книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость

тим, что такие функции положения уже записаны в уравнениях (1.130) и (1.131), а различные производные табулированы в соот­ ношениях (1.132). Готовые данные можно использовать, преобра­ зовав х в такую переменную г, что абсциссы рдоль СС и ПГ) ока-

Рис. 1.21. Применение двойной коллокации к решению дифференциального уравнения в частных производных для температурных напряжений. Переход от прямоугольной пластины к квадратной при 2 = Зх

жутся У4 и 3/4 вместо У4х З и 3/4хЗ, как показано на рис. 1.21, б.

где дифференцирование ведется по переменной г. Если теперь фх и ф4 — числовые значения ф по АА, ф2 и ф3 — значения ф по ВВ, то значения ф в любой другой точке вдоль АА выражаются урав­ нениями (1.129)—(1.131):

(1.141)

а вдоль линии ВВ

(1.142)

Если значения (1.141) и (1.142) подставить в уравнения (1.139) и (1.140), используя уравнения (1.132), то получаются четыре совместных алгебраических уравнения для величин фх, ф2, ф3,

Фз/4 в уравнение (1.129) определяет изменение ф во всем рассма-. триваемом диапазоне х н у . Напряжения моРут быть определены из соотношений (1.27).

1.16.7. Увеличение точности при использовании большего числа положений. Как отмечалось при рассмотрении простого

примера у. = точность обычно увеличивается при введении

коллокаций большего числа положений. Например, если для рас­ смотренной задачи выбрать три положения при у = 1/в, 3/„ и 8/0, то функция ф становится

Применяя метод одинарной коллокации, Мендельсон и Хиршберг [1.24] разработали этот случай с относительно небольшими трудностями. Поскольку, однако, число положений увеличилось, трудоемкость определения и обработки комплексных корней, по­ лученных из определяющего уравнения, оказывается чрезмерной. Если использовать большое число положений при двойной кол­ локации,' то увеличение трудоемкости и сложности оказывается умеренным, так как увеличивается лишь число линейных алгеб­ раических уравнений. Имеется, однако, опасность (хотя автор фактически никогда с ней не сталкивался), что быстрое увеличе­ ние степени полинома при увеличении числа положений может привести к колебанию функции, которая хотя и хорошо описы­ вает переменную, но лишь в заданных положениях, в интервалах же между этими положениями — неудачно. Поэтому различные производные могут быть плохо представлены этой функцией. В связи с этим и для уменьшения трудоемкости применительно к решению выбранной частной задачи желательно сохранять число положений возможно меньшим. Работу можно также облегчить путем последовательного, от решения к решению, увеличения

.числа положений. Начертив результаты последовательных рас­ четов, можно составить представление о том, когда достигается оптимальное число коллокаций.

В направлениях х и у совершенно не обязательно использовать одинаковое число положений; большее число положений может быть использовано в том направлении, в котором ожидаются наи­ более резкие изменения напряжений. В примере, показанном на рис. 1.14, один из расчетов сделан с использованием двух поло­ жений в направлении у и трех— в направлении х.

1.16.8. Решение уравнений методом конечных разностей. Хотя метод двойной коллокации для решения линейных дифферен­ циальных уравнений в большинстве случаев вполне удовлетво­ рителен, в ряде случаев желательно проверить, не пропущены ли области больших изменений переменных. В этом случае метод двойной коллокации может быть заменен решением системы ли­ нейных уравнений, полученных из одинарных коллокаций ме­ тодом конечных разностей. Метод этот очень похож на описанный

вразделе 1.14 в связи с решением задачи о вращающемся диске.

Вданном случае уравнения оказываются более высокого порядка

изадача решается путем выражения производных высокого по­ рядка в точке через значения в некоторых соседних точках, как это описано для методов релаксации. Однако производные выс­ шего порядка могут быть обозначены как новые переменные, и дополнительные уравнения можно получить, связывая различ­ ные производные этих переменных; тогда получается система ли­ нейных уравнений первого порядка, которая может быть решена известным способом.

1.16.9.Применение энергетических методов. Применение метода коллокации и функций положения в сочетании с энерге­ тическим подходом отмечалось в разделе 1.10.

Порядок действий такой же, как и в случае, когда используется непосредственно бигармоническое уравнение. При этом построе­ ние функции положения по у идентично уже рассмотренному, но система совместных обыкновенных дифференциальных уравне­

ний для функций от х получается из вариационных уравнений (1.70), а не из бигармонического уравнения (1.28).

