книги / Температурные напряжения и малоцикловая усталость
..pdfформирующая нагрузка снимается. Здесь возникают остаточные напряжения, которые связаны с соответствующим выбором про извольных констант в общем решении.
Так как в физической задаче о температурных напряжениях, когда в теле изменяется только температура, нй одного из указан ных типов смещения не возникает, константы должны быть вы браны так, чтобы эти смещения равнялись нулю. Аналогия между
/
Рис. 1.8. Основные типы смещений в круговом кольце:
а — горизонтальное; 6 — вертикальное; в — поворот
температурными напряжениями и напряжениями, вызванными смещениями, впервые установлена Био [1.1], а простая форму лировка этой аналогии дана Миндлином и Сальвадори [1.26]. Уравнение для случая плоского напряженного состояния, когда объемные и поверхностные силы отсутствуют, а напряжения яв ляются результатом только температурных эффектов, но не сме щений, имеет вид
ф д^- |
с ! 5+ Е а |
0; |
(1.15) |
|
|
|
(1Л6> |
# ( ^ + * 21 |
? ) * + ^ ( ^ |
+ ^ |
) - - 0 . (1.17) |
где § представляет собой интеграл по любой произвольной замкнутой траектории, содержащей внутреннюю границу. Урав нения (1.15)—(1.17) могут быть записаны для независимых тра екторий, заключающих каждое из 1] отверстий тела, и в резуль тате получается Зт] уравнений. Так как наиболее общее решение для ср содержит Зт| неизвестных констант, этих уравнений доста точно для определения неизвестных констант. Здесь обозначе ние ф относится к функции напряжений, рассмотренной в раз деле 1.3.5; йз и йп — элементы по касательной и по нормали к про извольной замкнутой траектории, а оператор V2 представляет
собой |
д2 |
+ |
д2 |
• Хотя уравнения (1.15)—(1.17) кажутся слож- |
|
-^2 |
ными, их применение в практических случаях может быть про стым. Пример их решения приведен в разделе 1.15.5 и 1.15.6 применительно к решению задач методом конечных разностей.
1.3.ВЫВОД РАБОЧИХ УРАВНЕНИЙ
1.3.1.Использование условий равновесия, совместности и за висимости между непряжениями и деформациями. В наиболее
общем случае двумерной задачи необходимо определить шесть неизвестных напряжений и деформаций, для которых может быть записано достаточное число дифференциальных уравнений. Однако
|
|
|
в |
большинстве |
случаев |
|||
|
|
|
целесообразно |
заменить |
||||
|
|
|
большую |
систему |
уравне |
|||
|
|
бг + йбр |
ний одним общим уравне |
|||||
|
|
нием с одной |
неизвестной |
|||||
|
|
|
величиной |
и |
определить |
|||
|
|
|
напряжения и деформации |
|||||
|
|
|
через эту |
величину |
после |
|||
*) |
|
|
решения этого уравнения. |
|||||
|
|
Она известна как функция |
||||||
Рис. 1.9. Равновесие элемента вращающе |
напряжений и рассмотрена |
|||||||
гося диска: |
|
в разделе |
1.3.5. В |
некото |
||||
а — диск с одной показанной |
лопаткой и элемен |
рых случаях, |
однако, це |
|||||
том площади для составления уравнения равно |
||||||||
весия; б — элемент в увеличенном |
масштабе |
лесообразнее получить не |
||||||
|
|
|
посредственно |
значения |
||||
напряжений и деформаций, |
особенно в тех случаях, |
когда имеет |
||||||
место симметрия или |
очевидно заранее, |
что большинство компо |
||||||
нентов напряжений и деформаций может быть опущено. |
|
|
||||||
Проиллюстрировать этот метод можно на вращающемся диске |
||||||||
переменной толщины |
с температурным |
градиентом |
(рис. |
1.9) |
[1.20]. Рассматривая равновесие элемента и имея в виду, что касательные напряжения вследствие симметрии отсутствуют, можно записать уравнение равновесия в виде [1.20]
{гНаг) — /кге -|- рсо2г2Я = 0, |
(1.18) |
где к — толщина диска на любом радиусе г; |
р — плотность; |
со — угловая скорость. |
|
Для составления уравнения совместности должно быть рас смотрено только радиальное перемещение элемента и. Как радиаль ная, так и тангенциальная деформации могут быть выражены в зна чениях и, т. е.
