книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость

ющее приближение прибавляет к решению один член из разло­ жения е* в степенной ряд. При достаточно большом числе прибли­ жений можно получить решение требуемой точности. Для дости­ жения инженерной точности может оказаться достаточным дватри приближения в зависимости от выбранного интервала для переменной х.

2.3.4. Сходимость. Критерием точности метода и окончания расчета является получение при последующих приближениях неизменяющегося решения. Графически понятие о сходимости иллюстрируется рис. 2.4. В данном случае рассмотрена простая

Рис. 2.4. Иллюстрация сходимости при ис­ пользовании метода последовательных при­ ближений для решения двух однородных линейных уравнений

задача — два совместных линейных алгебраических уравнений. Процесс приближений состоит из произвольного выбора значения для у, по которому для одного из линейных уравнений опреде­ ляется х, далее это значение х используют во втором уравнении для определения нового значения у, затем возвращаются к пер­ вому уравнению для получения нового значения х. Процесс по» вторяют поочередно с двумя уравнениями для получения новых значений х и у. Этот процесс при решении рассмотренных здесь уравнений очень прост, однако аналогичный подход применяется и тогда, когда должно быть решено очень большое число совмест­ ных уравнений.

Результаты расчетов показаны графически на рис. 2.4.

В случае а начальной точкой является А и результаты после­ довательных приближений указаны штриховой линией. На рис. 2.4 видно, что последовательные приближения сходятся к точке пересечения двух прямых, которая является точным решением. Случай б соответствует результатам последовательных приближе­ ний для другого направления прямых, описываемых линейными уравнениями. Здесь точное решение достигается по спирали вокруг

диаграмму, характеризующую материал. Как и в начальной точке, полная деформация для реальных значений напряжений предполагается равной деформации в точке А. Значения напря* жения и деформации в данном состоянии соответствуют линии постоянной деформации, проходящей через А или С. Эквивалент­ ная пластическая деформация в п-й точке ерл дана отрезком СП. Значение егрл и е0рл можно

ции ЕС, соответствующий этому,а1п, равен верхнему пределу ерл. Истинная величина ерл лежит между СП и ЕО, поэтому среднее значение между СП и ЕО, показанное, как НК, будет по пред­ положению хорошим приближением.

Новые значения сгп, ст0л и а1п можно рассчитать с исполь­ зованием величины НК, ъм, а также напряжений в точке Е а[п и агЛ и а0л, полученных в предыдущем приближении. Предположим, что это новое значение а.п лежит в точке М. Так как напряжение в точке М выше, чем в точке Н, приращение НК- величины ерл

всех температурах; применение метода для случая, когда кривая деформирования зависит от температуры, рассмотрено ниже.

Полную деформацию выразим через пластические деформации. Как всегда, используем уравнение равновесия, совместности и кривую деформирования. Задача является осесимметричной, по­ этому уравнения равновесия и совместности представлены соот­ ношениями (1.18) и (1.20) при толщине, равной единице (анализ сделан для слоя единичной толщины по центру цилиндра), и © = = 0. Кроме того, используем условия плоской деформации — равенство осевого перемещения по всему сечению, за исключением

торца, е2 = соп$1:. Пусть цилиндр свободен по концам, так что

я

суммарное осевое усилие по сечению | а/йг равно нулю.

Соотношения (2.19) решаются последовательными приближе­ ниями. Нулевое приближение полных деформаций получаем, предполагая, что егр и е0р равны нулю. Тогда полную эквивалент­ ную деформацию вычисляем по уравнениям (2.9), эквивалентную пластическую деформацию определяем по рис. 2.6, в и первые приближения для егр и е0Р — по уравнению (2.11). Эти величины егр и е0р подставляем в (2.19) и получаем новое приближение для ег, е0 и е2. Процесс повторяем столько раз, сколько необходимо

для получения желаемой степени сходимости. Напряжения можно вычислить по основным зависимостям для напряжений и дефор­ маций (2.8). Расчеты для первого приближения показаны в табл.

2.2.

2.2. Расчет деформаций в длинном сплошном цилиндре

Результаты различных приближений представлены на рис. 2.7, на котором видно, что для получения решения необходимо отно­ сительно немного приближений (сплошная линия — нулевое при­ ближение, штриховая — первое, штрих-пунктирная — четвертое

ипятое).

2.4.3.Быстрота сходимости. Проблема сходимости имеет боль­ шое значение в методе последовательных приближений этого типа. Для решения, которое получается из уравнений (2.19), можно показать, что условия сходимости удовлетворяются; однако точное решение можно получить при достаточно большом числе прибли­ жений [2.41. При наличии быстродействующих ЭЦВМ большой объем вычислений не может служить существенным ограничением. Если необходимо максимально уменьшить объем необходимых расчетов, можно применить по крайней мере два способа: 1) на­ чинать в первом приближении с распределения напряжений или

деформаций, как можно более близкого к точному решению; 2) вводить улучшения в полученные решения в процессе после­ довательных приближений, не полагаясь только на первое при­ ближение.