Так как оба метода приближенные, то результирующие обык­ новенные дифференциальные уравнения не одинаковы для иден­ тичных задач. Для нескольких задач из практики автора, где для сравнения числовые результаты были получены с помощью обоих методов, конечные результаты практически совпадали.

1.16.10. Применение к пластинам переменной толщины. До сих пор рассматривались примеры решений применительно к плоской пластине, поскольку основная цель состояла в пояснении ме­ тодов расчета. Расчет пластины переменной толщины сводится к тем же основным методам, но вместо бигармонического уравне­ ния получается дифференциальное уравнение в частных произ­ водных, содержащее некоторые дополнительные члены, возникаю­ щие из-за изменения толщины. Дополнительные детали решения даны в работе [1.23].

1.16.11. Пояснительные примеры и обсуждение ограничений. На рис. 1.14 показаны результаты некоторых расчетов, сделан­ ных методом коллокации с использованием функций состояния, как при одинарной, так й при двойной коллокации для различного числа положений. Большое число положений не является необ­ ходимым, а двойная коллокация, большое преимущество которой состоит в простоте, дает результаты, близкие к тем, которые по­

лучаются при одинарной коллокации. Однако при использовании двойной коллокации необходима осторожность. Рассмотренная здесь задача относится к пластине с размерами 2x6 . Осевое напря­ жение в ней максимально в центре и падает достаточно плавно до нуля на краю пластины. Таким образом, данные о напряжениях (или функции напряжений) в некоторых точках вдоль кривой вместе с граничными условиями служат руководством для полу­ чения полной кривой.

Предположим, однако, что задача касается пластины длиной, значительно большей, чем ширина при тех же температурных условиях. Из теории балок и других описанных методов известно, что напряжение вдоль наибольшей длины балки обычно постоян­ но и только вблизи конца оно внезапно падает до нуля. По­ пытки правильно определить распределение напряжений вблизи края пластины, исходя из напряжений в области, где они распре­ делены равномерно, обычно не дают хороших результатов. Из граничных условий вытекает, что силы и напряжения на краю равны нулю, но изменения напряжений вблизи края из них по­ лучить нельзя. Для этого необходимо использовать большое число положений в направлении х и руководствоваться тем условием, что распределение напряжений на краю пластины 2 x 6 не будет существенно отличаться от распределения напряжений в беско­ нечно длинной балке. Это позволяет поставить соответствующую задачу, которая хорошо решается с помощью двойной колло­ кации.

Метод одинарной коллокации в этом отношении не хуже, так как решение для значений ср (х) допускает функцию, которая мало изменяется на длинном участке и внезапно падает вблизи края. Однако и при этом методе могут возникнуть трудности, если тем­ пература внезапно уменьшается в направлении у в зонах, удален­ ных от. положений, выбранных для коллокации. Как и во всех приближенных методах, в методе коллокаций необходимо быть осторожным и проводить возможно большее число контрольных проверок. Во многих случаях решение методом одинарной колло­ кации с использованием конечных разностей для решения резуль­ тирующей системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений оказывается очень эффективным.

1.17. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Выше описаны некоторые методы решения плоских упругих задач. Каждый из них имеет определенную область применения и ни один не свободен от ограничений. Если один размер тела велик по сравнению с другими, то тело обычно рассматривается как балка, нагружаемая механически силами, определяемыми по аналогии Дюамеля. В этом, случае метод анализа по теории балок наиболее просто приводит к определению максимальных напряже­ ний, и лишь вблизи краев необходимо уточнение.

4.6. Реп НагГо& Л. Р. Айуапсей 51геп^Ы: о! МаГеНа1з. МсСга\у-НШ Воок Сошрапу, N. У., 1952, р. 212—250.

1.7. Рох Ь. апй 8оиГЬ^е11 Р. V. Ке1ахаГюп МеГЬойз АррНей Го Еп^тее-

гш§ РгоЫетз. \\ША, В1Ьагтошс Апа1уз13 аз АррНес! Го ГЬе Р1ехиге апс! ЕхГеп510П оГ Р1аГ Е1азНс Р1аГез, РЬП. Тгапз. Коу. 5ос. Мопйоп, зег. А, уо1. 239, 1964,

р.419—460.

1.8.СаГе\уоой В. Е. ТЬегта1 ЗГгеззез. МсСга\у-НШ Воок Сошрапу, N. У.