йи |
|
8г йг ’ |
(1.19) |
Поэтому |
|
ег = ^ ( гев)- |
(1.20) |
Подставляя соотношения между напряжениями и деформа циями (1.12) с учетом сгг = 0, получаем уравнение совместности
|
(1+ |
ц)(аг_ |
Ст0) |
аг \ е ) |
^ ( т г ) + г - < “ Л7'> |
Ет |
~ и |
( 1.21)
Из системы уравнений (1.18) и (1.21) могут быть получены на пряжения аг и 0 О'.
1.3.2.Переход к решению задач для эквивалентных объемных
иповерхностных сил (аналогия Дюамеля). Этот метод в наиболее
Рис.-1.10. К решению задачи о температурных напряжениях на основе аналогии Дюамеля
простом виде может быть проиллюстрирован на примере ло патки симметричного профиля (рис. 1.10, а). Вдоль хорды профиля принято распределение температуры Т = Тх (я); температура отсчитывается от некоторого значения, при котором напряжения отсутствуют. Для данной координаты хорды по толщине и вдоль оси лопатки температура принимается постоянной.
Разделим лопатку на ряд элементов вдоль оси, как показано на рис. 1.10, б. Каждый такой элемент имеет постоянную темпе ратуру и при свободном расширении может удлиняться в осевом направлении на величину аТх. Представим теперь, что каждый элемент возвращен к первоначальному размеру приложением сжимающего напряжения о = —ЕаТх, . как показано на рис. 1.10, в. Так как лопатка приняла теперь первоначальные размеры (здесь рассматриваются только осевые размеры: изменение разме ров в других направлениях может быть учтено в более общем случае), то ее можно представить как бы соединенной снова по первоначальным разрезам. Полученная система отличается от первоначальной тем, что в ней действуют напряжения а = — ЕаТх.
Для того чтобы привести ее к первоначальной, у которой напряже ния на конце равны нулю, надо приложить на ее конце растяги вающие напряжения о = ЕаТх. В каждой точке такого вновь скрепленного тела возникает напряжение, вызванное внешней системой напряжений на контуре ст = ЕаТх. В этом теле элемен тарные сечения не могут деформироваться независимо; они должны деформироваться как непрерывная упругая система, и распределе ние напряжений от внешней системы сил должно быть получено на основе теории упругости. В окрестности приложенных краевых сил система локализованных напряжений может оказаться доста точно сложной и должна быть проанализирована строгими мето дами. Однако, если длина лопатки значительно больше ширины, напряжения, действующие на расстоянии от края (например, в центре лопатки), могут быть легко определены по принципу Сен-Венана и система приложенных поверхностных сил может быть заменена ее статическим эквивалентом, т. е. результирую щими силой и моментом. Тогда лопатка рассматривается как балка с приложенными на ее конце силой и моментом.
1.3.3. Общий метод использования, аналогии Дюамеля. Исполь зованный выше метод может быть распространен на более слож ные дву- и трехмерные случаи. В более общем трехмерном случае каждый элемент представляется разрезанным и отделенным от со седних. Такой элемент, свободно расширяясь, обычно удлиняется
равномерно |
во всех |
направлениях на |
величину а Т, т. е. ел. = |
||
= &ц — ег = |
аТ |
и |
уху — ууг — уХг = |
0 (так |
как равномерное |
расширение |
не |
вызывает деформаций |
сдвига). |
Предполагается, |
что здесь температура I отсчитывается от некоторого значения, при котором отсутствуют напряжения.
Рассмотрим внешние нагрузки, приложенные к каждому эле менту для возвращения его к первоначальному размеру. Такие нагрузки должны быть гидростатическими, равными во всех на правлениях величине ах = ау = ог — — [ЕаТ/(\—2р)]. Выра жение (1—2р) учитывает влияние коэффициента Пуассона при трехосном напряженном состоянии. Касательные напряжения здесь не возникают. Все элементы теперь имеют свой первоначаль ный размер и поэтому совмещены друг с другом, но только как раздельные элементы, без касательных напряжений между ними.
Прежде чем перейти к решению этой задачи, рассмотрим, какая система внешних сил вызывает систему напряжений ох =
= оу = оа = — [ЕссТ/(1—2|х) ], уху = ууг = уХ2 = 0. Для уста новления системы сил можно использовать уравнения равнове сия, поскольку они не зависят от того, является ли тело сплошным или разделено на элементы; в последнем случае в связи с отсут ствием касательных напряжений они существенно упрощаются.
