книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость

дифференциальных уравнений. Вследствие общности метода и малых ограничений в его использовании особенности метода опи­ саны достаточно подробно с иллюстрацией на простом примере.

1.16.1.Понятие коллокации. Пусть нужно решить простое диф­

уравнения, то оно тождественно удовлетворяется. Предположим, однако, что мы ищем только приближенное решение этого уравне­

х = 0. Если это выражение подставить в левую часть уравнения, то

Очевидно, что это выражение не равно нулю при всех значе­ ниях х. Разница между значением этого выражения и значением, которое оно должно иметь, т. е. нулем, называется невязкой. Ее значение зависит не только от х, но и от выбора констант Ь и с. Так как имеются две пока не оговоренные константы, то они могут быть определены заданием условий, которые дадут два совместных уравнения для б и с .

В первом варианте этого метода константы могут быть опреде­ лены уравнением невязок при трех выбранных значениях х: х г,

Так как процесс состоит из написания шаг за шагом невязок для ряда последовательных значений независимых переменных, метод известен под названием метода коллокаций.

При другом подходе невязки принимают равными не друг другу, а произвольно выбранным малым величинам; в более частном слу­ чае их можно приравнивать нулю. Например, невязки для зна­ чений х -1 и а*2 могут быть выбраны равными нулю, обеспечивая два уравнения для определения б и с. В приведенном уравнении, на­

ния в пределах значений от х = 0 до х = 1. Результаты прибли­ женного и точного решений достаточно хорошо согласуются при некоторых значениях х. При х = х/а приближенное решение дает 1,75, а точное 1,649, при х = 1 по приближенному решению у = 3, по точному у = 2,718. Лучшее приближение может быть достигнуто при введении большего числа произвольных постоянных за счет приравнивания невязок нулю более чем в двух точках. Так, если решение принимают в виде у = 1 + Ьх + сх2 + йх3 (первый

член берут равным единице для удовлетворения граничного усло­

обстоятельства.' Первое заключается в том, что хотя невязки по­ лагаются равными нулю в выбранных положениях (так что в опре­ деленном смысле можно сказать, что принятое приближенное решение удовлетворяет дифференциальному уравнению в выбран­ ных точках), нельзя считать, что значения зависимой переменной у, вытекающей из приближенного и точного решений, будут одина­ ковыми для этих положений. Например, из двух упомянутых решений приближенное решение у = 1 + х -{- я2 «удовлетворяет» дифференциальному уравнению при х = 1, но приближенное решение у = 3 при х = 1 не согласуется с точным решением (2,718). Однако можно ожидать, что если дифференциальное уравнение «удовлетворено» в достаточном числе точек, решения будут прием­ лемо согласовываться с точным решением.

Другое обстоятельство, на которое следует обратить внимание, заключается в том, что имеется значительная разница между приближенным решением в виде степенного ряда, определяемым методом коллокации, и степенным рядом, полученным общепри­ нятым способом при решении дифференциальных уравнений в сте­

ренциальное уравнение и полагаем суммы коэффициентов при чле­ нах с одинаковыми степенями х, равными нулю. Решение может

отбросить, то видно, что решение отличается от решения у — 1 + + х + 3/7я2 + 2/7я3. В этом случае разница между числовыми значениями, найденными с помощью этих двух выражений для-я в области от 0 до 1, невелика, хотя выражение, полученное мето­ дом коллокации, несколько ближе к точному решению. В других случаях, однако, различие может быть очень велико.

Характерным примером является дифференциальное уравнение с условием у = 1 при х = 1. Точным решением,

очевидно, является у = я3, в чем можно убедиться прямой под­ становкой. Предположим, решение предлагается в виде у = а + + Ьх + ся2, и все члены после я2 отброшены.

Обычный способ, который заключается в подстановке этого выражения в дифференциальное уравнение, приведении всех членов, содержащих данную степень х, и приравнивании к нулю коэффициентов при одинаковых степенях х, приводит к а = Ь = 0. Этого следовало ожидать, так как этот способ всегда дает точное решение, развернутое в виде степенных рядов, в которых члены после определенной степени х отбрасываются. В этом случае точным решением является х3, так что точные коэффициенты чле­ нов с меньшими степенями действительно равны нулю. Поэтому все решение будет полностью потеряно, если отбросить все сте­ пени х после х2. Метод коллокации, однако, этого не допускает. Если коэффициенты а, б и с определяются приравниванием к нулю невязок при х — 1 и х = 2 и удовлетворением граничного условия, то оказывается, что приближенное решение дифференциального уравнения в пределах от х = 1 до х = 2 есть у = 4 — 9х + 6х2. Очевидно, это решение мало похоже на точное решение, но чис­ ленно два решения согласуются в этом диапазоне х достаточно хорошо.