1957.

1.9.СооАег Л. N. Рогши1аз Гог Оуег-а11 ТЬегтшЫазНс БеГогтаНоп, Ргос. Зй паГ1. Соп&г. Арр1. МесЬ. Липе 11—14, 1958, р. 343—345.

1.10.Соо1й|*ег Л. N. Оп ГЬе Ые^гаИоп оГ ГЬе ТЬегтоеЫзНс ЕдиаГюпз

РЫ1. Ма^., уо1. 23, Мау, 1937, р. 1017—1023.

1.11. СооМег Л. N. ТЬегта1 ЗГгезз апй ЭеГогтаГюп. Л. Арр1. МесЬ. ЗерГетЬёг, 1957, р. 467—474.

1.12.Соо1йег Л. N. ТЬегта1 ЗГгеез Л. Арр1. МесЬ., уо1. 4, 1937.

1.13.Соо1йег Л. N. апй №уП1 О. Е. Лг. АррПсаГюп оГ а РеЫргоса! ТЬеогет о! а Ыпеаг ЕкзНсИу. ЗГапГогй 1Лту. ТесЬ. КерГ. 128, Липе, 1961.

1.14.Не1йеп!е1з К. К. апй РоЬегГз ^У. М. ЕхрептепГа1 апй ТЬеогеПса1

ВеГегпипаГюп оГ ТЬегта1 ЗГгеззег ш а Р1аГ Р1аГе. NАСА ТесЬ. N016 2769, 1952.

1.15.Но1т$ А. О. А ВШагтотс Ре1ахаГюп МеГЬой Гог Са1си1аГтб ТЬегта1 ЗГгеззез т Соо1ес1 1гге&и1а5 СуНпйегз. NАСА ТесЬ. N0^ 2434, 1951.

1.16.Нопгау С. ТЬе Епй РгоЫеш оГ КесГап&Ыаг 5Гг1рз. Л. Арр1. МесЬ., *

уо1. 20, N 1, МагсЬ, 1953, р. 87.

1.17.Ногуау С. ТЬегша1 ЗГгеззез т КесГап^Ыаг ЗГпрз. I. Ргос. 2й N311. Соп^г. Арр1. МесЬ., А5МЕ, 1954, р. 313—322.

1.18.Нопгау О., Вот Л. 8. ТЬегта1 31ге$зе5 т РесГап§;и1аг ЗГпрз. 11, Л.

Арр1. МесЬ., 5ер1етЬег, 1955, р. 401—406.

1.19.Нопгау О. апй Вот Л. 5. ТаЫез оГ зе1Г Е^и^Ь^аГ^пб РипсНопз. Л. Ма1Ь. РЬуз., уо1. 33, N 4, Лапиагу, 1955.

1.20.Мапзоп 8. 8. ВеГегштаПоп оГ Е1азНс 31геззе5 т Оаз ТигЫпе 01зкз NАСА РерГ. 871, 1947.

1.21.Мапзоп 8. 8. БшесГ МеГЬой оГ Ре$1§п апй 51гезз Апа1уз1з оГ РоГаГт& 01$кз учГЬ ТетрегаГиге ОгасИеп!. NАСА ТесЬ. N0^ 1957.

1.22.Мапзоп 8. 8. ТЬегша1 ЗГгеззез т Без^п, Раг! 7. Еха! апй АрргохР ша!е 5о1иГюпз. МасЫпе Без^п, РеЬ. 5, 1959.

1.23.МепсЫзоп А. апй ЖгзсЬЬегд М. Апа1уз15 оГ Е1азИс ТЬегша1 51гез$ез

1п ТЫп Р1а1е \уНЬ 5рап\у1зе апй СЬогсЫзе УапаПоп оГ Тешрега1иге апй ТЫ-

скпезз. NАСА ТесЬ. №Ге, 3778, 1956.

1.24. Мепйе1зоп А. апй Мапзоп 8/ 8. АррпштаГе 5о1иГюп 1о ТЬегща1 ЗЬоск РгоЫешз ш Р1а1ез, НоИоуг ЗреЬегз, апй СуНпйегз \уИЬ Неа! ТгапзГег а! 1\уо ЗигГасез. Тгапз. А5МЕ, со1. 78, N 3, Арп1, 1956, р. 545—553.