Уравнение (1.5) фактически относится к двумерному случаю, тогда как здесь рассматривается общий трехмерный случай. Однако анализ уравнения равновесия для общего случая даст тот же результат. Из уравнения (1.5) видно, что объемная сила
X —— соответственно определяются объемные силы
в направлениях у и г. Они вызывают соответствующие напряже ния в каждом элементе и равны
дах _ |
д |
/ |
ЕаТ \ ___ |
Е а |
_дТ |
дх |
дх |
\ |
1 — 2ц/ |
1 — 2ц. |
дх ' |
если Е и ц постоянны. Аналогичные выражения получаются
ДЛЯ V И 2 :
На поверхности напряжения должны совпадать с требуемым гидростатическим давлением — [ЕаТ/(1—2р.) 1, так что на поверх ности каждого элемента должно быть приложено нормальное
напряжение — [ЕаТ1(\—2ц) ]. Поэтому воображаемая |
система |
внешних нагрузок, которая будет возвращать каждый |
элемент |
к его первоначальному размеру, когда эти элементы не соединены
вместе, |
определяется из |
выражений |
|
|
|
|
||
у |
а.Е |
дТ ш |
__ |
аЕ дТ ' |
у |
аЕ |
дТ |
п ооч |
|
1— 2ц, |
д х ' |
х ~ |
\ — 2 \» .д у' |
с ~ |
1 - 2 ц |
' дг |
> |
а нормальные напряжения на поверхности,— из выражения |
||||||||
|
|
|
о |
ЕаТ |
|
|
|
(1.23) |
|
|
|
1 — 2ц |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тело, разделенное на элементы и приведенное к первоначаль ной форме, отличается от истинного тела, так как: 1) касательные напряжения между соседними элементами не возникают, хотя эти элементы подогнаны и придают телу первоначальную форму; 2) имеется система внешних сил (1.22) и 3) каждый элемент под вержен гидростатическому напряженшо — [5а77(1—2ц) I.
Для того чтобы привести оба тела в тождественное состояние, необходимо удалить воображаемую систему внешних сил и скре пить элементы. Следует подчеркнуть, что действие воображаемой системы внешних сил, удаляемой со сплошного тела, отличается от действия ее на разделенное тело. Задача сводится к новой за даче для упругого тела, подверженного системе сил (1.22) с про тивоположным знаком. В сплошном теле эта система сил вызывает касательные напряжения, которые в разделенном на элементы теле не могли возникнуть.
Из предыдущего обсуждения очевидно, что любая задача о температурных напряжениях может быть сформулирована в тер минах задачи с объемными и поверхностными силами следующим образом: пусть в равномерно нагретом теле первоначально на пряжения равны нулю. Если температура в каждой точке (л;, у, г) увеличивается на величину Т (.х, у, г), то результирующие температурные напряжения равны напряжениям в том же теле, полученным следующим образом:
1) к каждому элементу объема тела прикладываются объемные силы, компоненты которых равны:
|
|
а Е |
дТ |
|
а Е |
дТ |
|
|
1 — 2ц |
* дх * |
1 — 2ц |
ду ’ |
|
|
|
2 = |
— |
оЕ |
дТ |
(1.24) |
|
|
I — 2ц |
д г ' |
|||
2) |
к |
каждой точке |
на |
поверхности прикладываются силы |
||
на единицу |
площади |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О-25) |
3) для этих сил решают задачу теории упругости и определяют напряжения ох, ау, сгг; из каждого из этих напряжений вычи тают напряжения аД7У(1—2ц). Действительные напряжения
ГГг |
--- гг __ |
||
°А' |
--- |
|
--- |
ггг |
— |
гг |
__ |
Юу --- |
К)у |
|
II |
1 |
|
* |
а ЕТ
1 — 2ц ’
а ЕТ
1 — 2ц ’
ЕаТ
1 — 2ц, •
( 1.26)
Подробный разбор этого метода дан в работе [1.38].
1.3.4. Упрощения. На первом этапе постановки задачи не обя зательно считать, что расширение стеснено во всех трех направле ниях. Для тонкой плиты можно наложить ограничения на рас ширение в плоскости ху и допустить в то же время такое рас ширение в направлении г, которое следует из температурного эффекта и действия напряжений в плоскости ху. При этом некото рые условия совместности нарушаются, что приводит, однако, к относительно малой ошибке. Порядок действий определяется из таких же соображений, как и в разделе 1.3.3; при этом 1—2ц заменяют на 1 — ц и пренебрегают всеми напряжениями в направ лении г. Задача становится двумерной, что значительно умень шает ее сложность. Та же концепция может быть использована и на следующей стадии упрощения, когда ограничение наклады вается только в одном направлении, как в уже рассмотренной задаче с лопаткой.
