книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

Здесь р(t) — точка на отрезке, соединяющем cpt и lt (при каждом t, вообще говоря, своя); ф? — l\ не зависит от t и

получим, что интеграл (1.2) не превосходит у/Зд, а первый интеграл в (1.1) не больше чем у/3.

на (х)-ь, соответственно на (у)-б*

С функцией VD (х1 у) связывается отношение эквива­ лентности Т) между точками D (J dD : х у, если VD (,х, у) — VD (у, х) = 0. Это отношение зависит только от ди­ намической системы и не меняется, если заменить матрицу (а^(х)) на другую, для которой максимальное и минималь­ ное собственное значение изменяются в ограниченное чис­

dD точки, эквивалентные друг другу, образуют замкнутое множество.

Л е м м а 1.5. Пусть х ту у, у Ф х. Тогда траек­

тория xt(x) динамической системы xt = b(xt), начина­ ющаяся в точке х, лежит в пределах множества точек z Б~ х.

Значения Тп ограничены снизу положительной констан­

той; обозначим ее Т. Для функций ф \п) на отрезке от 0 до Т значения функционала SoT стремятся к 0; поэтому не­ которая подпоследовательность этих функций сходится

Далее начинаем с хт(я). Выбираем ту из точек х, у,

получаем, что xt(x) идет по множеству точек, эквивалент­ ных Ху еще в течение некоторого отрезка времени. Эти отрезки ограничены снизу какой-то положительной кон­ стантой, и мы последовательно получаем наше утвержде­ ние для всех t > 0. Легко видеть, что оно также верно и для t < 0.

Любое со-предельное множество, т. е. множество частич­ ных пределов траектории динамической системы при t

-> оо, состоит из эквивалентных друг другу точек; это вы­ текает из леммы 1.1. Максимальное множество эквива­ лентных друг другу точек, содержащее какое-то со-предель­ ное множество, может состоять из одного этого множества или представлять собой сумму конечного или бесконечно­ го числа таких множеств, или содержать еще точки, не входящие ни в одно со-предельное множество. При этом вместе с каждой точкой в это множество входит целая траектория динамической системы.

В этом случае для любых двух точек х, у каких-либо зам­

предельных множеств: точка 7, точка 2, наружная кривая (включая точку 7), объединение наружной кривой и сред­ ней, объединение средней и внутренней, внутренняя кри­ вая; их объединение образует максимальное множество эквивалентных друг другу точек. В случае, когда ненари­ сованные траектории удаляются от нарисованных, мно­

ки 7 и 2.

Л е м м а 1.6. Пусть все точки компактл К cz D (J dD эквивалентны друг другу, но не эквивалентны никакой дру­

Если бы все кривые ф*п) выходили за пределы 8-окрестно­ сти К, у них существовала бы предельная точка вне этой 6-окрестности, эквивалентная точкам х9 у.

Л е м м а 1.7. Пусть все точки компакта К эквива­ лентны друг другу и К Ф М. Обозначим через rG момент

первого выхода процесса X* из б-окрестности G компакта К. Утверждается, что для любого у > 0 существует 6 > О такое, что при всех достаточно малых е, х е G

Д о к а з а т е л ь с т в о . Выберем точку z вне К

такую, что р (z, К) <-§£- А К гДе L ш X — константы из

леммы 1.1. Положим б = p(z, К)12 и рассмотрим б-окрест- ность G ZD К. Обозначим через х' точку К , ближайшую к точке х (или любую из ближайших точек, если таких точек

причем Г ограничено какой-то константой, не зависящей от начальной и конечной точки. Дополняем кривую ф* с начала и с конца отрезочками, ведущими из х в хг и из у в z, со значениями функционала S, не превосходящими соответственно у/6 и у/3. При этом длина временного ин­ тервала, на котором определена каждая из построенных

функций фь будет ограничена равномерно по х е G не­ которой константой Го, а значение функционала S для каждой из них не будет превосходить 5у/6. Каждую из этих функций доопределим до конца отрезка [0, Го] как

Положим Го = Т\ + 1 и рассмотрим все функции ср*, определенные при 0 t <1 Го и принимающие значения только в K h6. Множество таких функций замкнуто в смыс­ ле равномерной сходимости, значит, функционал S0То достигает на этом множестве минимума А , который поло­ жителен, так как среди рассматриваемых функций нет тра­ екторий динамической системы.

Далее, пользуясь теоремой 3.2 гл. 5, так же как гри доказательстве леммы 2.2 гл. 4, получаем: Р1{тк > Г0} ^

<ехр [ - е-2 (А — Y)], Р* WK > Ж ехр 8- 2 (.11 — lj х

X( A - Y)].

Сл е д с т в и е . Из леммы 1.9 вытекает, что при е, меньшем некоторого со, для всех х е К

В этом параграфе мы будем предполагать, что D — область г;а многообразии М с гладкой границей и с ком­

темы xt = b(xt), лежащее целиком в D [j dD, входит в одно из Kt.

Мы видели (§§ 2, 4 гл. 4, § 4 гл. 5), что в случае динами­ ческой системы с одним положением равновесия О (устой­

чивым) для изучения поведения процесса Х\ на больших отрезках времени при малом е существенна цепь Марко­ ва Zn на множестве у |J dD, где у — граница малой ок­ рестности О. Мы видели также, что асимптотика переход­ ных вероятностей этой цепи почти не зависит от началь­ ной точки х е уу так что цепь Zn при малых е ведет себя,

Легко видеть, что VD(Ki, у) = 0 для всех у, лежащих внутри цикла К2 и на нем, в частности, VD(Kl4 К9) = 0; ^D(Ki,y) = оо для всех у вне цикла К2, откуда Ув {Кг,

VD(K2, у) конечны и положительны, если только у ^ К2;

и т. д. Со структурой траекторий динамической системы, изображенной на рис. 1 2 , совместима такая матрица

VD(Ki, Kj):

VD(Kh у), VD (х, Kj), VD (х, у). Доказывается это с по­ мощью леммы 1.6. В рассмотренном нами примере VD (Kt, Kj) образуют следующую матрицу:

вина минимального расстояния между компактами Kt, Кj

(J 6D. Что касается моментов аЛ, тоХ ^0 может быть лю­

следующие две леммы.

Л е м м а 2.1. Для любого у > 0 можно указать р0 > > 0 (которое можно выбрать сколь yeodno малым) такое, что dля любого р2, 0 < р2 < р0, найбется, рх, 0 < Pi < р2» такое, что бля любого б0, меныаего, чем р0, при доста­ точно малых е для всех х из р2-окрестности Gt компакта Ki

В частности, если область D совпадает со всем мно­ гообразием М (и оно компактно), то dD = 0 , цепь Zn

имеет в качестве своего пространства состояний dg, и из (2.3) следует, что Р(х, dgj) при х ^ dgt находится меж-

Kt с Kj в пределах D \J dD и не задевающей других ком­ пактов (соответственно, соединяющей Ki с dD или с данной точкой у на границе). Из этого легко вывести, что их нельзя соединить и непрерывной кривой, не задеваю­ щей указанных компактов. Из этого вытекает, что при

(соответственно (2.4), (2.5)) равны нулю. Что касается

конечных значений VD(Kh Kj), VD(Kt, у), то они огра­ ничены каким-то У0 < оо.

Заметим, что достаточно доказать оценки (2.3), (2.5); из (2.5) будет вытекать и (2.4), так как dD можно покрыть конечным числом 60-окрестностей.