1.25.МепсЫзоп А. апй Мапзоп 8. 8. РгасИса1 Зо1иГюп оГ Р1азИс БеГогшаНоп РгоЫешз 1п 1Ье Е1а$ис-р1азис Ращ*е. NАСА ТесЬп. N0^ 4088, 1957.

1.26.МшйНп апй 8а1уааоп. Апа1ой1е$, т М. НеГепу1 (ей.). НапйЬоск оГ

ЕхрептепГа1 ЗГгезз Апа1уз15. ЛоЬп У/Иеу & Зопз. 1пс. N. У., 1950.

1.27. МизкЬеНзЬуШ N. I. Зоте Ваз1С РгоЫетз оГ ГЬе МаГЬетаПса1 ТЬеогу оГ Е1азНсЛу. Егуеп. Р. ^огйЬоГГ, NV, Огошпбеп, №ГЬег1апйз, 1953.

1.28. РккеГГ О. АррПсаПоп оГ ГЬе Роипег МеГЬой Го ГЬе Зо1иГюп оГ СегГаш Воипйагу РгоЫешз т ГЬе ТЬеогу оГ Е1азГ1с1Гу. Л. Арр1. МесЬ., уо1. 11, N 3, Зер-

ГешЬег, 1944, р. 176.

1.29.РопГзку Н. К., Леггагй К. Р., Лопез N. Н. апй №1е1йег 8. Е. ТЬегта1 ЗГгеззез 1П ТигЬ1пе ВискеГз.ОР-52-6С27, ТесЬп1са1 1пГогтаНоп Зег1ез, Сепега1 Епетеепщу. ЬаЬ., Оепега1 Е1есГг1с Со., ЗсЬепесГайу, N. V., РеЬ. 18, 1952.

1.30.КаизсЬег, МапГгей. ЗГаНоп РипсНопз'апй Аш БепзИу Уаг1аНопз 1П ИиГГег Апа1у$1*з. Л. Аегоп. Зс1., уо1. 16, N 6, Липе, 1949, р. 345—354.

1.31.ЗееотаЫ р . Э1е Зраппип^еп ипй Рогтапйегипбеп уоп Ва1кеп тН гесЬ1еск1беп (ЭиегзсЬпШ. АЬЬапйЬ Аегойуп. 1пз1, ТесЬ. НосЬзсЫ. АасЬеп, у о 1. 7 ,

N 11. 1927, р. 11—33.

1.32.Зт^ег Л., АпПкегМ. апй Ьейегшап 8. ТЬегта1 ЗГгеззез апй ТЬегта1

ВискНпд. УГАЭС РерГ. 57—69. Арг11, 1957.

1.33. 5пес!с1оп I. N. апс1 Веггу Б. 8. ТЬе ТЬеогу о! Е1азисИу, «Епсус1оре<На о! РЬузкз», у о 1. VI, «Е1ез11сИу апсЗ Р^зИсИу», Зргшдег—Уег1а& ОНО, ВегНп, 1958.

1.34.$око1шкоН 1. 8. Ма1Ьетаиса1 ТЬеогу о! Е1аз11су. 2(1 е4 МсОгауг-НШ Воок Сошрапу, N. V., 1956, р. 377—465.

1.35.8око1тко11 I. 8. апс1 8око1тко1! Е. 8. Н^Ьег МаШетаИсз Еп^шеегз апс! РЬуз1С15{з. 2(1 е(1 МсСгачу-НШ Воок Сошрапу, N. V., 1941.

1.36.8р1е1уо^е1 8. Р1ртб 51гезз Са1си1аиопз 51тр1Ше(1. МсСгалу-НШ Воок

Сошрапу, N. V., 1943.

1.37. Т1т о 5Непко 8. Р. ТЬеогу о! Е1аз11сИу. МсСгауг-НШ Воок Сошрапу,

N.V., 1934, р. 207—210.

1.38.Т1тозЬепко 8. Р. апс! СоосПег I. N. ТЬеогу о! Е1аз11сИу. МсОга\у-

НИ1 Воок Сошрапу, N. V., 1951.

упругости, поскольку эти условия формулируются в механике сплошной среды.

Уравнения, связывающие напряжения и деформации, отли­ чаются от соответствующих уравнений теории упругости. В этом случае деформация уже не пропорциональна напряжению, каждый компонент деформаций содержит упругую часть, линейно связанную с напряжением, и пластическую часть, связанную с ним нелинейно. Нелинейная часть, которая очень усложняет решение задачи, приводит к нелинейным дифференциальным уравне­ ниям.