Строго говоря, эта процедура не является корректной, по скольку, хотя система механических нагрузок и возвращает про дольные элементы к их первоначальному размеру, соответствие этих элементов по другим направлениям не обеспечивается. Однако, если поперечные размеры малы по сравнению с продоль ными, нарушение условий совместности не вносит большой по грешности. В этом случае выражение (1—2ц) заменяется единицей. Для рассмотренной задачи с лопаткой не вводятся даже объемные
26
силы, так как -^ = 0. Сложность решения существенно зависит
от того, поставлена ли задача в одно-, двуили трехмерной форме, в то же время в некоторых случаях это обстоятельство не влияет на окончательный результат.
С. П. Тимошенко решил задачу о пластине с поперечным гра диентом температур и постоянной осевой температурой для одно- и двумерного случаев [1.37]. Окончательный результат оказался
одинаковым, |
но решение двумерной задачи оказалось, сложным, |
в то время |
как одномерная задача легко решается по теории |
балок. Поэтому обычно оказывается, что при постановке новой задачи стеснения деформаций должны быть приняты минималь ными для упрощения решения. Идея метода является часто более важной, чем использование готовой формулы и иногда целесо образно довести до конца одномерную формулировку и исполь зовать ее решение как основу для решения двумерной задачи.
1.3.5. |
Решение с помощью функции напряжений. Уравнения |
||
равновесия (1.5) и (1.6) будут автоматически удовлетворяться, |
|||
если найти функцию напряжений <р такую, чтобы |
|
||
|
д2ср |
° у дх*’ |
|
|
° х ~ ду*'Р |
|
|
|
_ |
а-ф |
(1.27) |
|
Хху |
дхду |
|
|
|
(В задаче о температурных напряжениях объемные силы X, V, 2 отсутствуют. Если они имеются, то напряжения от этих сил сле дует определять отдельно и решения получать методом наложения, как описано ранее. Объемные силы, входящие в решение только что рассмотренной задачи, не следует путать с реальными объем ными силами, которые могут бцть приняты равными нулю. Здесь мы возвращаемся к исследованию задачи о температурных напря жениях, когда объемные силы отсутствуют).
При рассмотрении плоского напряженного состояния дефор мации могут быть выражены через функцию напряжений на основе уравнений (1.12) (пренебрегая аг) и (1.27). Подставляя эти дефор мации в уравнение совместности (1.11), получаем неоднородное бигармоническое уравнение
у 4ф + |
Еа.\?Ч = |
0, |
(1.28) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
~ |
дх*^ ду*’ |
(1.29) |
|||
|
|
|||||
д* , |
д *\/ д * |
, |
д* \ |
Э* |
||
дх2 “Г ду*) \ дх2 |
' ду*) ~ |
дх*+ |
||||
, |
|
2а* |
а* |
|
(1.30) |
|
+ |
дх*ду* "г ду*' |
|||||
|
27
Таким образом, если уравнение (1.28) решено относительно ф, то напряжения могут быть определены из уравнений (1.27). Решаем его при граничных условиях, полученных из условия равенства нулю нормальных и касательных напряжений на по верхности. Подставляя эти напряжения, выраженные через функ цию напряжений, в граничные условия (1.13) и (1.14), получаем
д2ф |
ду . |
д2(р |
дх _ |
|
||
ду* |
да |
' д х д у |
1Б |
|
||
и |
|
ду |
. |
д2ф т |
6.x _ |
(1.31) |
дер |
|
|||||
' дхду ' |
дз |
' |
~дх? |
с1з ~~ |
|
|
|
или4 (1г)=0- |
|
||||
Интегрируя уравнения |
(1.31), |
имеем |
|
|
||
|
дф _ |
|
бф |
Ь |
(1.32) |
|
|
дх |
~ и ' |
ду |
|||
|
|
|
||||
в окрестности границы, |
где а |
и |
Ь — произвольные |
постоянные. |
Эти уравнения, очевидно, удовлетворяются, если вдоль границы Ф == ах -|- Ъу с. (1.33)
Если тело односвязное, то а, б и с могут быть приняты равными нулю, так как функция напряжений, линейная в направлениях х и у, может быть добавлена в решение, при этом она не влияет на напряжения (которые зависят только от второй производной). Когда имеется более одной границы, равенство функций напряже ний и производных нулю возможно только на одной границе.
Граничные условия для односвязной области, используемые для бигармонического уравнения,
Ф= |
®Р = |
-Ё5Р = |
О |
(1.34) |
р |
дх |
ду |
и * |
|
Для многосвязной области условие (1.34) может быть приме нено на какой-либо из границ; для оставшихся границ должны выполняться условия
Ф = |
ОцХ, + |
Ьцу 4- сп; |
(1.35) |
|
< * = а - |
ду |
— Ь |
||
дх |
“ п* |
|
|
Первое уравнение дает значения функции на границе, два других обеспечивают информацию об изменении функции напряжений вблизи границы. Применение этих уравнений проиллюстрировано ниже в связи с решением задачи об охлаждаемом полом цилиндре, полученным методом конечных разностей (раздел 1.15.6).
