книги / Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений

Для него имеет смысл ставить задачи о предельном пове­ дении при h \ О инвариантной меры рЛ, распределения точ­

ки X^h выхода из области, среднего времени выхода из

области MhxTh; и мы можем догадаться, что ответы будут связаны с функцией V (О, х) = inf {б^тДф) •фгх= О, Фг, = %}- А именно, инвариантная мера p/l должпа опи­ сываться функцией действия h-'Vft, х); распределение

должно при h 1 О сосредоточиваться вблизи точек

границы, на которых достигается min V (О, у), а М*т,г долж-

но быть логарифмически эквивалентно

exp {/Г"1min V (О, у)\;

вероятностью осуществляться вдоль экстремали функцио­ нала S(ср), ведущей из О на границу; и т. п.

В доказательства §§ 2, 4 гл. 4 нужно ввести следующие изменения. Вместо малых сфер у и Г, окружающих поло­ жение равновесия, нам придется взять маленький шарик у, содержащий это положение равновесия, и внешность Г сферы несколько большего радиуса (сферу скачкообразный процесс может просто перескочить). Вместо цепи Zn на множестве у (JdD рассматриваем цепь на сумме у и допол­

нения D. Траектория процесса X1}, начинающаяся в точке множества у, в момент первого достижения множества Г не обязательно находится на сфере малого радиуса (границе Г); но вероятность того, что процесс в этот мо­ мент будет находиться на расстоянии, большем какого-то 6 > 0, от этой сферы, стремится к нулю при h | 0 быстрее любой экспоненты ехр { - й - 1}. Теоремы 2.1, 2.3, 2.4,

4.1, 4.2 гл. 4 остаются верны и для семейств (X*, р£), удовлетворяющих условиям теоремы 2.1.

Разумеется, эти теоремы будут верны и для семейств диффузионных процессов, удовлетворяющих условиям теорем 3.1, 3.2. Приведем соответствующую формулировку на языке дифференциальных уравнений — обобщение тео­ ремы 2.2 гл. 4.

Т е о р е м а 4.1. Пусть О — устойчивое положение

равновесия динамической системы х% = b(xt) на многооб-

212 МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ ГГЛ. 5

разии М; D — область на М с компактным замыканием и гладкой границей dD. Пусть траектории динамической системы, начинающиеся из всех точек D (J dD, при t оо притягиваются к О, и пусть вектор Ъ{х) в каждой точке

границы направлен строго внутрь области. Пусть (X ff Рас) — семейство диффузионных процессов на М со сносом

= g(yo), где уо — точка на границе, в которой достигает­

ся min V(0, у) {предполагается, что такая точка тольyedD

ко одна).

Д о к а з а т е л ь с т в о следующей теоремы совер­ шенно аналогично доказательству теоремы 4.3 гл. 4.

хг = b(xt) в R имеется единственное, причем устойчивое положение равновесия О, к которому притягиваются тра­

ектории, начинающиеся из всех точек Rr; пусть для до­ статочно больших \х\ выполняется неравенство (х, Ь(х)) ^ ^ — с\х\, где с — положительная константа. Пусть семейство диффузионных процессов (X?, Р£) с переносом Ьг{х) -> Ъ(х) и матрицей диффузии г2{а^{х)) удовлетворяет условиям теоремы 3 1. Тогда нормированная инвариант­

Формулировку и доказательство соответствующей тео­ ремы для диффузионных процессов на многообразии мы отложим до § 4 гл. 6. Дело в том, что достаточно простой эта теорема будет для компактных многообразий; а все траектории динамической системы на таком многообразии не могут притягиваться к одному устойчивому положению равновесия. Для семейств скачкообразных процессов со­

§ 4] СЛЕДСТВИЯ. ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ГЛАВЫ 4 213

ответствующая теорема также будет сложнее теорем 4.3 гл. 4 и 4.2 этой главы.

Укажем, чем заменяется теорема 3.1 гл. 4, позволяю­ щая находить квазипотенциал.

Пусть А — подмножество области D с границей dD. Назовем задачей R A для дифференциального уравнения первого порядка в этой области задачу нахождения функции U, непрерывной в D \J dD, обращающейся в нуль на А и положительной вне А, непрерывно диффе­ ренцируемой и удовлетворяющей данному уравнению в

Т*

ванные преобразованием Лежандра; STXT2(ф) = J L (ф*, ф*) dt

Tt

(для абсолютно непрерывных функций ф; для прочих +оо). Пусть А — компактное подмножество области D . Положим

(при этом автоматически функция ф при каком-то Ti,

какая-то кривая, соединяющая Л с # и лежащая целиком в пределах D [j dD. Воспользуемся вытекающим из оп­

ределения (1.1) неравенством L (х%р) ^ 2 а*Р* — Н (хх а),

притягиваются к А (или входят в это множество). Это относится и к теореме 3.1 гл. 4.