1.16.2. Увеличение точности за счет предварительного превра­ щения дифференциального уравнения в интегральное. Одной из причин возникновения погрешности при решении дифференциаль­ ного уравнения методом коллокации является необходимость брать производные. В то время как данная функция может приближаться с разумной степенью точности к другой функции, производные для двух функций могут значительно отличаться. Поэтому точ­ ность решения может быть увеличена, если перевести дифферен­ циальное уравнение в интегральное, в котором производные за­ меняются функциями. В уравнении (1.121) переход к интеграль­ ному уравнению может быть легко достигнут умножением обеих частей на с1х и интегрированием от исходной точки до любой дру­

В этих трех точках результаты близки к результатам, получен­ ным для полинома третьей степени, когда метод коллокации при­ менялся к дифференциальному уравнению; в промежуточных точках расхождение между двумя решениями больше, так как квадратичное и кубическое выражения не могут быть идентичны во всем интервале.

К сожалению, дифференциальное уравнение не всегда удобно превращать в интегральное. В приложениях, рассмотренных ниже, метод коллокации применен непосредственно к дифференциаль­ ному уравнению, хотя следует помнить, что в некоторых случаях большая точность может быть достигнута соответствующим пе­ реходом к интегральным уравнениям.

1.16.3. Понятие о функции положения. Для некоторых при­ ложений, особенно при решении двухмерных задач, желательно выразить общее решение через решения в выбранных точках.

и 1 соответственно. Члены Р 0 (х), Р 1/2 (х) и Рх (х) называются «функциями положения», так как они связаны с выбранными положениями (значениями) для х [1.36]. В качестве иллюстрации рассмотрим приведенное уравнение для х = х/2. Для того чтобы у равнялся //1/2 при х = 1/2, значения Р„ (]/2) и Р х (х/2) должны

у1/2 и ух, эти функции положения необходимо поделить на соот­

ному условию уравнения (1.128), принято квадратичное решение, содержащее константы г/1/2 и ух аналогично решению у = 1 + + ах + Ьх2 с константами а и Ь. Однако в этом случае величины У1/2 и ух имеют определенный физический смысл. Это объясняется тем, что граничные условия обычно задаются значениями функ­ ций и их производных в определенных точках, и понятие функции положения становится полезным.

Если уравнение (1.128) использовать теперь для получения решения методом коллокации в дифференциальной либо в инте­ гральной форме, то значения «/1/2 и уг оказываются, как и раньше, 1,75 и 3,0 для дифференциального уравнения и 1,643 и 2,715 для интегрального соответственно. Конечно, в применении функций положения для очень простой одномерной задачи, которая была рассмотрена, нет никаких преимуществ. Наибольшее значение метода связано с возможностью переводить дифференциальные уравнения в частных производных в обыкновенные дифферен­ циальные уравнения, которые затем могут быть легко решены. Этот подход развит в связи с задачами теплового удара, в кото­ рых главным является определение распределения температуры

стина 2 x2 5 подвержена попе­

речному распределению температур вида Т = Т 0(у2 — 1/3). Ключ к задаче о напряжениях состоит в решении бигармонического урав­ нения У4(р + ЕаЯ*Т = 0 ; однако рассмотрим сначала определение функции напряжений ср. В соответствии с методами коллокации и функции положения допустим, что вначале определены значе­ ния ф1/4 и фэд при ординатах у = У4 и 3/4, соответственно. Эти величины являются функциями от х, т. е. вдоль линий АА и ВВ на

оценить изменение ф в плоскости СС, основываясь на прохожде­ нии многочлена через значения Ф1/4 и фз/4 . и на удовлетворении всех граничных условий, наложенных на ф в сечении СС. Эти

условия могут быть записаны следующим образом: ф = 0 и =

= 0 на границах. В связи с симметрией распределения темпера­ туры очевидно, что ф (у) = ф (—у). Поэтому многочлен должен содержать только четные степени у. Пусть принято выражение для ф в сечении

локаций уравнения (1.133) для двух значений у можно получить два дифференциальных уравнения:

(1.134)

В этой частной задаче правая часть уравнений (1.134), пред­ ставляющая собой у 27\ оказывается независимой от х и от у. В более общем случа \7гТ зависит как от х, так и от у. В урав­ нениях (1.134) никаких членов с у нет, так как эти уравнения вы­ текают из уравнения (1.133) при подстановке у = 1/4 и 3/4. Сле­ довательно, в более общем случае правая часть уравнений (1.134) будет функцией только от х. Уравнения (1.134), таким образом, обеспечивают необходимые соотношения для определения Ф1/4 и Фз/4 как функций х.

1.16.5. Решение уравнений классическими средствами. Так как уравнения (1.134) представляют систему обыкновенных диффе­ ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами, их можно решить классическими средствами. Первым шагом является определение частного решения, которое в этом случае предельно просто. Так как правые части уравнения постоянны, частные ре­ шения ф1/4Р и ф3/4р также являются постоянными, таким образом,

В более общих случаях распределения температур правая часть уравнения (1.134) будет функцией от х. Для простых функ­ ций, таких как полиномы и показательные функции, частные интег­ ралы легко определить, если предположить, что они имеют та­ кой же вид, но с некоторыми неопределенными коэффициентами, которые находят при подстановке в уравнения (1.134). В тех слу­ чаях, когда частный интеграл не может быть легко определен в связи с тем, что температура задана в виде сложных функций или в численном виде, лучше совсем отказаться от классического