1.3.6. Формулировка задачи о плоской деформации. Сравнение решений задач о плоских напряжениях и плоских деформациях
28
показывает, что все формулы для случая плоских напряжений могут быть_применены к случаю плоских деформаций заменой Е, р и а на .Е, р и а, где
Е = т |
7 ^ Г > « = “ (1+И )- |
(1 -36) |
Следовательно, для случая плоской деформации бигармоническое уравнение (1.20) записывают аналогично, но Еа заменяют
Тг“ |
Е а |
на Еа = |
~л----- |
|
1 - р |
Для выполнения условий однозначности сохраняются урав нения (1.15)—(1.17), но для случая плоской деформации соотно шения Еа заменяются на Еа/(1 — р).
Решение точными методами. Большинство представляющих интерес инженерных задач решают приближенными методами, однако в некоторых случаях удается использовать точное реше ние. Два класса точных решений рассмотрены ниже: 1) задачи, для которых точные-выражения для напряжений могут быть по лучены в замкнутом виде, и 2) задачи, для которых решение может быть выражено в виде бесконечных рядов, обеспечивающих тре буемую точность при использовании достаточного числа членов. Главная цель — указать не окончательные формулы, а методы, которые могут быть применены конструктором для решения прак тических задач. Специальные методы решений описаны в некото рых работах [1.11, 1.12, 1.38] и могут оказаться очень полезными.
1.4.ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ, ВЕДУЩИЕ
КРЕШЕНИЯМ В ЗАМКНУТОМ ВИДЕ
1.4.1. Плоская круглая плита. В некоторых простых случаях уравнения можно проинтегрировать элементарными средствами. Например, случай вращающегося диска с температурным гра диентом описывается уравнениями (1.18) и (1.21). По принципу наложения, рассмотренному в разделе 1.15, могут быть определены температурные напряжения в неподвижном диске (о = 0), а затем наложены на центробежные напряжения от вращения равномерно нагретого диска. Если к тому же Е, р, а и толщина диска постоян ные, то дифференциальные уравнения могут быть точно решены элементарными средствами [1.9]. В сплошном диске с наружным радиусом Ь и температурой Т„ являющейся функцией радиуса г, существует плоское напряженное состояние и напряжения
(1.37)
В диске с отверстием радиусом г = а при радиальных напряже ниях, равных нулю (г = а и г = Ь)
= ^ |
- ^ Е з г 1 Т г Л -- \Т г Л - 1 , |
(1.39) |
||
' |
О |
а |
У |
|
°в = 1 ^ ( ж |
= 1 ? 1 Т г ‘1г + |
/ Гг А— |
Г А |
(1.40) |
1.4.2. Цилиндры с радиальным изменением температуры. Как показано в разделах 1.1.1 и 1.1.2, задача для длинного цилиндра, в котором температура изменяется по радиусу, а не по длине, и концы которого полностью стеснены в направлении оси или сво бодны от стеснения, соответствует задачам о плоской деформации и обобщенной плоской деформации. Как отмечалось в разделе 1.3.6, радиальные и тангенциальные напряжения для случая пло ской деформации могут быть получены из решения задачи для
плоского напряженного состояния заменой Еа на Поэтому
радиальные и тангенциальные напряжения в длинном цилиндре с центральным отверстием и без него определяют из уравнений
(1.37) и (1.38) или (1.39) и (1.40), в которых Еа заменяют на |
|
Л*0С |
-----. |
||
|
1 |
|1 |
Для случая полного стеснения торцов, или плоской деформации, осевое напряжение определяют из уравнения (1.2), которое сво дится к выражению
° ‘ = т ^ [ Ц |
т ' л - - т \ |
(1.41) |
|
Если торцы свободны, применение уравнения (1.4) и условия, что интеграл от осевой силы по поперечному сечению цилиндра равен нулю, приводит к выражению
^ = т ^ ( - И 7'гА ' - т ) - |
с « ) |
Для цилиндра с концентрическим отверстием радиальные и тангенциальные напряжения выражаются, как это следует из раздела 1.3.6, уравнениями (1.39) и (1.40), в которых Е заменяется
на |
. [Для случая полного закрепления осевое напряжение |
<>,= -!^ г ( ^ | ^ - г ) . |
(1-43) |