Рассмотрим в качестве примера семейство одномерных скачкообразных процессов, введенное в начале § 2. Если

Функция Н(х, а) при фикспрованнохм х обращается в нуль

XQ

ция положительна и при х > х о , и при х<Схо). Это п будет квазипотенциал. Экстремаль нормированного функ­ ционала действия — решение дифференциального урав-

тематическое .ожидание времени выхода логарифмически

т. п. Асимптотика инвариантной меры процесса (X*, Р*) при h | 0 задается функцией действия h^Ufa (это не вы­ текает из сформулированных нами результатов, но инва­ риантная мера в этом случае, как и в потенциальном слу­ чае, рассмотренном в § 4 гл. 4, легко выписывается явно).

Г Л А В А б

МАРКОВСКИЕ ВОЗМУЩЕНИЯ НА БОЛЬШИХ ОТРЕЗКАХ ВРЕМЕНИ

§ 1. Вспомогательные результаты. Отношение эквивалентности

В этой главе мы будем рассматривать семейства диф­

фузионных процессов (Xf, Р£) на связном многообразии М, удовлетворяющие условиям теоремы 3.2 гл. 5, для которых поведение вероятностей больших уклонений от «наиболее вероятной» траектории — траектории динами­

В задачах, связанных с поведением процесса X] в об­ ласти D cz М на больших отрезках времени*(задачи о вы­ ходе из области, для D = М задача об инвариантной мере, частные случаи см. в §§ 2, 4 гл. 4, § 4 гл. 5), существен­ ную роль играет функция

VD{x, у) = inf {50Т (ф) : ф0 = х, фг = у,

q>t е D (J 8D при f e [О, Т\),

где нижняя грань берется по отрезкам [О, Т] всевозможной длины. При D = М мы будем пользоваться обозначением

у) = V(x, у).

ществует положительное h такое, что для любой функции

SOT (l) ^ SQT (ф) + Y-

Первая ступень доказательства — использование рав­ ностепенной непрерывности всех таких ср для того, чтобы установить, что при достаточно малом h значения ф*, tt ^ ^ t ^ лежат в пределах одной локальной системы координат Kxv причем число различных систем координат

среди КХг можно ограничить сверху числом, зависящим

только от К. Далее это уже утверждение леммы 2.1 гл. 5, по поводу которой мы отослали читателя к статье В е н т ­

Мы уже видели при доказательстве теоремы 2.1 гл. 4, что при наших рассуждениях нам постоянно приходится выходить на небольшое расстояние за границу D или, на­ оборот, ограничиваться рассмотрением точек, лежащих внутри D на каком-то положительном расстоянии до гра­ ницы. Пусть расстояние р(х, у) — риманово расстояние, соответствующее гладкому тензору gij(x) : (dp)2 =

= 2 Su (х) dx'dx*. Обозначим через D+6 б-окрестность об- 1?

ласти Z), а через / ^ —множество точек D на расстоянии, большем чем б, от границы. В случае компактной дважды непрерывно дифференцируемой границы dD при доста­ точно малых б границы dD+ь и dD-ь также дважды непре­ рывно дифференцируемы. Для точек х, лежащих между dD-о и б или на этих поверхностях, определяются однозначно: (я)о — ближайшая к х точка на dD; (х)-6 — ближайшая к х точка на dD-6 и (;г)+б — такая же точка

у > 0 существует 6о > 0 такое, что для любого положи­

выполняется для q>f, фт; и значение функционала SQT(ф) ^

^ SOT (ф) “Ь V*

Го же справедливо с заменой D на £)+$, a Д_й на D. Д о к а з а т е л ь с т в о . Прежде всего локально «распрямим» границу, уменьшив, быть может, константу Я, и выбрав в окрестностях, задевающих границу, новые локальные координаты я1, я2, . . хг , в которых &D ста­ нет гиперплоскостью {хг = 0}, для точек х в малой ок­ рестности границы снаружи области координата х1 будет равна p(x, dD), а для близких к dD точек внутри области х1 = —р(я, dD). Коэффициенты a{i(x), аи(х) в этих систе­ мах координат будут иные, чем в первоначальных стан­ дартных системах КХо, но будут ограничены и непрерыв­ ны равномерно по всем таким системам (с константами и модулями непрерывности, зависящими от кривизны dD). То, что функционал S(ф) квадратический, для нас сей­ час несущественно; мы будем пользоваться только тем,

что он представляется в виде

т

где выпуклая вниз функция L(x, (3) в каждой локальной системе координат удовлетворяет условиям II и III тео­

yloL (L — константа из леммы 1.1). Пользуясь равносте­ пенной непрерывностью всех рассматриваемых функций