Предположение о том, что распределение упругих деформаций является правильным, приводит к хорошим результатам в боль­ шинстве задач с температурными нагрузками, поскольку в них окончательное распределение оказывается мало отличающимся от первоначально принятого [2.61. Если приложена внешняя нагрузка или возникнет локализованная пластическая деформа­ ция, когда остальной объем тела является упругим, предположе­ ние о сохранении упругого распределения деформаций не может

Рис. 2.7. Распределение напряжений (а) и деформаций (б) в сплошном цилиндре после различного числа приближений

[2.6 ]

служить наилучшим исходным приближением. В этом случае для получения лучшего исходного приближения можно исполь­ зовать упрощенный анализ, экспериментальные данные или сочетание предварительного расчета и эксперимента. Полезным может оказаться предварительный расчет, в котором учет пласти­ ческих деформаций ограничен лишь малой областью. При этом приближения сходятся быстро, хотя точность решения ограничена. Однако это решение может служить хорошим исходным прибли­ жением для решения, охватывающего большую пластическую область и более совершенного, чем в случае применения упругого решения в качестве исходного приближения.

Второй способ.можно применять, если рассматривать скорость изменения деформации в данной точке от приближения к при­ ближению с экстраполяцией до скорости, равной нулю. Например, можно делать три или четыре приближения, вычерчивая для каждой точки график приращения деформаций за приближение в зависимости от принятой деформации и экстраполируя его до деформации, обеспечивающей приращение, равное нулю. Поле­ ченное распределение деформаций можно использовать как новое исходное приближение для выполнения нескольких дополнитель­ ных приближений. Этим способом-в работе [2.61 решена задача

о вращающемся диске за 12 приближений с такой же точностью, которая получается за 40 приближений обычным методом.

2.4.4. Решение уравнений другими методами. В рассмотренном примере уравнения удалось проинтегрировать непосредственно, так как члены, содержащие пластическую деформацию, рассма­ тривались как известные величины. В ряде случаев непосред­ ственное интегрирование невозможно, и тогда после оценки пла­ стических деформаций из предшествовавшего приближения при­ ходится использовать метод конечных разностей* коллокации или другие приближенные приемы решения дифференциальных уравнений. При этом могут быть использованы многие приемы решения задач термоупругости, описанные выше, причем пласти­ ческие деформации, определяемые в каждом приближении, ■ должны входить в соотношения между напряжениями и деформа­ циями.

2.5. УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТЕОРИИ ТЕЧЕНИЯТЕОРИЯ ТЕЧЕНИЯ КАК РАЗВИТИЕ ДЕФОРМАЦИОННОЙ ТЕОРИИ

2.5.1. Ограничения деформационной теории. Как отмечалось, деформационная теория использует соотношение между напря­ жениями и деформациями. Во многих приложениях применение этой теории может быть эффективным, хотя ее исходные положе­ ния не всегда справедливы. Большинство проблем возникает в тех случаях, когда происходит «разгрузка», что имеет место при уменьшении напряжения в какой-либо точке тела, нагружен­ ной за пределами упругости; при разгрузке напряжения изме­ няются в пределах упругости, а пластическая деформация сохра-. няется, так что линейное соответствие между напряжением и де­ формацией не выполняется. Окончательную'Величину деформа­ ции можно определить при рассмотрении сложной истории на­ гружения, а не окончательного состояния. Известные трудности могут появиться также, если в процессе нагружения изменяется отношение главных напряжений. Таким образом, теория течения должна быть использована преимущественно тогда, когда усло­ вия применимости деформационной теории не выполняются, т. е.

не осуществляется простое нагружение.

Ниже рассмотрено применение этой теории к задачам о тем­ пературных напряжениях. Во многих случаях термического на­ гружения возникает нестационарное распределение температур, вызывающее в некоторых областях тела пластические деформации с разгрузкой до достижения окончательного распределения тем­ ператур. При стационарном распределении температур процессы ползучести постоянно изменяют распределение напряжений, отно­ шения главных напряжений, иногда также приводят к разгрузке. В- этом случае следует использовать метод приращения.

В следующих разделах изложены основы расчета методом при­ ращений, представленным как развитие деформационной теории. При этом оказывается возможным не только достичь лучшего понимания сложных процессов деформирования, но и получить конкретные решения, основанные на несколько ограниченной теории.

2.5.2. Поведение материала при одноосном напряжении. Для лучшего понимания основных уравнений теории течения жела­ тельно рассмотреть поведение материала при нагружении и раз­ грузке после однократного, по крайней мере, превышения пре­ дела текучести. Рассмотрим вйачале одноосное напряженное со­ стояние, распространив затем этот анализ на сложное состояние.

и растяжении имеет одинаковую кривую деформирования, и ее из­ менение вследствие пластических деформаций в этих случаях одинаково.

Таким образом, линия 0"М""Д"" изображает исходную кривую деформирования при сжатии (начало координат сдвинуто в точку О"", так что ОД'" = Д'"0""), а линия Д "'Д ""Е""— кривую сжатия после предварительного растяжения или сжатия до напряжения Д. При одноосном нагружении после однократной пластической деформации ер, деформация при последующем дей­ ствии напряжения а независимо от его направления — дальней­