречь по сравнению с			аналогичными на
пряжениями на площадках, перпендикулярных			срединной поверх
ности .	Кирхгофа — Лява, исходя			из (1.14),
Математически гипотезу
(1.16), (1.17) и (1.24), можно	записать	в виде
6 1 3 = 0 , £ 2 3 = 0 , е з з = 0 ,		<333=	0 .	(1-44)

Показано [58], что погрешность гипотезы Кирхгофа — Лява в теории оболочек является величиной порядка h/R, где R — ха рактерный линейный параметр срединной поверхности. С харак

<<< < Предыдущая 12 / 292 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги