книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

§ 21

ЦЕПИ МАРКОВА, СВЯЗАННЫЕ

С ПРОЦЕССОМ

231

Выберем

положительное р0,

мэныиее, чем

у/lOL,

К/2(L и X — константы из леммы 1.1) и треть минимально­

го

расстояния

между компактами

Kt, Kj и 3D.

Пусть

положительное б ^ р0/2 такое,

что для

всех

г,

/ = 1,. . .

. . ., I

и

у е

3D

F D 46 ( А „

А ; ) >

V D

( А „

Ау)

-

0,1?,

( А г, Ay) <

V

v

( A ;, Ay)

+ 0,1 Vt

b

+ e ( A „

< / ) > ? о ( А г, y) —

0,1 Y ,:

*7 п _ в ( A „

(г/)_6) <

V c

{Kt, у) +

0,1у.

Выберем для каждой пары компактов Kt,

Ay,

для кото­

рых VD(Kt, Kj)

<

оо, функцию

q>f*’*•',

0 ^

t ^

Т =

= Г(А(,

Ау),

такую,

что cpf1’^ <= А „

фг‘’К;е Ay, <p?"Kj

не задевает

U

А,

и не выходит за пределы D_e

|J

s=£i,j

IJ dD_6 при

0

t ^

Г,

причем

£„т(фК*’К0 ^

VD{Kt,

Kj) +

0,2у.

yN.

Далее выберем на границе 0D р2-сеть уи . . .,

Для каждой пары Kt, yk, для которой Vn (Kt, yk) <

оо,

выберем

функцию

Щх'Ук,

0

t <1 Т = T(Ki,

Уи),

KitVb

т?

^иУъ

,

ч

К;,!/»,

не

задевает

Фо

е А г, фг

— {Ук)~б>

причем Ф(

U

не выходит за

пределы

(J <9.0 _« и

e=£i

А о г ( ф К*, ! / '!) <

^

( А

г,

уц)

+

0,2у .

Назначим

положительное

р1$

меньшее,

чем

р2,

р0/2,

т miQ {р («Р?*’* ' .

и . А . )

: 0 <

t <

т ( К о

K j ),

и

/

-

0 < * < Г

(* „

у*),

§ 2]

ЦЕПИ МАРКОВА, СВЯЗАННЫЕ С ПРОЦЕССОМ

233

Нижняя оценка в (2.3) получена; перейдем к оценке

(2.5). Пусть х е

Gh у е

дD,

VD (Kh у) <

оо. Выбираем

точку ук из нашей р0-сети,р(ук,у)

< р0; при этом р((Ы-в»

(у)-б) < 2р0. Соединяем точку ж с ж ' е

К% кривой со зна­

чением функционала S не более 0,1у;

точку х' — с точ­

кой

фоvVk е

Kt с

«затратой»

функционала

S не

более

ОДу.

Дополняем

полученную

кривую

кривой ф* vVft1

при

этом

мы

доходим

до

точки (z/fc)_6>

а

суммарное

одного и того же

отрезка

[0 , Го] решением

xt =

b(pct),

так что SOTQ (фК

^ ( М

)

+ 0 ,8 у.

получаем

ниж­

Снова пользуясь теоремой

3.2 гл. 5,

нюю оценку в (2.5).

оценки.

Теперь получим

верхние

(2.5)

для ж е Г |

Достаточно получить

оценки (2.3),

е > 0

для х е (D у dD)\g выполнялось Р*

{хх >

Тх) ^

<е.хр

{ —e -2F0}.

Любая траектория X8, начинающаяся в

точке

ж еГ г

в dD[\gb0{y)),

либо

проводит время

Тх, не заде­

вая множества dg у dD,

либо в течение времени Тх до­

стигает

dgj (соответственно dD П<?Гбо (*/)),

и

в этом слу­

чае р07\

(-Xе, ®x(Vp (Ki,

Kj) — 0,3у)) >

б', (соответствен-

но

рот, (Xе,

®x(VD{Kh

у) — 0,4?)) >

б').

Поэтому

для

любого X ^ Tt

P l[X tXle=dgj}^P*x{-vl >

T1 +

+ р* [рот, ( х 8, Фх (y D (Ки Kj) - 0,3Y)) > б'];

(2.6)

Пусть L — конечное

множество,

элементы

которого

мы будем обозначать буквами г, ;, к, т, п и т. д.;

пусть в

нем выделено подмножество W. Мы будем называть W-

графом

граф, состоящий

из

стрелок т-*п (т е Ь \ Ж ,

п е L,

п фт),

если он

удовлетворяет следующим ус­

ловиям:

точки

т е

L \ W

выходит ровно одна

1) из каждой

стрелка;

2) в графе нет замкнутых циклов.

Заметим, что условие 2) можно заменить на условие

2') для любой точки /п G

из

существует последова­

тельность

стрелок,

ведущая

нее

в

какую-то

точку

п е

W.

для обоз­

Множество всех ТУ-графов обозначим G(W);

начения графов будем

употреблять

букву

g.

Если ptj

(i1j е L, j Ф i) — какие-то числа,

П

Ртп

будем

обоз-

начать через

л(#).

(m-»n)eg

вом

Л е м м а 3.1. Пусть имеется цепь Маркова с множест­

состояний L, с вероятностями перехода р^, причем

из любого состояния

можно

попасть в

любое

другое за

какое-то

конечное

число

шагов.

Тогда

стационарное

распределение

этой

цепи

есть

Q^yxQh i е L^r

где

Qi =

И

я (g).

(3.1)

238

ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ [ГЛ. 6

Qi =

2 Q)Pn (i е L),

j e L

Q i 2

P i k = 2 Q J P H -

(3.2)

кфг

оФг

щим

условиям:

1) из каждой точки т е L выходит ровно одна стрел­

ка

т -> п (п Ф т, п е

L)\

2) в графе имеется ровно один замкнутый цикл, при­

чем содержащий точку

i.

множества X t, где i пробегает

конечное

множество

L.

Пусть имеются

неотрицательные числа

ptj () ф i,

г,

j е L) и число а >

1 такие, что для вероятностей перехо­

да нашей цепи выполнены неравенства

а~*Ри < Р{*, X J) < “Ра

(я

» Ф /)•

§ 3]

ЛЕММЫ О ЦЕПЯХ МАРКОВА

239

ми перехода ри — ~ -

J v (dx) Р (х, Xj). Стационарным

распределением этой цепи

является {v(X,-), i е L }, и оно

него леммой 3.1.

Теперь сформулируем утверждение, которое мы будем

использовать при изучении выхода на границу.

Для

i е Z/ХИ7, / е

W через Gij(W)

будем обозначать

множество всех TP-графов, в которых последовательность

стрелок, ведущая из / в W (см. условие 2')), кончается в

точке

/.

Л е м м а 3.3. Пусть имеется цепь Маркова на фазовом

пространстве X = (}

X h X t f j X j = 0

/), причем пе-

%^.Lt

а~1Ри < Р{х,

Xj) <

apt}

(х <= X h

i),

(3.3)

где

а — какое-то

число,

большее единицы. Для

i e X ,

В S

U Xk обозначим

через

qw (х, В) вероятность то-

kG W

|J Xh

го, что в первый момент достижения множества

частица, совершающая случайное блуждание

k^W

в соответст­

дит из

точки х.

равно г,

Утверждается, что если число точек в L \ W

то

2

2

n(s)

—4r

,

gSGjjiW )

4Г «SGj (W)

2

у ,> < .< - s

л(е)

g^W)

geG(W )

(x<=Xh i(= L\ W,

f e W ) t

Д о к а з а т е л ь с т в о

будем вести индукцией по г.

При г =

1

множество И7 = L \{t } . Пользуясь марковским

свойством,

получаем

для

х е X t

Я ь \ ц ) (*, Xj) = Р (х г Xj) +

f Р (х, йу) Р (у, Xj) +

+

f Р (*, dVi)

f P {Уи <*Уг) Р (Уь Xj) + .. •

Xi

Xi

Обозначим

через

Ац н и ж н ю ю

грань по

х е X t вероят­

ности

P(x,Xj);

=

inf

Р ( х , Х г);

через Ац,

жению

2

Pifc >

0;

это

значит,

что

Bt, Bt < 1 . Имеем

кф\

AiJ +

AijBi + AijBi +

•••^ QL\{i} (#, Xj) ^

т.

е.

^ Ац + AijBi + AijBi + • • •,

^ Г в

^ ?t\«) (*• Xi) <

7 ^ % -

tLi

1

-Oj

Но, по предположению, а ^ р ц ^ . А и ^ А

ц ^ . a p tJ; 1 —

=•

=

sup

Р (х, U

'

а 2 Pin*

аналогично 1 —

^

x^Xj

'

кф1

кт^г

о

Отсюда получаем,

что

(3.4) выполнено даже

кф{

1

с а2 вместо а4.

(3.4)

верно

для

всех W таких,

что

Пусть

теперь

L \ W содержит г элементов, всех i е

Z/'xH7 и всех / GE W.

Докажем неравенства (3.4) для множества W такого, что

в

L\W

имеется

г + 1

точка. Пусть г е Z/'xW7, / е

W;

положим f

=

U

Xk. Мы можем сразу после выхода

из