2.1.2. Деформационная теория пластичности и теория пласти­ ческого течения. Прежде всего при формулировке задачи пла­ стичности необходимо решить, может ли быть использована де­ формационная теория или следует применить теорию течения. Деформационная теория устанавливает зависимость между на­ пряжениями и упруго-пластическими деформациями, так что, например, по известным напряжениям можно непосредственно определить деформации. Путь, по которому достигается данное распределение напряжений (история нагружения), не оказывает влияния на деформации. Как будет показано в дальнейшем, эле­ ментарный анализ опровергает такое предположение, однако, во многих случаях удается легко избежать несоответствия ре­ зультата расчета и реального нагружения. Деформационная теория может применяться более широко, чем этого можно было бы ожидать [2.1]. Основное преимущество этой теории — в значи­ тельном сокращении объема вычислений, поскольку нет необхо­ димости рассматривать всю историю нагружения, что для инже­ нерных расчетов имеет большое значение.

Теория течения устанавливает связь только приращения де­ формации с приращением напряжений для данного напряженного состояния. Чтобы получить значение деформации при заданном напряженном состоянии, необходимо рассмотреть всю историю нагружения, все последовательные распределения напряжений, возникающие в теле, прибавляя приращения деформаций в каж­ дой точке для получения окончательного ее значения. Этот про­ цесс требует, очевидно, значительного увеличения объема вычис­ лений, но этот порядок действия следует принимать, если необ­ ходимо получить достаточно точное решение. Трудности, связан­ ные с применением теории течения, уменьшаются при использо­ вании быстродействующих вычислительных машин.

В дальнейшем будут описаны как деформационная теория, так и теория течения. Большинство организаций, в работе кото­ рых проблема температурных напряжений в конструкциях за­ нимает много места, располагают возможностью применения быстродействующих вычислительных машин, поэтому можно по­ лагать, что в конце концов расчеты будут проводиться по теории течения. Однако расчеты по деформационной теории полезны на стадии предварительной проработки, когда ограничено время,

или в случае отсутствия вычислительных машин. Можно пока­ зать, что расчет по теории течения является несложным разви­ тием расчета по деформационной теории пластичности. Поэтому целесообразно сначала рассмотреть деформационную теорию.

Уравнение, связывающее компоненты пластических деформа­ ций и компоненты напряжений или приращения компонент на­ пряжений, известно как закон течения. В случае одноосного на­ пряженного состояния оно вполне определенно, так как кривая деформирования в координатах напряжение—деформация дает непосредственную информацию о напряжении, необходимом для появления пластических деформаций, а также о напряжении, •требующемся для дальнейшего увеличения пластических деформа­ ций, после достижения определенного значения.

Для двухосного или трехосного напряженного состояния не­ обходимо установить критерий, определяющий условия, при которых наступает текучесть, а также итог пластического тече­ ния в каждом направлении. Предложено несколько критериев, и теория фактически находится еще в состоянии развития. Однако два критерия, критерии Мизеса и Треска, получили значительное признание и применение в инженерных приложениях.

По критерию Треска пластическая деформация происходит, когда наибольшее касательное напряжение в какой-либо пло­ скости в некоторой точке тела достигает определенной критиче­ ской величины. Несмотря на простоту математического описания этого критерия, его применение иногда вызывает .осложнение. Необходимо заранее знать направление наибольшего и наимень­ шего главных напряжений, а это условие не всегда легко выпол­ нимо. Кроме того, для некоторых комбинаций главных напряже­ ний условие течения оказывается неоднозначным.

Критерий Мизеса хотя и более сложен по форме, позволяет избежать этих трудностей в приложениях. Единственный недо­ статок его в том, что он требует большего объема вычислений. В настоящей книге используется только критерий Мизеса и соот­ ветствующий закон течения. По этому методу не только более легко выполнимы расчеты, но можно ожидать лучшего описания действительного поведения материала, так как большая часть проверок показывает справедливость критерия Мизеса. Рассмо­ трим основные соотношения, вытекающие из этого критерия, и его применение в деформационной теории.

2.1.3.Связь между напряжением и деформацией в деформа-

'ционной теории пластичности (Мизес). Компоненты деформаций при трехосном напряженном состоянии могут быть определены по следующим трем соотношениям:

1.Пластические деформации сдвига пропорциональны ка­ сательным напряжениям: